全国大学生数学建模竞赛试题docx.docx
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2002年全国大学生数学建模竞赛题目
A题车灯线光源的优化设计
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂肓:
，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：
（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
B题彩票中的数学
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：
先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0〜4号球屮摇出一个特别号码，构成屮奖号码。
投注者从0~9十个号码屮任选6个基本号码（可重复），从0〜4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。
以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。
表一
中奖等级
10选6+1（6+1/10）
基本号
码特别号码
说明
.•等桨
abcdefg
选7屮（6+1）
二等奖
abcdef
选7中（6）
三等奖
abcdeXXbcdef
选7中（5）
四等奖
abcdXXXbcdeXXxcdef
选7中（4）
五等奖
abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef
选7中（3）
六等奖
abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef
选7屮
（2）
“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:
先从01〜33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。
投注者从01〜33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。
乂如“36选6+1”的方案，先从01〜36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。
从01〜36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与屮奖号码相符的个数多少确定相应的屮奖等级，不考虑号码顺序。
这两种方案的中奖等级如表二。
表二
中奖
33选7（7/33）
36选6+1（6+1/36）
等级
基本号码特别号码
说明
基本号码特别号码
说明
一等奖
•••••••
选7屮（7）
••••••★
选7屮（6+1）
二等奖
选7中（6+1）
••••••
选7中（6）
三等奖
选7中（6）
选7中（5+1）
四等奖
•••••OO★
选7中（5+1）
选7中（5）
五等奖
选7中（5）
••••OO★
选7中（4+1）
六等奖
••••OOO★
选7中（4+1）
••••OO
选7中（4）
七等奖
••••OOO
选7中（4）
•••OOO★
选7中（3+1）
注：
•为选中的基木号码；★为选中的特别号码；O为未选中的号码。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。
低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
[（当期销售总额X总奖金比例）-低项奖总额]X单项奖比例
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项岀现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
表三
序号
奖项方案
一等奖比例
二等奖比例
三等奖比例
四等奖金额
五等奖金额
六等奖金额
七等奖金额
备注
1
6+1/10
50%
20%
30%
50
按序
2
6+1/10
60%
20%
20%
300
20
5
按序
3
6+1/10
65%
15%
20%
300
20
5
按序
4
6+1/10
70%
15%
15%
300
20
5
按序
5
7/29
60%
20%
20%
300
30
5
6
6+1/29
60%
25%
15%
200
20
5
7
7/30
65%
15%
20%
500
50
15
5
8
7/30
70%
10%
20%
200
50
10
5
9
7/30
75%
10%
15%
200
30
10
5
10
7/31
60%
15%
25%
500
50
20
10
11
7/31
75%
10%
15%
320
30
5
12
7/32
65%
15%
20%
500
50
10
13
7/32
70%
10%
20%
500
50
10
14
7/32
75%
10%
15%
500
50
10
15
7/33
70%
10%
20%
600
60
6
16
7/33
75%
10%
15%
500
50
10
5
17
7/34
65%
15%
20%
500
30
6
18
7/34
68%
12%
20%
500
50
10
2
19
7/35
70%
15%
15%
300
50
5
20
7/35
70%
10%
20%
500
100
30
5
21
7/35
75%
10%
15%
1000
100
50
5
22
7/35
80%
10%
10%
200
50
20
5
23
7/35
100%
2000
20
4
2
无特別号
24
6+1/36
75%
10%
15%
500
100
10
5
25
6+1/36
80%
10%
10%
500
100
10
26
7/36
70%
10%
20%
500
50
10
5
27
7/37
70%
15%
15%
1500
100
50
28
6/40
82%
10%
8%
200
10
1
29
5/60
60%
20%
20%
300
30
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
A题SARS的传播
SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome,严重急性呼吸道综合症，俗称：
非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民牛活带來了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：
（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？
对于卫生•部门所采収的措施做出评论，如：
提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
附件1:
SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测
2003年5月8日
在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。
前儿天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。
在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。
希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。
1模型与参数
假定初始时刻的病例数为NO,平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内，病例数li的增长随时间t（单位天）的关系是：
N（t）=NO（1+K）t
如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。
考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。
我们采用半模拟循坏计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。
参数K和L具有比较明显的实际意义。
L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。
从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。
但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。
该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。
参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。
在疾病初发期，社会來不及防备，此时K值比较大。
为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。
到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。
显然,如果疫情岀现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。
2计算结果
2.1对香港疫情的计算和分析。
香港的数据相对比较完整准确。
但在初期，由于诊断标准等不确切,在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。
我们以报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。
3月17口后则都是正式公布的数据。
累积病例数在图1中用三角形表示。
我们然后用上述方法计算。
4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取K=0.16204。
此后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.0273,然后保持0.0273算出后面控制期的结果。
短期内K调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。
图中实心方黑点是计算的累积病例数。
从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。
可以看出，香港疫情从起始到高峰大约45天，从高峰冋落到1/10以下（每天儿个病例）大约40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到6月上中旬）。
2.2对广东疫情的计算和分析。
广东的起点是02年11月16B,到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。
在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。
总体上看，广东持续的时间比香港长得
多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。
但广东的冋落也比较慢。
从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10來个新增病例，而同样过程香港只用了约40天。
这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。
比较好的拟合结果是，在高峰期之前（t<101天），K二0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。
用这组参数算出的后期口增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。
这种情况与疫情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。
2.3对北京疫情的分析与预测。
北京的病例起点定在3月1口，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。
我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K二0.13913o这个值比香港的0.16204來得低，说明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而香港是45天，这就造成了累积病例数大大超过香港。
从图2中还看出4月20口以前公布的数据大大低于计算值。
而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是比较可行的。
从而可以大致判断出北京前期实
际的病例数。
图中的公布数据截止到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是香港情况卜•获得
图1对香港疫情的拟合
图2对北京疫情的分析
图3是计算的日增病例数。
后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。
这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增儿例。
然后再经过约一个月，即7月上中旬达到口增0病例。
但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累枳总病例数会到3800左右。
至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。
3结论
每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。
病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。
香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。
北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上,则有望在6月上中旬下降到日增儿例。
然后再经过约一个月，即7月上中旬达到口增0病例。
而累积总病例数将达到3100多。
但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。
附件：
北京市疫情的数据下载
B题露天矿生产的车辆安排
钢铁工业是国家工业的基础2—，铁矿是钢佚工业的主要原料基地。
许多现代化佚矿是露天开采的,它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。
提高这些人型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。
露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。
一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。
每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。
每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。
卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。
从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%1%,称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。
从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。
卡车的平均卸车时间为3分钟。
所用卡车载重量为154吨，平均时速28。
卡•车的耗油塑很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。
发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。
卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。
电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。
卡车每次都是满载运输。
每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60的双向.车道，不会出现堵午现彖，每段道路的里程都是已知的。
一个班次的生产计划应该包含以下内容：
出动儿台电铲，分别在哪些铲位上；出动儿辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只
求出各条路线上的卡车数及安排即可）。
一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：
1・总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；
2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）o请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。
针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。
某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。
各卸点一个班次的产量要求：
矿石漏1.2万吨、倒装场11.3万吨、倒装场II1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1・3万吨。
铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：
孑位丄
炉他卫
孑位a
孑如
&位女
&他£
炉他殳
炉竝戈
孑3
护石诵
5.26
5.19
4.21
4.00
2.95
2.74
2・46
1.90
0.64
1.27
他裳场I
1.90
0.99
1.90
1.13
1.27
2.25
1.48
2.04
3.09
3・51
岩场
5.89
5・61
5・61
4.56
3.51
3・65
2・46
2・46
1.06
0.57
岩石诵
0.64
1.76
1.27
1.83
2.74
2・60
4.21
3.72
5.05
6・10
4.42
3.86
3.72
3・16
2.25
2・81
0.78
1.62
1.27
0.50
鬟镇履矿石、岩石数量（万吨）和矿石的平均铁含量如下表:
叱.
叫、
炉竝£
叱'
叱.
wwv*
旷石虽
0•95
1.05
1.00
1.05
1.10
1.25
丄.05
1.30
1.35
1.25
岩石呈
1.25
1?
10
1.35
1.05
1.15
1.35
1.05
1.15
1.35
V^^A-A-A^
1.25
VA-AAIA1A^
30%
28$
29%
32%
31%
33%
32%
31%
33%
31%
6
*8
468
各个铲位和卸点位蛊的示意图
2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“对论文格式的统一要求”）
奥运会临时超市网点设计
2008年北京奥运会的建设工作己经进入全面设计和实施阶段。
奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设市小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（MiniSupermarket,以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。
在比赛主场馆周边地区设置的这种MS,在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：
满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。
图1给出了比赛主场馆的规划图。
作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：
道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等，其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。
为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。
假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。
请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：
1.根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。
2.假定奥运会期问（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。
依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。
3.如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。
4.阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。
说明
1.商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。
影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。
2.为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为10万人，国家体育馆容量为6万人，国家游泳中心（水立方）容量为4万人。
三个场馆的每个看台容量均为1万人，出口对准一个商区，各商区面积相
同。
附录
对观众发放的问卷调查，收回率为33%,三次共收回10000多份。
具体数据请在access数据库中索取,其中年龄分4档：
1）20岁以下，2）20-30岁，3）30-50岁，4）50岁以上；出行方式分4种：
出租、公交、地铁、私车；餐饮方式分3种：
中餐、西餐、商场（餐饮）；消费额（非餐饮）分6档：
1）0—100,2）100—200,3）200—300,4）300—400,5）400—500,6）500以上（元）。
I
图1（A：
国家体育场（鸟巢），B:
国家体育馆，C:
国家游泳中心（水立方））
建模结构图
IE11
图2
-*•-
AX■用家体育场J聲銀〉
B区-国冰体育馆
CK-用彖游泳中心（水立方〉
■・」■・i
图3
B题电力市场的输电阻塞管理
我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。
2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。
可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。
我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。
电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。
市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划一一各发电机组的出力（发电功率）分配方案;在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC
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