湘教版数学八年级下册111直角三角形的性质和判定Ⅰ.docx
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湘教版数学八年级下册111直角三角形的性质和判定Ⅰ
初中数学试卷
灿若寒星整理制作
湘教版8年级下册数学1.1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
2.若直角三角形中的两个锐角之差为22°,则较小的一个锐角的度数是()
A.24°B.34°C.44°D.46°
3.如图,某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上,则∠1+∠2等于()
A.60°B.75°C.90°D.105°
4.在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=2,则AC=( )
A.1 B.4 C. D.
5.在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,那么与∠B互余
的角的个数有()
A.1个;B.2个;C.3个;D.4个;
6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AC=cm,则AB边上的中线长为( )
A.1cm B.1.5cm C.2cm D.cm
7.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( )
A.300a元 B.150a元 C.450a元 D.225a元
8.如图,∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB.若AE=10,则DF等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(本大题共6小题)
9.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半,那么这个三角形为__________三角形.
10.如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是__________.
11.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长度是______cm.
12.如图,Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,则∠ACD的度数.
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则AC=______.
14.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E分别是BC、AC的中点,AB=8,则DE的长是.
三、计算题(本大题共4小题)
15.已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D为AB中点,DE⊥AC于E,∠A=30°,求BC,CD和DE的长
16.已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,CE为AB边上的中线,且∠BCD=3∠DCA。
求证:
DE=DC。
17.已知:
△ABC中,AB=AC=BC(△ABC为等边三角形)D为BC边上的中点,
DE⊥AC于E.求证:
.
18.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等。
求证:
AE=DF。
参考答案:
一、选择题(本大题共8小题)
1.B
分析:
根据三角形的内角和定理可解答得到。
解:
因为三角形内角和为
,三角形三角之比为1∶2∶3,故可得到最大角为
,
可判断是直角三角形,故选B。
2.B
分析:
可设其中的小角的度数为X,则另一个角的度数为x+22,根据直角三角形的性质可计算得到。
解:
设其中的小角的度数为X,则另一个角的度数为x+22,则有X+x+22=90,解得x=34,故选B。
3.C
分析:
根据对顶角的性质可判断∠1+∠2等于90°。
解:
∠1+∠2等于90°故选C
4.C
分析:
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC,然后利用勾股定理列出方程求解即可.
解:
∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=90°-60°=30°,
∴AB=2BC=4,
由勾股定理得,AC2=AB2-BC2,
∴AC=2.故选 C.
5.C
分析:
由“直角三角形的两锐角互余”,结合题目条件,找出与∠A互余的角.
解:
∵∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,
∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴与∠A互余的角有2个,
故选C.
6.A
分析:
设斜边AB=2x,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=x,再利用勾股定理列式求出x的值,从而得到AB,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
解:
设斜边AB=2x,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=
AB=x,
由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,
即(2x)2=()2+x2,
解得x=1,
∴AB=2×1=2cm,
AB边上的中线长=
AB=
×2=1cm.故选A.
7.B
分析:
作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D,则∠DAC=30°,由AC=30m,即可求出CD=15m,然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2,最后根据每平方米的售价即可推出结果.
解:
如图,作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D,
∵∠BAC=150°,
∴∠DAC=30°,
∵CD⊥BD,AC=30m,
∴CD=15m,
∵AB=20m,
∴S△ABC=
AB×CD=
×20×15=150m2,
∵每平方米售价a元,
∴购买这种草皮的价格:
150a元.故选B.
8.A
分析:
作DG⊥AC,根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE,再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD,求出∠DEG=15°×2=30°,再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长,然后根据角平分线的性质求出DF.
解:
作DG⊥AC,垂足为G.
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE,
∵∠DAE=∠ADE=15°,
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°,
∴∠DEG=15°×2=30°,
∴ED=AE=10,
∴在Rt△DEG中,DG=
ED=
×10=5,
∴DF=DG=5.故选A.
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析:
根据三角形的内角和进行解答即可。
解:
证明:
∵AD=CD,
∴∠A=∠1.
同理∠2=∠B.
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°,
即2(∠1+∠2)=180°,
∴∠1+∠2=90°,
即:
∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.故答案为直角三角形。
10.分析:
根据直角三角形中线的性质解答即可。
解:
∵BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,
∴在Rt△BCE中,EM=12BC=4,
在Rt△BCF中,FM=12BC=4,
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.
11.分析:
先求出∠ACD=30°,然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答.
解:
在Rt△ABC中,
∵CD是斜边AB上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠B=30°(同角的余角相等),
∵AD=2cm,
在Rt△ACD中,AC=2AD=4cm,
在Rt△ABC中,AB=2AC=8cm.
∴AB的长度是8cm.
12.
解:
∵EF∥AB,∴∠BCF=∠B.
∵∠BCF=35°,∴∠B=35°.
∵△ABC为直角三角形,
∴∠CAB=90°-35°=55°.
∵DC是斜边AB上的中线,
∴AD=BD=CD,
∴∠ACD=∠A=55°
13.
分析:
根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°,求出AD=BD=6,CD=BD=3,即可求出答案.
解:
∵在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,
∠A=90°-60°=30°,∠CBD=∠ABD=
∠ABC=30°,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD=,
∵AD=6,
∴BD=6,
∴CD=
BD=3,
∴AC=6+3=9,
故答案为:
9.
14.
解:
∵∠B=∠C,∴AB=AC.
又D是BC的中点,
∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.
又E是AC的中点,∴DE=
AC.
∵AB=AC,AB=8,
∴DE=
AB=
×8=4.
三、计算题(本大题共4小题)
15.分析:
由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半,BC可求,由直角三角形斜边中线的性质可求CD.
在Rt△ADE中,有∠A=30°,则DE可求.
解:
在Rt△ABC中
∵∠ACB=90∠A=30°∴
∵AB=8∴BC=4
∵D为AB中点,CD为中线
∴
∵DE⊥AC,∴∠AED=90°
在Rt△ADE中,
,
∴
16.
证明:
∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°
∴∠DCA=22.5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°
∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°
∴DE=DC
17.
分析:
CE在Rt△DEC中,可知是CD的一半,又D为中点,故CD为BC上的一半,因此可证.
证明:
∵DE⊥AC于E,∴∠DEC=90°(垂直定义)
∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC∠C=60°
∵在Rt△EDC中,∠C=60°,∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
∵D为BC中点,
∴
∴
∴
.
18.
解:
∵在Rt△ACB中,D为AB中点,
∴
且,∠2=∠3
∵DE∥CF∴∠1=∠2∴∠1=∠3
∴在△DEA与△DFC中
∴△EDA≌△DFC(SAS)
∴AE=DF