算法设计概率算法作业.docx

算法设计概率算法作业.docx

《算法设计概率算法作业.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《算法设计概率算法作业.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

算法设计概率算法作业

算法设计——概率算法作业

一．概率算法

二．源代码——概率算法

三．近似算法

一.概率算法

Ex1.假设将y←uniform（0,1）改成y←x,那么上述的算法估量的值是什么？

答：

k/n表示飞镖进入某一个区域内的概率，返回的值为4k/n。

因为：

x←uniform（0,1），y←x，在x和y知足x2+y2≤1时k++

因此：

当x<=√2/2时k++。

k/n表示在总的n次中k自加的概率，那个概率就等价为x<=√2/2的概率。

而x在[0,1]之间→x<=√2/2的概率就为√2/2，即k/n=√2/2。

因此：

现在返回值4k/n=2√2。

Ex2.在机械上用

估量π值，给出不同的n值及精度。

原理：

f（x）=√（1-x^2），先利用概率算法求数字积分，以后将积分结果乘以4即为PI值。

输入：

实验要利用的取值在[0,1]范围内的总点数

执行结果截图：

Ex3.设a,b,c和d是实数，且a≤b,c≤d,f:

[a,b]→[c,d]是一个持续函数，写一概率算法计算积分：

注意，函数的参数是a,b,c,d,n和f,其中f用函数指针实现，请选一持续函数做实验，并给出实验结果。

算法利用的持续函数为：

f（x）=x+

输入：

横坐标的范围[4,8]，纵坐标的范围[0,12]（产生的点的纵坐标是[0,12]，函数值域为[8,12]）。

执行结果截图：

EX4.用上述算法，估量整数子集1~n的大小，并分析n对估量值的阻碍。

算法分析：

不断从X={1,2,3，……n}中有放回的随机抽样，直到第一次抽出重复元素为止，现在已经抽到的元素数量为K，那么集合X的大小为：

2K^2/PI。

算法的执行结果：

分析：

在理论被骗集合n越大时，估量集合大小的误差应该越小。

可是可能是由于随机函数性能的问题，实验结果是随着n的增大，误差却愈来愈大。

Ex5.分析dlogRH的工作原理，指出该算法相应的u和v

解：

算法第一利用函数u（a,b）将a随机化为c，以后利用确信性算法dlog（g,p,c）计算出随机化后的输入实例的计算结果y，最后利用函数v（y,r）将y恢复为以a为输入实例的计算结果。

Steps：

1.产生一个随机值b

2.u（a,b）=bamodp=c

3.dlog（g,p,c）=logg,p（c）=y

4.v（y,r）=（y-r）mod（p-1）=s

s即为dlog（g,p,a）的值。

原理说明：

因为logg,p（c）=logg,p（abmodp）=[logg,p（a）+logg,p（b）]mod（p-1）

y=[logg,p（a）+logg,p（g^rmodp）]mod（p-1）

y=[logg,p（a）+r）]mod（p-1）（0<=r<=p-2）

logg,p（a）为输入实例为a的确信性算法的结果（即s）：

s=logg,p（a）=（y-r）mod（p-1），而（y-r）mod（p-1）即为函数v（y,r）。

利用u（a,b）=bamodp将a随机化为c，以后利用v（y,r）=（y-r）mod（p-1）能够将y恢复为s，因此v和u能够实现：

将输入实例a随机化为c以后，把以c为输入的确信性算法的结果恢复为以a为输入时确信性算法的结果。

Ex6.写一Sherwood算法C，与算法A,B,D比较，给出实验结果。

算法C：

由于算法B是一个确信性算法（在[1,√n]中找小于等于x的最大的y），因此将算法B修改成一个随机算法。

修改方式为：

将从确信的区间[1,√n]中找y，更改成在[1,n]中随机掏出√n个值，在这√n值中找y。

以后再利用确信性算法Search（x,y）查找x。

修改方式的正确性说明：

因为“假设将val[1..n]中的n个整数看做是均匀随机散布的，那么在val[1..L]中求y值就相当于：

在n个整数中，随机地取L个整数，求这L个整数中不大于x的最大整数y。

”

因此在数组val的子区间[1,√n]中寻觅一个y就等价于在整个[1,n]中先选出√n个值、再在这些值中找一y。

因此将算法B中的在[1,√n]中找y--->在[1,n]中随机掏出√n个整数，在这√n个整数中找y，是正确的。

算法设计：

在一个已知的静态链表（其中每一个表项的含义是{data,rank}）array[NUM]={{5,1},{7,8},{3,4},{0,2},{4,0},{11,7},{17,9},{14,6},{9,5},{20,10},{21,12},{25,13},{23,11},{30,15},{34,-1},{31,14}}中，别离利用A、B、C、D算法查找11的位置。

算法的执行结果：

Ex7.证明：

当放置（k+1）th皇后时，假设有多个位置是开放的,那么算法QueensLV选中其中任一名置的概率相等。

证：

设k+1行皇后共找到M个open位置，那么最后放入Mth位置的p=1/M；最后放入（M-1）的p为：

在Mth不取到1&&在（M-1）th取到1，p=1/（M-1）*（1-1/M）=1/M；最后放入（M-2）的p为：

在Mth不取到1&&在（M-1）th不取到1&&在（M-2）th取到1，p=1/（M-2）*（1-1/（M-1））*（1-1/M）=1/M，依次类推，可知关于找到的M个open位置，k+1皇后最终放置于哪个位置的概率都相等，均为1/M。

Ex8.写一算法，求n=12~20时最优的StepVegas值。

算法的执行结果：

Ex9.PrintPrimes{

源代码——概率算法

1.在机械上用

估量π值，给出不同的n值及精度。

（）

#include<>

#include<>

#include<>

#include<>

doubleestimatePI（intn）

{

intk=0,times=n;doublex,y,temp;srand（（int）time（0））;

do

{

x=*rand（））/*RAND_MAX）;

y=*rand（））/*RAND_MAX）;

3.if（（x*x+y*y）<=1）

#include<>

#include<>

#include<>

#include<>

#definePI

/*验证算法（输入大小为Exact_N的集合，运行算法，得出估量值N，将Exact_N与N进行比较），而且探讨集合的大小n与算法的成效（即估量值）的关系。

*/

intrandom_i（intN）;

intlookup（intval,int*array,intlen）;

intestimateSet（intExact_N）

{

int*S;写一Sherwood算法C，与算法A,B,D比较，给出实验结果。

（Ex6.）

#include<>

#include<>

#include<>

#include<>

#defineNUM16

structSLinklist{

intdata;

intn_index;

};

structSLinklistarray[NUM]={{5,1},{7,8},{3,4},{0,2},{4,0},{11,7},{17,9},{14,6},{9,5},{20,10},{21,12},{25,13},{23,11},{30,15},{34,-1},{31,14}};0]~[15]

#defineval（i）（array[i].data）

#defineptr（i）（array[i].n_index）

inthead=3;

srand（（unsigned）time（0））;

do{

random_index=rand（）%NUM;

}while（val（random_index）>x）;

intj=1;

for（;j<=sqrt（NUM）;j++）{n",count）;

returnpos;

}

n",count）;

returnpos;

}

intj=1;

for（;j<=sqrt（NUM）;j++）{

if（val（j）>max&&val（j）<=x）{

max=val（j）;

i=j;

}

}

intcount;

intpos=Search（x,j,&count）;

printf（"B算法比较了%d次.\n",count）;

returnpos;

}

intmain（）

{

intx=11;

intpos=C（x）;

printf（"C:

x=11'spositionis%d.\n",pos）;

intcountA;

pos=Search（x,head,&countA）;

printf（"A算法比较了%d次.\n",countA）;

printf（"A:

x=11'spositionis%d.\n",pos）;

intcountD,posD;

posD=D（x）;

printf（"D:

x=11'spositionis%d.\n",posD）;

intcountB,posB;

posB=B（x）;

printf（"B:

x=11'spositionis%d.\n",posB）;

exit（0）;

}

/*

C算法解析：

B算法是一个确信性算法，将其的输入改成随机的sqt（NUM）个，也确实是将B改造成了shrewood算法。

*/

5.写一算法，求n=12~20时最优的StepVegas值（Ex8.）

#include<>

#include<>

#include<>

#include<>

#defineSUCCESS1

#defineFAIL0

#defineEMPTY-65536

intfailNodeNum,sumNodeNum,N;

int*try,*array135,*array45,*arrayCol;

voidalloc_array（intn）

{

try=（int*）malloc（sizeof（int）*（n+1））;

array135=（int*）malloc（sizeof（int）*（n+1））;

array45=（int*）malloc（sizeof（int）*（n+1））;

arrayCol=（int*）malloc（sizeof（int）*（n+1））;

}

voidfree_array（）

{

free（try）;

free（array135）;

free（array45）;

free（arrayCol）;

}

voidinit（int*array,intn）{

inti=0;

for（;i<=n;i++）{

array[i]=EMPTY;

}

}

voidinit_all（intn）

{

init（try,n）;

init（array135,n）;

init（array45,n）;

init（arrayCol,n）;

failNodeNum=0,sumNodeNum=0;

}

alloc_array（N）;

best_sv=-1,best_rate=;

tmp_sv=1;

for（;tmp_sv<=N;tmp_sv++）{

init_all（N）;

Obstinate（tmp_sv,N）;

tmp_rate=（double）sumNodeNum;

if（tmp_rate

best_sv=tmp_sv;

best_rate=tmp_rate;

}

}

printf（"当N=%d时，stepVages=%d.\n",N,best_sv）;

free_array（）;

}

exit（0）;

}

6.PrintPrimes{）

#include<>

#include<>

#include<>

externintBtest（inta,intn）;

externintMillRab（intn）;

externintRepeatMillRab（intn,intk）;

externintPrintPrimes（intn）;

externintPrintPrimesTotal（）;

externintget_exponent（inta,intb,intp）;

i_float）*t）;

if（get_exponent（a,temp,n）==（n-1））return1;

}

}

return0;

}

;;

似算法

1.G中最大团的size为α当且仅当G^m里最大团的size是m*α

证：

G^m是由各个G间彼此连接而成的

各个G中的最大团也彼此连通了

又

最大团即最大连通子图，各个G中的最大连通子图彼此连接便形成了G^m的最大连通子图

G^m的最大团==m个G的最大团相连

当G的团size（极点数）为a时，G^m的最大团大小就应该为m*a

当G^m的最大团大小为m*a时，断开在形成G^m时m个G彼此相连的边，易知m个G中的最大团大小就应该为a，因为每一个G都是一样的。