双曲线知识点与性质大全.docx

1、双曲线知识点与性质大全 双曲线与方程 【知识梳理】 1、双曲线的定义 FF2a2a,a 0 的距离之差的绝对值等于定长 、 F的点的轨迹称为双曲线，其中两）平面内，到两定点（ 1F21 21F F 的长称为双曲线的焦距 .此定义为双曲线、 F称为双曲线的实轴长，线段称为双曲线的焦点，定长2a F定点 2121 .的第一定义 F PFFPF P 2a【注】.点轨迹为两条射线，此时 1212 （ 2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值1 的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦e e e 称为双曲线的离心率 .此定义为双曲线的第二定义 .点，定直线称为双曲线的准线，定值 、双曲线的简

2、单性质2 2 2 2 2xyxy 1 a,b 001 a,b标准方程 2222aabb 顶点坐标Aa,0B0, a c,0上焦点 F 0, c F，下焦点左焦点 F，右焦点 F焦点坐标0,cc,0 2211 实轴长 2a 2b、虚轴长 2b实轴长 2a 、虚轴长虚轴与虚轴 a ，有界性xya y .轴对称，同时也关于原点对称轴对称，关于 x 关于对称性 、渐近线3 bx 2222 xx x . 0 ，即y y0 ，或y1 a, by0 的渐近线为双曲线 2222a b b aaa b 【注】 2222x具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；0xy1y 与双曲线 2222bba a 22 yxb

3、；0的双曲线方程可以设为x 渐近线为 y 22a ba .共轭双曲线具有相同实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴， 共轭双曲线： .的渐近线 等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 、焦半径4 22x 为双曲线 , y ) yF P P( x.若1 a, b 0 的距离称为焦半径到双曲线焦点上的任意一点，双曲线上任意一点2 2 00ba .c e，其中 | PF | ex a a F ( c,0) ， F (c,0) 为双曲线的左、右焦点，则，ex|PF | 012201a 5、通径 22xy F A B AB 为双曲线的通径，、焦点作垂直于虚轴的

4、直线，交双曲线于两点，称线段01 a,b过双曲线 22ab 2 且.2b AB a 6、焦点三角形 22xy P 为双曲线c,0) ， F (c,0)PFF 为双曲线的焦点双曲线的左右焦点，称上的任意一点，为 (01 a,bF 212 1 22ba 2 S ，则焦点三角形的面积为： cot .bPF若 .三角形FF PF 21 212 7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长） . 22xy 0 的焦点三角形的内心的轨迹为xa y 01 a, b、双曲线8 22ab 9、直线与双曲线的位置关系 22yx 1 a,b0 l : AxCBy，则0，双曲线直线 ：2 2 ab 22222 Ba

5、 AC；b相交l 与 22222 Ba AC；b相切与 l 22222 Aa B相离 l 与Cb. 10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点. 4条、3条、2条，或者 0条.过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为【注】 、焦点三角形角平分线的性质11 2 2 x点y 是双曲线 1 a, b2 F , F bFPFM P(x, y)是双曲线的焦点，上的动点，是a 0的角平分线上一点，且 21221 x2 a M22的点的轨迹为，即动点yFM MP OM0axa ，则. 2 12、双曲线上任意两点的坐标性质 22222xbyy 21 , yA x , B x ,

6、y xx为双曲线y.上的任意两点，且0 ，则1 a, b212112 2 2 222xxaab 21 22yx P 为双曲线上的任两点，的中心，与双曲线交于 , yA x , y1a, b 0, B x过双曲线【推广 1】直线 l 2121 22ba b 2 k , k 意一点，则 kk.均存在）（ BPAPBPAP 2 a 22 x】设直线 2【推广l：yk x E E D 两点，交直线l 1 a,b 0 于 C、若于点 y： 交双曲线k x m m 0 y 1 21 2 2 2 ba 2 b 的中点，则 CD 为.kk 21 2 a 13、中点弦的斜率 2 22yxb x 0 A, B ,

7、 yAM交于两点，且 0与双曲线 M x过直线 l y.1 a, b 0 k的斜率BM ，则直线 l 00 0 AB222aba y 0 22x P M,N、点14两上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于y 是双曲线 220)P( x, y) ( x0, yb a01 a, b 2 PM PN a定值点，则. x 22 是双曲线PM , NP(x,y)( x0, y 0) 两交渐近线于作渐近线的平行线， 上的动点，0 过 15、点 y1 a, b 22ba ab . S 定值点，则 OMPN 2 【典型例题】 10 x 2 y 0 ，这双曲线的方程为、双曲线的渐近线方程为，焦距为例 1_. 2

8、2xy k _.的取值范围是1 】若曲线 1【变式表示双曲线，则 1 k4 k xy221的两条渐近线的夹角为 【变式 2】双曲线_. 48 2222xxyy 11有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为和双曲线_.】已知椭圆【变式 3 22225n3m3n2m xx2222 1(m n 0) 和双曲线 】若椭圆4Pyy 为两曲线的一个交 ， 、 F F1(a 0, b 0) 有相同焦点【变式 21banm PFPF点，则 _.21 22 4 yy x 2 C : x恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是的图像与曲线【变式5】如果函数 ）（ 1,0 (, 1 0,1) 1,0 (1, 1,1

9、) )D.A B.C. x2 C : 2 2与双曲线y 1P C xA, B 上的任意一点，若直线6】 的渐近线交于为双曲线两点，设 【变式 4 OPaOA bOB a, bR,O )为坐标原点(，则下列不等式恒成立的是（） 2222baa1 2bA. B. 2 2222baa1 2 b C. D. 2 2222xxy y S 1,连接其四个焦点的四边形面积为的四个顶点为四边形面积为1 1】设连接双曲线 7【变式与 2222abab S1 S_.，则的最大值为2 S2 1 PPFPF =0 在双曲线上，,的左右焦点若点 2122F、xFy 分别是双曲线、设 例 2且 PFPF =_.，则21

10、219 x22 【变式 1】过双曲线y 的弦 AB6 ，则ABF （ F 为右焦点）的周长为 _. F1 的左焦点 212910 x22 【变式 2】双曲线Py 是双曲线上的动点，且 ， 、 FPF 9 ，则 PF _.F的左、右焦点1 21212016 2x1y F、FF PFPF FP 2的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且是双曲线、设 例 3的面积 .，求21 2 1 12 43 22 1 A、B y3xAB 1 y kx O 为直径的圆恰好过原点两个不同的交点，如果以有与双曲线 4、已知直线例, k .的值试求 22 1 A、B y3xk A、 B 1 y kx 两点，那么是否存在实数

11、相交于与双曲线例 5、已知直线两点关于直线使得 k 0 x 2 y 的值；若不存在，说明理由对称？若存在，求出. x22 例 6、已知双曲线yF F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率若过点 的右焦点为 1, 124 的取值范围为 _. 2 y y 1( x4) xC ；:【变式 1】已知曲线 C ）画出曲线 1（的图像； lCk 1 kx y有两个公共点，求： （ 2）若直线 与曲线 的取值范围； P 0，pp 0 C PQ Q.为曲线）若 3 ，的最小值上的点，求（ 22xlC2y1ax y 1 0 ： ： 与曲线 2【变式】直线 . a lC的取值范围；有且仅有一个交点

12、，求实数 与曲线 （ 1）若直线 2 aaPQ 2 1Cl的取值范围；，求实数 2 被曲线 ）若直线 截得的弦长 （ a aPQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出 ，使得以.（ 3）是否存在实数 的值；若不存在，请说明理由 xy PF22PA 1 P A(14)F，是双曲线右支上的动点，求的左焦点，,例 7、已知 是双曲线 .的最小值 4 12 2 2 221上的点，2y x 54 P 则和是双曲线的右支上一点，1 【变式】yx2x 5 分别是圆M , N y 169 PMPN 的最大值等于 _. 2222yy49P x 5 x 5P1.的轨迹方程都外切，求动圆圆心和、已知动圆例 8 与两个定

13、圆 ABC A 5，0 B 5,0 ABC x 3 C 上，则顶点【变式,，的顶点为】1的内切圆圆心在直线的轨迹方程是 _. M 、N MN1x 7,0yF与其相交于，直线】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为【变式 2 两点，线段 2 ，求此双曲线的方程的中点的横坐标为. 3 22xy 1 _.M、已知双曲线例 9为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为，若点 169 C 2) x P(0,的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以轴上的双曲线1 为半径的、焦点在例 10 C P x y对称关于直线的一个焦点与圆相切，又知双曲线 （ 1）求双曲线的方程； AB 的中点，求直线及

14、在经过点 ）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线（ CllM ( 2,0)y mx 1A, B2 n .轴上的截距的取值范围 222 ya xl C 2,01 ykx 右焦点为：，等轴双曲线【变式】设直线的方程为. （ 1）求双曲线的方程； lA、 B k k MABM的表示点中点为,记，求实数2）设直线 与双曲线的右支交于不同的两点的取值范围，并用 （ 坐标； Q1,0 yQM轴上的截距的取值范围 在，求直线（ 3）设点. 22xCy1 方程为： 例 11、已知双曲线. 2 22 xB A、y 5 C m AB 0 x y m的中点在圆，且线段的值；上，求交于不同的两点与双曲线 ）已知直线

15、（ 1 P( x ) x yly2CA B, y0x）设直线（ 2：是圆0000 2 2Ol、，（上动点）处的切线，交于不同的两点与双曲线 AOB .的大小为定值证明 23 x x 、A AyP 6,6轴上，其渐近线方程是在、已知中心在原点，顶点 12例.，双曲线过点21 3 （ 1）求双曲线的方程； PA G M 、 N l G MN Al，与双曲线交于不同的两点的重心，使平分线段，问：是否存在直线经过 ）动直线（ 2 21 .证明你的结论 2y 2F x xFCF轴的直线，在作垂直于x 1 b 0 为双曲线 ：例 13、已知点 、 轴上方交双的左、右焦点，过212 2b 222M b O

16、C x Fy 的方程是，且曲线圆于点MF3021 C的方程； 1（）求双曲线 C 上任意一点 （）过双曲线作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 PP P PP PP 的值；、，求221 12 O MABABOCl Q x上任意一点）过圆 （ 3，求证：于中点为交双曲线作圆两点，的切线、, y0 0 xy22b3a 1 a 0,b C例 14、已知双曲线 ： F 2,0 ，且的一个焦点是0 2 22ab 的方程；）求双曲线 C （ 1 l(m,1) 的右支相交于C与双曲线当直线lA, B F，的一个法向量为 的直线 不同的两点时，求实 ）设经过焦点（ 2 2 223( x 1)y 3 m AB M 在曲线中点上的取值范围；并证明数 lm AOB A, B为锐角？若存在，请两点，问是否存在实数 与双曲线 C 的右支相交于，使得 2 3（）设（）中直线 m 的范围；若不存在，请说明理由求出