热力学统计物理第五版答案.docx
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热力学统计物理第五版答案
热力学·统计物理第五版答案
【篇一：
热力学与统计物理答案第二章】
=txt>2.1已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度.试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.
解：
根据题设，气体的压强可表为
p?
f?
v?
t,
（1）
式中f（v）是体积v的函数.由自由能的全微分
df?
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sdt?
pdv
得麦氏关系
将式
（1）代入，有
p?
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f（v）?
.（3）?
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0.这意味着，在温度保持不变时，该?
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（2）?
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v
由于p?
0,t?
0，故有?
?
气体的熵随体积而增加.
2.2设一物质的物态方程具有以下形式：
p?
f（v）t,
试证明其内能与体积无关.
解：
根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
故有
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p?
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f（v）.
（2）?
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v
但根据式（2.2.7），有
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所以
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tf（v）?
p?
0.（4）?
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t
这就是说，如果物质具有形式为
（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.
2.3求证：
（a）?
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s?
）?
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p?
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0;（b
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0.
u
解：
焓的全微分为
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tds?
vdp.令dh?
0，得
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0.h
t内能的全微分为
du?
tds?
pdv.令du?
0，得
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p?
0.ut
2.4已知?
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u
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0，求证?
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0.t
解：
对复合函数
u（t,p）?
u（t,v（t,p））求偏导数，有
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0，即有t
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0.t
式
（2）也可以用雅可比行列式证明：
（1）
（2）（3）
（4）
（1）
（2）（3）
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u?
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（u,
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（p,
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（u,?
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（v,
t）t）t）?
（v,t）t）?
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（2）?
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2.5试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.
解：
热力学用偏导数?
?
用?
?
?
s?
?
描述等压过程中的熵随体积的变化率，?
v?
?
p
?
t?
?
描述等压下温度随体积的变化率.为求出这两个偏导数的关?
?
v?
p
系，对复合函数
求偏导数，有
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s（p,v）?
s（p,t（p,v））
（1）
因为cp?
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0，所以?
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的正负取决于?
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的正负.?
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式
（2）也可以用雅可经行列式证明：
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（s,?
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（v,
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（s,?
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（t,
p）p）p）?
（t,p）p）?
（v,p）
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（2）?
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p?
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p
2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.
解：
气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由
偏导数?
?
?
t?
?
?
t?
和?
?
?
描述.熵函数s（t,p）的全微分为?
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在可逆绝热过程中ds?
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（1）?
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最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.
焓h（t,p）的全微分为
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dh?
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dp.?
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在节流过程中dh?
0，故有
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（2）?
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p
最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）.将式
（1）和式
（2）相减，得
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t?
v
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0.（3）?
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p?
pc?
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hp
所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落.这两个过程都被用来冷却和液化气体.
由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用.但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度.卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.
2.7实验发现，一气体的压强p与体积v的乘积以及内能u都只是温度的函数，即
pv?
f（t）,u?
u（t）.
试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.
解：
根据题设，气体具有下述特性：
pv?
f（t）,
（1）
u?
u（t）.
（2）
由式（2.2.7）和式
（2），有
而由式
（1）可得
tdf?
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.（4）?
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0.（3）?
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v
将式（4）代入式（3），有
t
df
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f,dt
或
积分得
lnf?
lnt?
lnc,
dfdt?
.（5）ft
或
pv?
ct,（6）
式中c是常量.因此，如果气体具有式
（1），
（2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式.确定常量c需要进一步的实验结果.
2.8证明
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2p?
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cv?
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t
并由此导出
【篇二：
热力学统计物理课后习题答案】
t>8.4求弱简并理想费米（玻色）气体的压强公式．解：
理想费米（玻色）气体的巨配分函数满足
ln?
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lln1?
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在弱简并情况下：
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30he?
1
与（8.2.4）式比较，可知
ln?
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再由（8.2.8）式，得
3/23/2
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?
8.10试根据热力学公式s?
熵。
解：
（8-4-10）式给出光子气体的内能为u?
cv?
?
u?
dt及光子气体的热容量c?
?
?
，求光子气体的v?
t
?
?
t?
v
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2k4
15c3?
4vt-------
（1）3
?
u4?
2k4）v?
vt3---------
（2）则可以得到光子气体的定容热容量为cv?
（33?
t15c?
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
s?
?
[
cv?
p
dt?
（）vdv]?
s0----------（3）t?
t
取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有
t4?
2k44?
2k423
s?
vtdt?
vt----------------（4）3333?
015c?
45c?
其中已经取积分常量s0为零。
8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象．
1d?
?
?
d?
?
n…
（1）
v?
e?
/ktc?
1
1/2
对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有：
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一维：
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二维：
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d?
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2h
但由于此时不存在ttc的状态，所以一维和二维理想波色气体不存在玻色凝聚现象，证毕。
解：
0k时电子的最大能量
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5.6ev
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8.9?
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1
最大速率v?
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10?
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2.1?
1010pa
5v5
8.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。
0k时的简并压p?
?
?
?
?
证明：
根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为f=1p?
pf
f=0ppf-----------
（1）
其中pf是费米动量，即0k时电子的最大动量。
因此电子的平均动量为
8?
v3h?
8vh3
?
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pf
0pf
14pf
3
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pf--------------
（2）134
p2dppf
3p3dp
3p3
?
?
f?
vf---------------（3）m4m4
因此电子的平均速率为?
8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n．试求0k时二维电子气体的费米能量、
内能和简并压．
4?
l2
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所以0k时电子的最大能量由下式确定：
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内能
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2h
对于二维电子气体，v＝l2
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所以0k时的简并压p?
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al
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vvv2l
8.22试根据热力学公式s?
cv
?
tdt及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。
解：
根据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为
?
2kt
--------------
（1）cv?
nk
2?
（0）
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
s?
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[
cv?
p
dt?
（）vdv]?
s0-----------
（2）t?
t
取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有
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2nk2t?
2kt
-------------（3）s?
dt?
nk?
02?
（0）2?
（0）
其中已取积分常量s0为零。
8.23试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。
解：
根据式（8-1-13），自由电子气体巨配分函数的对数可表达为
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（1）
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其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了变数变化?
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=x
将上式的积分分为两段：
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3
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xldx]---------------
（2）
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在第一个积分中将对数函数改写为
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x）?
ln1?
e?
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（?
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x）。
在第二个积分中作变数变换?
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x，
（2）式可改写为
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i2]---------------（3）15
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1的情形下，i1和i2可近似为
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）-------------（6）
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2
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根据费米统计中热力学量的统计表达式可得
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）-------------（7）2
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k（ln?
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由于在低温下?
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kt
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1，作为第一级近似可以略去式（7）中的第二项而有
3/2
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8?
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2m?
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------------------（11）（3?
）?
?
2mvkt
计及（7）式的第二项，可将（7）式改写为
222
?
2?
?
n?
?
2n2
?
?
?
（3?
）?
（1?
2）?
（3?
）?
（1?
）2
2mv2mv8?
12?
再将上式中第二项的?
?
用第一级近似代入，得
?
?
?
?
（0）
kt
{1?
?
2
kt2
]}------------------（12）
12?
（0）[
[
或?
?
?
（0）{1?
?
2
kt2
]}------------------（13）
12?
（0）
（13）式与（8-5-17）一致。
用式（7）除式（6），并将（12）式代入可将ln?
表示为，t，?
（0）的函数
2?
（0）?
2kt2?
2kt22?
（0）5?
2kt2ln?
?
{1?
[]}{1?
[]}?
{1?
[]}-（14）
5kt12?
（0）2?
（0）5kt12?
（0）
代回式（8），（9），（10）即得
35?
2kt2
u?
（0）{1?
[]}----------------（15）
512?
（0）
【篇三：
热力学统计物理_答案】
程可由实验测得的体胀系数?
及等温压缩系数?
?
，根据下述积分求得：
如果?
?
?
t?
1t1
，试求物态方程。
p
解：
以t,p为自变量，物质的物态方程为
v?
v?
t,p?
其全微分为
?
?
v?
?
?
v?
dv?
?
dt?
?
?
dp.
（1）?
?
t?
p?
?
p?
?
t
全式除以v，有
dv1?
?
v?
1?
?
v?
?
?
dt?
?
?
dp.?
vv?
?
t?
pv?
?
p?
t
根据体胀系数?
和等温压缩系数?
t的定义，可将上式改写为
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（2）v
上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnv?
?
?
?
dt?
?
tdp?
.（3）
若?
?
?
t?
，式（3）可表为
?
11?
lnv?
?
?
dt?
dp?
.（4）
p?
?
t
1
t1p
选择图示的积分路线，从（t0,p0）积分到?
t,p0?
，再积分到（t,p），相应地体
1/16
积由v0最终变到v，有
ln
vtp=ln?
ln,v0t0p0
即
pvp0v0
，?
?
c（常量）
tt0
或
pv?
1t
1p
c.t（5）
式（5）就是由所给?
?
?
t?
求得的物态方程。
确定常量c需要进一步的实验数据。
1.10声波在气体中的传播速度为
?
?
假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及?
给出：
a2
u?
?
u,
?
?
?
10
a2
h?
?
h?
-10
其中u0,h0为常量。
解：
根据式（1.8.9），声速a的平方为
a2?
?
pv,
（1）
2/16
其中v是单位质量的气体体积。
理想气体的物态方程可表为
pv?
m
rt,?
m
1
rt,
（2）?
m
式中m是气体的质量，m?
是气体的摩尔质量。
对于单位质量的气体，有
pv?
代入式
（1）得
a2?
?
m
?
rt.（3）
以u,h表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。
由式（1.7.10）—（1.7.12）知
m?
u?
rt
?
m?
u0,?
?
1
m?
h?
?
rt
?
m?
h0.（4）?
?
1
将式（3）代入，即有
a2
u?
?
u,?
（?
?
1）0
a2
h?
?
h0.（5）?
?
1
式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和?
即可确定气体的比内能和比焓。
1.16理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由t1升至t2。
假设?
是常数，试证明前者的熵增加值为后者的?
倍。
解：
根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为
s?
cplnt?
nrlnp?
s0.
（1）
在等压过程中温度由t1升到t2时，熵增加值?
sp为
?
sp?
cpln
t2
.
（2）t1
根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为
s?
cvlnt?
nrlnv?
s0.（3）
在等容过程中温度由t1升到t2时，熵增加值?
sv为
3/16
?
sv?
cvln
t2
.（4）t1
所以
?
sp?
sv
?
cpcv
?
?
.（5）
1.21物体的初温t1，高于热源的温度t2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到t2为止，若热机从物体吸取的热量为q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为
wmax?
q?
t2（s1?
s2）
其中s1?
s2是物体的熵减少量。
解：
以?
sa,?
sb和?
sc分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。
由熵的相加性知，整个系统的熵变为
?
s?
?
sa?
?
sb?
?
sc.
由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求
?
s?
?
sa?
?
sb?
?
sc?
0.
（1）
以s1,s2分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为
?
sa?
s2?
s1.
（2）
热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即
?
sb?
0.（3）
以q表示热机从物体吸取的热量，q?
表示热机在热源放出的热量，w表示热机对外所做的功。
根据热力学第一定律，有
q?
q?
?
w,
所以热源的熵变为
?
sc?
q?
q?
w?
.（4）t2t2
将式
（2）—（4）代入式
（1），即有
s2?
s1?
q?
w
?
0.（5）t2
上式取等号时，热机输出的功最大，故
wmax?
q?
t2?
s1?
s2?
.（6）
4/16
式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。
2.2设一物质的物态方程具有以下形式：
p?
f（v）t,
试证明其内能与体积无关.
解：
根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
故有
但根据式（2.2.7），有
?
?
u?
?
?
p?
?
t?
?
?
?
?
p,（3）?
?
v?
t?
?
t?
v
?
?
p?
?
?
?
f（v）.
（2）?
t?
?
v
p?
f（v）t,
（1）
所以
?
?
u?
?
?
?
tf（v）?
p?
0.（4）?
?
v?
t
这就是说，如果物质具有形式为
（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.
2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.
解：
气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数
?
?
t?
?
?
t?
和?
?
?
?
描述.熵函数s（t,p）的全微分为?
?
p?
s?
?
p?
h
?
?
s?
?
?
s?
ds?
?
dt?
?
?
dp.?
?
?
t?
p?
?
p?
t
在可逆绝热过程中ds?
0，故有
?
?
s?
?
?
v?
t?
?
p?
?
?
?
?
t?
?
t?
?
?
?
p.
（1）t
?
?
?
?
?
s?
cp?
?
?
?
p?
s
?
?
?
?
t?
p
最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.
焓h（t,p）的全微分为
5/16
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