双曲线知识点与性质大全.docx
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双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程
【知识梳理】
1、双曲线的定义
FF2a2a,a0的距离之差的绝对值等于定长、F的点的轨迹称为双曲线，其中两）平面内，到两定点（1F2121FF的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线、F称为双曲线的实轴长，线段称为双曲线的焦点，定长2aF定点2121.的第一定义
FPFFPFP2a【注】.点轨迹为两条射线，此时1212
（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值1的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦ee
e称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.点，定直线称为双曲线的准线，定值
、双曲线的简单性质2
2222xyxy1a,b001a,b标准方程2222aabb
顶点坐标Aa,0B0,a
c,0上焦点F0,cF，下焦点左焦点F，右焦点F焦点坐标0,cc,02211
实轴长2a2b、虚轴长2b实轴长2a、虚轴长虚轴与虚轴
a，有界性xya
y.轴对称，同时也关于原点对称轴对称，关于x关于对称性
、渐近线3bx2222xxx.0，即yy0，或y1a,by0的渐近线为双曲线
2222abbaaab
【注】
2222x具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；0xy1y①与双曲线
2222bbaa
22yxb；0的双曲线方程可以设为x②渐近线为y22aba
.共轭双曲线具有相同实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，③共轭双曲线：
.的渐近线
④等轴双曲线：
实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.
、焦半径4
22x为双曲线,y）yFPP（x.若1a,b0的距离称为焦半径到双曲线焦点上的任意一点，双曲线上任意一点2200ba
.ce，其中|PF|exaaF（c,0），F（c,0）为双曲线的左、右焦点，则，ex|PF|012201a
5、通径
22xyFABAB为双曲线的通径，、焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于两点，称线段01a,b过双曲线22ab2且.2bAB
a
6、焦点三角形
22xyP为双曲线c,0），F（c,0）PFF为双曲线的焦点双曲线的左右焦点，称上的任意一点，为（01a,bF212122ba
2S，则焦点三角形的面积为：
cot.bPF若.三角形FFPF21212
7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b（虚半轴长）.
22xy0的焦点三角形的内心的轨迹为xay01a,b、双曲线822ab
9、直线与双曲线的位置关系
22yx1a,b0l:
AxCBy，则0，双曲线直线：
22
ab
22222BaAC；b相交l与
22222BaAC；b相切与l
22222AaB相离l与Cb.
10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.
4条、3条、2条，或者0条.过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为【注】
、焦点三角形角平分线的性质11
22x点y是双曲线1a,b2F,FbFPFMP（x,y）是双曲线的焦点，上的动点，是a
0的角平分线上一点，且21221
x2aM22的点的轨迹为，即动点yFMMPOM0axa，则.2
12、双曲线上任意两点的坐标性质
22222xbyy21,yAx,Bx,yxx为双曲线y.上的任意两点，且0，则1a,b21211222222xxaab21
22yxP为双曲线上的任两点，的中心，与双曲线交于,yAx,y1a,b0,Bx过双曲线【推广1】直线l212122ba
b2k,k意一点，则kk.均存在）（BPAPBPAP2a22x】设直线2【推广l：
ykxEED两点，交直线l1a,b0于C、．若于点y：
交双曲线kxmm0y121222ba2b的中点，则CD为.kk212
a
13、中点弦的斜率222yxbx0A,B,yAM交于两点，且0与双曲线Mx过直线ly.1a,b0k的斜率BM，则直线l000AB222abay022xPM,N、点14两上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于y是双曲线
220）P（x,y）（x0,yba01a,b
2PMPNa定值点，则.
x22是双曲线PM,NP（x,y）（x0,y0）两交渐近线于作渐近线的平行线，上的动点，0过15、点y1a,b22baab.S定值点，则OMPN
2
【典型例题】
10x2y0，这双曲线的方程为、双曲线的渐近线方程为，焦距为例1_________.
22xyk_________.的取值范围是1】若曲线1【变式表示双曲线，则
1k4k
xy221的两条渐近线的夹角为【变式2】双曲线_________.
48
2222xxyy11有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为和双曲线_________.】已知椭圆【变式3
22225n3m3n2m
xx22221（mn0）和双曲线】若椭圆4Pyy为两曲线的一个交，、FF1（a0,b0）有相同焦点【变式21banm
PFPF点，则_________.21
224yy
x2C:
x恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是的图像与曲线【变式5】如果函数
）（
1,0（,1][0,1）[1,0]（1,[1,1））D.A．B.C.
x2C:
22与双曲线y1PCxA,B上的任意一点，若直线6】的渐近线交于为双曲线两点，设【变式
4
OPaOAbOBa,bR,O）为坐标原点（，则下列不等式恒成立的是（）
2222baa12bA.B.
2
2222baa12bC.D.2
2222xxyyS1,连接其四个焦点的四边形面积为的四个顶点为四边形面积为11】设连接双曲线7【变式与
2222abab
S1S_________.，则的最大值为2
S2
1PPFPF=0在双曲线上，,的左右焦点若点2122F、xFy分别是双曲线、设例2且PFPF=_________.，则21219
x22【变式1】过双曲线y的弦AB6，则ABF（F为右焦点）的周长为_________.F1的左焦点212910
x22【变式2】双曲线Py是双曲线上的动点，且，、FPF9，则PF_________.F的左、右焦点121212016
2x1yF、FFPFPFFP2的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且是双曲线、设例3的面积.，求21
211243221A、By3xAB1ykxO为直径的圆恰好过原点两个不同的交点，如果以有与双曲线4、已知直线例,
k.的值试求
221A、By3xkA、B1ykx两点，那么是否存在实数相交于与双曲线例5、已知直线两点关于直线使得
k0x2y的值；若不存在，说明理由对称？
若存在，求出.
x22例6、已知双曲线yFF的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率若过点的右焦点为1,
124
的取值范围为_________.
2yy
1（x4）xC；:
【变式1】已知曲线
C）画出曲线1（的图像；
lCk1kxy有两个公共点，求：
（2）若直线与曲线的取值范围；
P0，pp0CPQQ.为曲线）若3，的最小值上的点，求（
22xlC2y1axy10：
：
与曲线2【变式】直线.
alC的取值范围；有且仅有一个交点，求实数与曲线
（1）若直线
2aaPQ21Cl的取值范围；，求实数2被曲线）若直线截得的弦长（
aaPQ为直径的圆经过原点，若存在，求出，使得以.（3）是否存在实数的值；若不存在，请说明理由
xyPF22PA1PA（14）F，是双曲线右支上的动点，求的左焦点，,例7、已知是双曲线.的最小值
412
22221上的点，2yx54P则和是双曲线的右支上一点，1【变式】yx2x5分别是圆M,Ny
169
PMPN的最大值等于_________.
2222yy49Px5x5P1.的轨迹方程都外切，求动圆圆心和、已知动圆例8与两个定圆
ABCA5，0B5,0ABCx3C上，则顶点【变式,，的顶点为】1的内切圆圆心在直线的轨迹方程是
_________.
M、NMN1x7,0yF与其相交于，直线】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为【变式2两点，线段
2
，求此双曲线的方程的中点的横坐标为.
3
22xy1_________.M、已知双曲线例9为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为，若点
169
C2）xP（0,的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以轴上的双曲线1为半径的、焦点在例10
CPxy对称关于直线的一个焦点与圆相切，又知双曲线
（1）求双曲线的方程；
AB的中点，求直线及在经过点）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线（
CllM（2,0）ymx1A,B2
n.轴上的截距的取值范围
222yaxlC2,01ykx右焦点为：
，等轴双曲线【变式】设直线的方程为.
（1）求双曲线的方程；
lA、BkkMABM的表示点中点为,记，求实数2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点的取值范围，并用（
坐标；
Q1,0yQM轴上的截距的取值范围在，求直线（3）设点.
22xCy1方程为：
例11、已知双曲线.
2
22xBA、y5CmAB0xym的中点在圆，且线段的值；上，求交于不同的两点与双曲线）已知直线（1
P（x）xyly2CAB,y0x）设直线（2：
是圆000022Ol、，（上动点）处的切线，交于不同的两点与双曲线AOB.的大小为定值证明
23
xx、AAyP6,6轴上，其渐近线方程是在、已知中心在原点，顶点12例.，双曲线过点21
3
（1）求双曲线的方程；
PAGM、NlGMNAl，与双曲线交于不同的两点的重心，，使平分线段，问：
是否存在直线经过）动直线（221
.证明你的结论
2y2FxxFCF轴的直线，在作垂直于x1b0为双曲线：
例13、已知点、轴上方交双的左、右焦点，过2122b
222MbOCx．Fy的方程是，且曲线．圆于点MF3021
C的方程；1（）求双曲线
C上任意一点（）过双曲线作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
PPPPPPP的值；、，求22112
OMABABOClQx上任意一点）过圆（3，求证：
于中点为交双曲线作圆两点，的切线、．,y00
xy22b3a1a0,bC例14、已知双曲线：
．F2,0，且的一个焦点是02
22ab
的方程；）求双曲线C（1
l（m,1）的右支相交于C与双曲线当直线lA,BF，的一个法向量为的直线不同的两点时，求实）设经过焦点（22
223（x1）y3mABM在曲线中点上．的取值范围；并证明数
lmAOBA,B为锐角？
若存在，请两点，问是否存在实数与双曲线C的右支相交于，使得23（）设（）中直线
m的范围；若不存在，请说明理由．求出
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