高中数学数列求和方法归纳教师版.docx
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高中数学数列求和方法归纳教师版
数列求和方法
一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式:
dnnnaaanSnn2
1（2（11-+=+=
2、等比数列求和公式:
⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==
1（111（1（111
qqqaaqqaqnaSnn
n
[例1]已知3
log1
log23-=
x,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nxxxx32的前n项和.解:
由2
1
2loglog3log1log3323=⇒-=⇒-=
xxx由等比数列求和公式得:
nnxxxxS+⋅⋅⋅+++=32
=x
xxn
--11（=2
11
1
1（1--n=1-n21[例2]设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求1
32（（++=nn
SnSnf的最大值.
解:
由等差数列求和公式得1（21+=nnSn,2（1（2
1
++=nnSn∴132（（++=
nnSnSnf=64342++nnn=nn64341+
+=508（1
2+-n
n501≤
∴当8
-
n,即n=8时,501（max=nf
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和:
13212（7531--+⋅⋅⋅++++=nnxnxxxS………………………①
解:
由题可知,{112（--nxn}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数{1-nx}的通项之积:
设nnxnxxxxxS12（7531432-+⋅⋅⋅++++=…②（设制错位
①-②得nnnxnxxxxxSx12（2222211（1432--+⋅⋅⋅+++++=--
（错位相减再利用等比数列的求和公式得:
nnnxnx
xxSx12（11211（1
----⋅+=--。
∴
2
1
1（
1（12（12（xxxnxnSnnn-+++--=+[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232nn前n项的和.解:
由题可知,{nn
22}的通项是等差
数列{2n}的通项与等比数列{n2
1
}的通项之积
设nnn
S2
226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322226242221++⋅⋅⋅+++=nnn
S…………②①-②得
14322
22222222222211（+-+⋅⋅⋅++++=-nnnn
S1122212+---=nnn
∴12
2
4-+-=nnnS
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排
列（反序,再把它与原数列相加,就可以得到n个（1naa+.[例5]89sin88sin3sin2sin1sin22222++⋅⋅⋅+++的值
解:
设89sin88sin3sin2sin1sin22222++⋅⋅⋅+++=S………….①
将①式右边反序得:
1sin2sin3sin88sin89sin22222+++⋅⋅⋅++=S……②又因为1cossin,90cos（sin22=+-=xxxx,
①+②得:
89cos89（sin2cos2（sin1cos1（sin2222222++⋅⋅⋅++++=S=89∴S=44.5
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例6]求数列的前n项和:
231
,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-naaan,…
解:
设231
（71（41（11（12-++⋅⋅⋅++++++=-na
aaSnn
将其每一项拆开再重新组合得
23741（1
111（12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-na
aaSnn（分组当a=1时,213（nnnSn-+==213（n
n+（分组求和
当1≠a时,213（1111nna
Sn-+
--==213（11nnaaan-+---[例7]求数列{n（n+1（2n+1}的前n项和.
解:
设kkkkkkak++=++=233212（1（∴∑=++=n
knkkkS1
12（1（=32（231
kkkn
k++∑=
将其每一项拆开再重新组合得:
Sn=kkkn
kn
kn
k∑∑∑===++1
2
1
3
1
32=21（21（321（2222333nnn+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
=2
1（212（1（21（22++++++nnnnnnn=2
2（1（2++nnn
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项如:
（1（1（nfnfan-+=
（2
nnnntan1tan（1cos（cos1sin-+=+（31
1
11（1+-=+=
nnnnan
（4（4121
121（21112（12（2（2+--+=+-=nnnnnan
（5]
2（1（1
1（1[212（1（1++-+=+-=
nnnnnnnan
n
nnnnnnnSnnnnnnnnna2
1（1
1,21（121211（1（2211（21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则
[例8]求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
21,
2
11nn的前n项和.
解:
设nnnnan-+=++=
111
则
1
1212
11
+++⋅⋅⋅+++
+=
nnSn
=1（2（2（nn-++⋅⋅⋅+-+-=11-+n[例9]在数列{an}中,11211++⋅⋅⋅++++=nnnnan,又1
2+⋅=nnnaab,求数列{bn}的前n项的和.
解:
∵211211nnnnnan=++⋅⋅⋅++++=
∴11
1（82
122+-=+⋅=nnnnbn
∴数列{bn}的前n项和:
]11
1（4131（3121（211[（8+-
+⋅⋅⋅+-+-+-=nnSn=1
11（8+-n=18+nn
[例10]求证:
1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12=+⋅⋅⋅++
解:
设
89
cos88cos1
2cos1cos11cos0cos1+⋅⋅⋅++=
S∵
nnnntan1tan（
1cos（cos1sin-+=+
89
cos88cos1
2cos1cos11cos0cos1+⋅⋅⋅++=
S=]}88tan89[tan2tan3（tan1tan2（tan0tan1{（tan1
sin1
-+-+-+-=
0tan89（tan1sin1-=
1cot1sin1⋅=1
sin1cos2∴原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例11]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解:
设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∵180cos（cosnn--=（找特殊性质项
∴Sn=（cos1°+cos179°+（cos2°+cos178°+（cos3°+cos177°+···+
（cos89°+cos91°+cos90°=0（合并求和
[例12]数列{an}:
nnnaaaaaa-====++12321,2,3,1,求S2002.
解:
设S2002=2002321aaaa+⋅⋅⋅+++,由nnnaaaaaa-====++12321,2,3,1可得
2,3,1654-=-=-=aaa,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====aaaaaa……
∴2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++kkkkkkaaaaaa
∵0665646362616=+++++++++++kkkkkkaaaaaa
∴S2002=2002321aaaa+⋅⋅⋅+++=
（（（66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993（aaaaaaa+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=2002200120001999aaaa+++=46362616+++++++kkkkaaaa=5[例13]在各项均为正数的等比数列中,若
103231365logloglog,9aaaaa+⋅⋅⋅++=求的值。
解:
设1032313logloglogaaaSn+⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm=⇒+=+和对数的运算性质NMNMaaa⋅=+logloglog得:
log（loglog（loglog（log6353932310313aaaaaaSn++⋅⋅⋅++++=
高老师个性化教学◎高中数学◎数列基础知识和方法＝（log3a1×a10+（log3a2×a9+×××+（log3a5×a6＝log39+log39+×××+log39＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例14]求1+11+111+×××+111×3××1之和.12n个1解：
由于111×××1=123k个111´999×4×3×9=（10k-114299k个1n个1∴1+11+111+×××+111×3××1＝1211111（10-1+（102-1+（103-1+×××+（10n-1999911＝（101+102+103+×××+10n-（1+14+1+4×××+12439914n个11110（10n-1n-＝（10n+1-10-9n＝×910-1981[例15]已知数列{an}：
an=¥8,求å（n+1（an-an+1的值.（n+1（n+3n=1解：
∵（n+1（an-an+1=8（n+1[11-]（n+1（n+3（n+2（n+4＝8×[11+]（n+2（n+4（n+3（n+41111-+8（-n+2n+4n+3n+4¥¥1111-+8å（-n+2n+4n+4n=1n+3＝4×（å（n+1（an=1¥n-an+1=4å（n=111113＝4×（++8×＝3344人生格言：
世上无难事，只要肯登攀。
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高老师个性化教学专题训练1、数列{an}的通项an=（A．◎高中数学◎数列基础知识和方法1，则数列{an}的前1+2+3+L+nn项和为2n2nn+2nB．C．D．n+12n+1n+12n+111112、数列1,2,3,4,L的前n项和可能为（248161111A．（n2+n+2-nB．（n2+n+1-n-12222121121C．（n-n+2-nD．（n+n+2（1-n2222223、已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则a12+a2等于（+LanA．（2n-121B．（2n-13C．4n-11D．（4n-134、数列{an}的通项公式an=（A．111n+n+1（nÎN*,若前n项和为10，则项数n为B．99C．120D．121．．5、在数列{an}中，a1=1,a2=2且an+2-an=1+（-1n（nÎN*，则S100=6、已知Sn=1-5+9-13+17-21+L+（-1n-1（4n-3，则S15+S22=7、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若．2m>1,mÎN,am-1+am+1-am=0,S2m-1=38，则m＝128、已知数列{an}中，a1=1，当n³2时，其前n项和Sn满足Sn=an（Sn-。
2
（1）求Sn的表达式；
（2）设bn=Sn，求{bn}的前n项和Tn．2n+1人生格言：
世上无难事，只要肯登攀。
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高老师个性化教学◎高中数学◎数列基础知识和方法9、等比数列{an}同时满足下列条件：
①a1+a6=33，②a3a4=32，③三个数
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=4a2,2a3,a4依次成等差数列．数列{bn}的前n项和Tn．n，求an10、等差数列{an}各项均为正整数，a1=3，前n项和为Sn，在等比数列{bn}中，b1=1且b2S2=64，公比为8。
（１）求an和bn；（２）证明：
1113++L+<。
S1S2Sn4人生格言：
世上无难事，只要肯登攀。
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