湘教版数学八年级下册111直角三角形的性质和判定Ⅰ.docx
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湘教版数学八年级下册111直角三角形的性质和判定Ⅰ
初中数学试卷
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湘教版8年级下册数学1.1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
同步练习
一、选择题（本大题共8小题）
1.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
2.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（）
A.24°B.34°C.44°D.46°
3.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于（）
A.60°B.75°C.90°D.105°
4.在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，则AC=（ ）
A.1 B.4 C. D.
5.在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余
的角的个数有（）
A.1个；B.2个；C.3个；D.4个；
6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=cm，则AB边上的中线长为（ ）
A.1cm B.1.5cm C.2cm D.cm
7.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
8.如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB．若AE=10，则DF等于（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题（本大题共6小题）
9.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为__________三角形.
10.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.
11.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是______cm．
12.如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，则∠ACD的度数.
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC=______．
14.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，则DE的长是.
三、计算题（本大题共4小题）
15.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长
16.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。
求证：
DE=DC。
17.已知：
△ABC中，AB=AC=BC（△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，
DE⊥AC于E.求证：
.
18.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。
求证：
AE=DF。
参考答案：
一、选择题（本大题共8小题）
1.B
分析：
根据三角形的内角和定理可解答得到。
解：
因为三角形内角和为
，三角形三角之比为1∶2∶3，故可得到最大角为
，
可判断是直角三角形，故选B。
2.B
分析：
可设其中的小角的度数为X，则另一个角的度数为x+22,根据直角三角形的性质可计算得到。
解：
设其中的小角的度数为X，则另一个角的度数为x+22，则有X+x+22=90，解得x=34,故选B。
3.C
分析：
根据对顶角的性质可判断∠1+∠2等于90°。
解：
∠1+∠2等于90°故选C
4.C
分析：
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
解：
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴AB=2BC=4，
由勾股定理得，AC2=AB2-BC2，
∴AC=2．故选 C．
5.C
分析：
由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．
解：
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴与∠A互余的角有2个，
故选C．
6.A
分析：
设斜边AB=2x，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=x，再利用勾股定理列式求出x的值，从而得到AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：
设斜边AB=2x，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=
AB=x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，
即（2x）2=（）2+x2，
解得x=1，
∴AB=2×1=2cm，
AB边上的中线长=
AB=
×2=1cm．故选A．
7.B
分析：
作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
解：
如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=
AB×CD=
×20×15=150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格：
150a元．故选B．
8.A
分析：
作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
解：
作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=10，
∴在Rt△DEG中，DG=
ED=
×10=5，
∴DF=DG=5．故选A．
二、填空题（本大题共6小题）
9.分析：
根据三角形的内角和进行解答即可。
解：
证明：
∵AD=CD，
∴∠A=∠1．
同理∠2=∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：
∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．故答案为直角三角形。
10.分析：
根据直角三角形中线的性质解答即可。
解：
∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴在Rt△BCE中，EM=12BC=4，
在Rt△BCF中，FM=12BC=4，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13．
11.分析：
先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等），
∵AD=2cm，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm．
∴AB的长度是8cm．
12.
解：
∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B.
∵∠BCF=35°，∴∠B=35°.
∵△ABC为直角三角形，
∴∠CAB=90°-35°=55°.
∵DC是斜边AB上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠ACD=∠A=55°
13.
分析：
根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，求出AD=BD=6，CD=BD=3，即可求出答案．
解：
∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∠A=90°-60°=30°，∠CBD=∠ABD=
∠ABC=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD=，
∵AD=6，
∴BD=6，
∴CD=
BD=3，
∴AC=6+3=9，
故答案为：
9．
14.
解：
∵∠B=∠C，∴AB=AC.
又D是BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.
又E是AC的中点，∴DE=
AC.
∵AB=AC，AB=8，
∴DE=
AB=
×8=4.
三、计算题（本大题共4小题）
15.分析：
由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.
在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.
解：
在Rt△ABC中
∵∠ACB=90∠A=30°∴
∵AB=8∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，
，
∴
16.
证明：
∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°
∴∠DCA=22.5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°
∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°
∴DE=DC
17.
分析：
CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.
证明：
∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°（垂直定义）
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC∠C=60°
∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
∵D为BC中点，
∴
∴
∴
.
18.
解：
∵在Rt△ACB中，D为AB中点，
∴
且，∠2=∠3
∵DE∥CF∴∠1=∠2∴∠1=∠3
∴在△DEA与△DFC中
∴△EDA≌△DFC（SAS）
∴AE=DF
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