1987考研线性代数试题汇编.docx

1、1987考研线性代数试题汇编1987-2005年考研线性代数试题汇编题后方括号内的数字分别表示数学（一），数学（二），数学（三），数学（四）。例如一，二表示此题在数学（一），数学（二）中均有。 1987年试题一 填空题（每小题3分）（1）设三维向量空间的一组基底为= （1，1，0），= （1，0，1），= （0，1，1），则向量= （2，0，0）在此基底下的坐标是 。二 选择题（每小题3分）（1）设n阶方阵A的伴随矩阵为且|A| = a 0，则| = 。（A）a (B) (C) a (D) a 三 本题满分4分设AB = A+2B，且A =，求B。四 本题满分8分问a, b为何值时，线性方程组

2、无解，有唯一解，有无穷多解；并求有无穷多解时的通解。 1988年试题一 填空题（每小题3分） （1）由4维列向量构成4阶方阵A =（），B =（）且|A| = 4，|B| = 1，则|A+B| =。二 选择题（每小题3分） （1）n维向量组（3 s n）线性无关的充要条件是。（A）存在一组不全为零的数使 0（B）中的任意两个向量均线性无关（C）中存在一个向量不能用其余向量线性表示（D）中的任意一个向量都不能用其余向量线性表示三 （本题满分6分）设AP=PB且B=，P=，求。四 （本题满分8分）设A =与B =相似，求（1）x,y的值；（2）满足的可逆阵P。 1989年试题一 填空题（每小题3分

3、）（1）设矩阵A=，I=，则逆矩阵= 。 一二 选择题（每小题3分）（1）设A是4阶矩阵，且A的行列式|A|= 0，则A中。（A）必有一列元素全为0（B）必有两列元素对应成比例（C）有一列向量是其余向量的线性组合（D）任一列向量是其余向量的线性组合 一三 （本题满分6分）问为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式。 一 四 （本题满分8分） 假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明 （1）为的特征值； （2）为A的伴随矩阵的特征值。 一 1990年试题一 填空题（每小题3分）（1）已知向量组则该向量的秩是。 一二 选择题（每小题3分）（1）已知是非齐次线性方程AX=b的两个不同的解，是对应

4、的齐次线性方程组AX=0的基础解系，为任意常数，则方程组AX=b的通解（一般解）必是。（A）（B）（C）（D） 一三 本题满分6分设四阶矩阵B= ，C=，且矩阵满足关系式E，其中E为四阶单位矩阵，表示C的逆矩阵， 表示C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A。 一四 （本题满分8分）求一个正交变换化二次型为标准型。 一 1991年试题一 填空题（每小题3分）（1）设4阶方阵A=，则A的逆阵=。 一二 选择题（每小题3分）（1）设n阶方阵A，B，C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有。（A）ACB=E （B）CBA=E（C）BAC=E （D）BCA=E 一三 （本题满分8分）已知。（

5、1） a,b为何值时，不能表示成的线性组合？（2） a,b为何值时，有的唯一的线性表示式？并写出该表示式。四 （本题满分6分）设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1。 一 1992年试题一 填空题（每小题3分）（1）设其中0,0(i , j=1,2,n),则矩阵A的秩r(A)=。 一二 选择题（每小题3分）（1）要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为。（A） （B）（C） （D） 一三 （本题满分7分）设向量组线性相关，向量组线性无关，问：（1）能否由线性表示？证明你的结论；（2）线性表示？证明你的结论。 一四 （本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为，对应的特征向

6、量依次为，对应的特征向量依次为，又向量。（1）将线性表示；（2）求（n为自然数）。 一 1993年试题一 填空题（每小题3分）（1）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解为。 一，二二 选择题（每小题3分）（1）已知Q=，P为三阶非零矩阵，且满足PQ=0,则。（A）t=6时P的秩必为1 （B）t=6时P的秩必为2（C）t6时P的秩必为1 （D）t6时P的秩必为2 一，二三（本题满分8分）已知二次型通过正交变换化成标准型，求参数a及所用的正交变换矩阵。 一，二四（本题满分6分）设A是矩阵，B是矩阵，其中,I是n阶单位矩阵，若AB = I,证明B的列向量组线

7、性无关。 一，二五（本题满分5分）已知的两个基为：求由基的过渡矩阵。 二 1994年试题一 填空题（每小题3分）（1）已知设,其中=。二 选择题（每小题3分）（1）已知向量组线性无关，则向量组。（A）线性无关（B）线性无关（A）线性无关（A）线性无关 一三 （本题满分8分）设四元组线性齐次方程组（I）为，又已知某线性齐次方程组（）的通解为。（1） 求线性方程组（）的基础解系；（2） 问线性方程组（）和（）是否有非零公共解？ 若有则求出所有的非零公共解；若没有则说明理由。 一四 （本题满分6分）设A是n阶非零方阵，是A的伴随矩阵，是A的转置矩阵，当时，证明|A|0。 一 1995年试题一 填空题

8、（每小题3分）（1） 设三阶方阵A,B满足关系式，且A=，则B=。一 二（2）设A=,是A的伴随矩阵，则。 四，五二 选择题（每小题3分）（1）设A=，B=，则必有。（A） （B）（C） （D） 一，二（2）设矩阵的秩为为m阶单位阵，下属结论中正确的是。（A）A的任意m个列向量必线性无关（B）A的任意一个m阶子式不等于零（C）若矩阵B满足BA=0,则B=0（D）A通过初等行变换，必可化为（E）非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解 四，五三 （本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，求A。 一，二四 （本题满分6分）设A是n阶矩阵，满足的转置矩阵），|A|0，求|A+I|。 一，二五（本

9、题满分7分）设问a为何值时方程组有解？并在有解时求出方程组得通解。 二六 （本题满分8分）对于线性方程组，讨论取何值时，方程组无解，有唯一解和有无穷多组解。在方程组有无穷多组解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。 四七 （本题满分8分）设三阶矩阵A满足其中列向量，试求矩阵A。 四八 （本题满分9分）已知向量组（）（）（），如果各向量组的秩分别为R（）=R（）=3，R（）=4。证明：向量组的秩为4 。 五九 ( 本题满分10 分)已知二次型（1） 写出二次型f的矩阵表达式；（2） 用正交变换把二次型f化为标准型，并写出相应的正交矩阵。 五 1996年试题一 填空题(每小题3分)（1）设A是矩阵

10、，且A的秩，而B=,则r(AB)=。 一，二（2）设A=，X=，B=，其中,(ij;i,j=1,2,n),则线性方程组的解是。 四（3）五阶行列式D=。二 选择题（每小题3分）（1） 四阶行列式的值等于。（A）（B）（C）（D） 一，二（2）设n阶矩阵A非奇异（n2）,是矩阵A的伴随矩阵，则。（A） （B）（C） （D） 四，五（3）设有任意两个n维向量组若存在两组不全为零的数，使，则。（A）都线性相关（B）都线性无关（C）线性无关（D）线性相关 四，五三 （本题满分6分）设，其中I是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，时，A是不可逆矩阵。 一，二四 （本题满分8分）已知二次型的秩为2。（1） 求

11、参数c及此二次型对应矩阵的特征值；（2） 指出方程表示何种二次曲线。 一，二五（本题满分6分）求齐次线性方程组的基础解系。 二六 （本题满分8分）设矩阵A=（1） 已知A的特征值为3，试求y；（2） 求矩阵P，使为对角矩阵。 四七 （本题满分8分）设向量是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，向量不是方程组AX=0的解，即A0,试证明：向量组线性无关。 四八（本题满分9分）已知线性方程组讨论参数p,t取何值时，方程组有解，无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。 五九 （本题满分7分）设有4阶方阵A满足条件伴随矩阵的一个特征值。 五 1997年试题一 填空题（每小题3分）（1）设，B为

12、三阶非零矩阵，且AB=0，则t=。 一（2）已知向量组的秩为2,则t=。 二（3）若二次型是正定的，则t的取值范围是。 三（4）设n阶矩阵，则|A|=。 四二 选择题（每小题3分）（1）设，则三条直线 （其中0，i=1，2，3）交于一点的充要条件是。（A）线性相关（B）线性无关（C） 秩（D）线性相关，线性无关 一（2）设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是。（A）（B）（C）（D） 三，四（3）设A,B为同阶可逆矩阵，则。（A）AB=BA（B）存在可逆矩阵P，使（C）存在可逆矩阵C，使（D）存在可逆矩阵P和Q，使 三（4）非齐次线性方程组中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩

13、为r，则。（A）r=m时，方程组AX=b有解（B）r=n时，方程组有唯一解（C）m=n时，方程组AX=b有唯一解（D）rm时，方程组AX=b有无穷多解 四三（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分）（1）设B是秩为2的矩阵，是齐次线性方程组BX=0的解向量，求BX=0的解空间的一个标准正交基。 一（2）已知是矩阵A=的一个特征向量。（i）试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值；（ii）问A能否相似于对角形？说明理由。 一四 （本题满分5分）设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。（1） 证明B可逆；（2） 求。 一五 （本题满分5分）已知A=，且，其

14、中I是三阶单位矩阵，求矩阵B。 二六 （本题满分8分）取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组得通解。 二七（本题满分6分）设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数，记分块矩阵，Q=，其中是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。（1） 计算并化简PQ;（2） 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是b。 三，四八(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是。（1） 求A的属于特征值3的特征向量；（2） 求矩阵A。 三九（本题满分9分）设矩阵A与B相似，且，B=（1） 求a,b的值；（2） 求可逆矩阵P,使。 四 1998年试题一 填空题（每小题3分）（1）设A为n阶矩阵，|A|0，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值。