1987考研线性代数试题汇编.docx

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1987考研线性代数试题汇编

1987----2005年考研线性代数试题汇编

题后方括号内[]的数字分别表示数学

（一），数学

（二），数学（三），数学（四）。

例如[一，二]表示此题在数学

（一），数学

（二）中均有。

1987年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设三维向量空间的一组基底为=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，1），则向量=（2，0，0）在此基底下的坐标是﹍﹍。

二选择题（每小题3分）

（1）设n阶方阵A的伴随矩阵为且|A|=a≠0，则||=﹍﹍。

（A）a（B）（C）a（D）a

三本题满分4分

设AB=A+2B，且A=，求B。

四本题满分8分

问a,b为何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解；并求有无穷多解时的通解。

1988年试题

一填空题（每小题3分）

（1）由4维列向量构成4阶方阵A=（），B=（）且|A|=4，|B|=1，则|A+B|=﹍﹍。

二选择题（每小题3分）

（1）n维向量组（3≤s≤n）线性无关的充要条件是﹍﹍。

（A）存在一组不全为零的数使≠0

（B）中的任意两个向量均线性无关

（C）中存在一个向量不能用其余向量线性表示

（D）中的任意一个向量都不能用其余向量线性表示

三（本题满分6分）

设AP=PB且B=，P=，求。

四（本题满分8分）

设A=与B=相似，求

（1）x,y的值；

（2）满足的可逆阵P。

1989年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设矩阵A=，I=，则逆矩阵=﹍﹍。

[一]

二选择题（每小题3分）

（1）设A是4阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中﹍﹍。

（A）必有一列元素全为0

（B）必有两列元素对应成比例

（C）有一列向量是其余向量的线性组合

（D）任一列向量是其余向量的线性组合[一]

三（本题满分6分）

问为何值时，线性方程组

有解，并求出解的一般形式。

[一]

四（本题满分8分）

假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明

（1）为的特征值；

（2）为A的伴随矩阵的特征值。

[一]

1990年试题

一填空题（每小题3分）

（1）已知向量组则该向量的秩是﹍﹍。

[一]

二选择题（每小题3分）

（1）已知是非齐次线性方程AX=b的两个不同的解，是对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系，为任意常数，则方程组AX=b的通解（一般解）必是﹍﹍。

（A）

（B）

（C）

（D）[一]

三本题满分6分

设四阶矩阵B=，C=，且矩阵满足关系式E，其中E为四阶单位矩阵，表示C的逆矩阵，表示C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A。

[一]

四（本题满分8分）

求一个正交变换化二次型为标准型。

[一]

1991年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设4阶方阵A=，则A的逆阵=﹍﹍。

[一]

二选择题（每小题3分）

（1）设n阶方阵A，B，C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有﹍﹍。

（A）ACB=E（B）CBA=E

（C）BAC=E（D）BCA=E[一]

三（本题满分8分）

已知。

（1）a,b为何值时，不能表示成的线性组合？

（2）a,b为何值时，有的唯一的线性表示式？

并写出该表示式。

四（本题满分6分）

设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1。

[一]

1992年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设其中≠0,≠0（i,j=1,2,…,n）,则矩阵A的秩r（A）=﹍﹍。

[一]

二选择题（每小题3分）

（1）要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为﹍﹍。

（A）（B）

（C）（D）[一]

三（本题满分7分）

设向量组线性相关，向量组线性无关，问：

（1）能否由线性表示？

证明你的结论；

（2）线性表示？

证明你的结论。

[一]

四（本题满分7分）

设3阶矩阵A的特征值为，对应的特征向量依次为，对应的特征向量依次为，又向量。

（1）将线性表示；

（2）求（n为自然数）。

[一]

1993年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解为﹍﹍。

[一，二]

二选择题（每小题3分）

（1）已知Q=，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0,则﹍﹍。

（A）t=6时P的秩必为1（B）t=6时P的秩必为2

（C）t≠6时P的秩必为1（D）t≠6时P的秩必为2[一，二]

三（本题满分8分）

已知二次型通过正交变换化成标准型，求参数a及所用的正交变换矩阵。

[一，二]

四（本题满分6分）

设A是矩阵，B是矩阵，其中,I是n阶单位矩阵，若AB=I,证明B的列向量组线性无关。

[一，二]

五（本题满分5分）

已知的两个基为：

求由基的过渡矩阵。

[二]

1994年试题

一填空题（每小题3分）

（1）已知设,其中=﹍﹍。

二选择题（每小题3分）

（1）已知向量组线性无关，则向量组﹍﹍。

（A）线性无关

（B）线性无关

（A）线性无关

（A）线性无关[一]

三（本题满分8分）

设四元组线性齐次方程组（I）为，又已知某线性齐次方程组（Ⅱ）的通解为。

（1）求线性方程组（）的基础解系；

（2）问线性方程组（）和（）是否有非零公共解？

若有则求出所有的非零公共解；若没有则说明理由。

[一]

四（本题满分6分）

设A是n阶非零方阵，是A的伴随矩阵，是A的转置矩阵，当时，证明|A|≠0。

[一]

1995年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设三阶方阵A,B满足关系式，且A=，则B=﹍﹍。

[一二]

（2）设A=,是A的伴随矩阵，则﹍﹍。

[四，五]

二选择题（每小题3分）

（1）设A=，B=，，，则必有﹍﹍。

（A）（B）

（C）（D）[一，二]

（2）设矩阵的秩为为m阶单位阵，下属结论中正确的是﹍﹍。

（A）A的任意m个列向量必线性无关

（B）A的任意一个m阶子式不等于零

（C）若矩阵B满足BA=0,则B=0

（D）A通过初等行变换，必可化为

（E）非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解[四，五]

三（本题满分7分）

设三阶实对称矩阵A的特征值为，求A。

[一，二]

四（本题满分6分）

设A是n阶矩阵，满足的转置矩阵），|A|<0，求|A+I|。

[一，二]

五（本题满分7分）

设问a为何值时方程组有解？

并在有解时求出方程组得通解。

[二]

六（本题满分8分）

对于线性方程组，讨论取何值时，方程组无解，有唯一解和有无穷多组解。

在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。

[四]

七（本题满分8分）

设三阶矩阵A满足其中列向量，试求矩阵A。

[四]

八（本题满分9分）

已知向量组（）（）（），如果各向量组的秩分别为R（）=R（）=3，R（）=4。

证明：

向量组的秩为4。

[五]

九（本题满分10分）

已知二次型

（1）写出二次型f的矩阵表达式；

（2）用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵。

[五]

1996年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设A是矩阵，且A的秩，而B=,则r（AB）=﹍﹍。

[一，二]

（2）设A=，X=，B=，其中≠,（i≠j;i,j=1,2,…,n）,则线性方程组的解是﹍﹍。

[四]

（3）五阶行列式D==﹍﹍。

二选择题（每小题3分）

（1）四阶行列式的值等于﹍﹍。

（A）

（B）

（C）

（D）[一，二]

（2）设n阶矩阵A非奇异（n≥2）,是矩阵A的伴随矩阵，则﹍﹍。

（A）（B）

（C）（D）[四，五]

（3）设有任意两个n维向量组若存在两组不全为零的数，使，则﹍﹍。

（A）都线性相关

（B）都线性无关

（C）线性无关

（D）线性相关[四，五]

三（本题满分6分）

设，其中I是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，时，A是不可逆矩阵。

[一，二]

四（本题满分8分）

已知二次型的秩为2。

（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；

（2）指出方程表示何种二次曲线。

[一，二]

五（本题满分6分）

求齐次线性方程组的基础解系。

[二]

六（本题满分8分）

设矩阵A=

（1）已知A的特征值为3，试求y；

（2）求矩阵P，使为对角矩阵。

[四]

七（本题满分8分）

设向量是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量不是方程组AX=0的解，即A≠0,试证明：

向量组线性无关。

[四]

八（本题满分9分）

已知线性方程组讨论参数p,t取何值时，方程组有解，无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。

[五]

九（本题满分7分）

设有4阶方阵A满足条件伴随矩阵的一个特征值。

[五]

1997年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=﹍﹍。

[一]

（2）已知向量组的秩为2,则t=﹍﹍。

[二]

（3）若二次型是正定的，则t的取值范围是﹍﹍。

[三]

（4）设n阶矩阵，则|A|=﹍﹍。

[四]

二选择题（每小题3分）

（1）设，，则三条直线

（其中≠0，i=1，2，3）交于一点的充要条件是﹍﹍。

（A）线性相关

（B）线性无关

（C）秩

（D）线性相关，线性无关[一]

（2）设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是﹍﹍。

（A）

（B）

（C）

（D）[三，四]

（3）设A,B为同阶可逆矩阵，则﹍﹍。

（A）AB=BA

（B）存在可逆矩阵P，使

（C）存在可逆矩阵C，使

（D）存在可逆矩阵P和Q，使[三]

（4）非齐次线性方程组中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则﹍﹍。

（A）r=m时，方程组AX=b有解

（B）r=n时，方程组有唯一解

（C）m=n时，方程组AX=b有唯一解

（D）r

三（本题共2小题，第

（1）题5分，第

（2）题6分，满分11分）

（1）设B是秩为2的矩阵，是齐次线性方程组BX=0的解向量，求BX=0的解空间的一个标准正交基。

[一]

（2）已知是矩阵A=的一个特征向量。

（i）试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值；

（ii）问A能否相似于对角形？

说明理由。

[一]

四（本题满分5分）

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。

（1）证明B可逆；

（2）求。

[一]

五（本题满分5分）

已知A=，且，其中I是三阶单位矩阵，求矩阵B。

[二]

六（本题满分8分）

取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解？

并在有无穷多解时写出方程组得通解。

[二]

七（本题满分6分）

设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数，记分块矩阵，

Q=，其中是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。

（1）计算并化简PQ;

（2）证明：

矩阵Q可逆的充分必要条件是≠b。

[三，四]

八（本题满分10分）

设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是。

（1）求A的属于特征值3的特征向量；

（2）求矩阵A。

[三]

九（本题满分9分）

设矩阵A与B相似，且，B=

（1）求a,b的值；

（2）求可逆矩阵P,使。

[四]

1998年试题

一填空题（每小题3分）

（1）设A为n阶矩阵，|A|≠0，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值﹍﹍。