绝对值几何意义应用.docx
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绝对值几何意义应用
绝对值几何意义应用
绝对值几何意义应用
一、几何意义类型：
类型一、a=|a_O:
表示数轴上的点a到原点0的距离；类型二、Ia-b=b_a:
表示数轴上的点a到点b的距离（或点b到点a的距离）；
类型三、a+b|=|a-（4）|=|b-（-a）:
表示数轴上的点a到点-b的距离（点b到点-a的距离）；
类型四、「a：
表示数轴上的点x到点a的距离；
类型五、x+a=x-（®:
表示数轴上的点x到点-a的距离.
二、例题应用：
例1.
（1）、1^4的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，若I=2,则
X=
（2）、X+3的几何意义是数轴上表示X的点与表示的点之间的距离，若X+3“，贝U
（3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它
m、n、p、q.若
q-n=10,p-m=8贝廿n-p=
们表示的数分别为m、n、p、q.若m-q=15，
;若m-q
1
p—m=8,P—n
=-n—q，
3
wnpq
（4）、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点为A,B,C,如果a-b_b_c=a_c,
则点A,B,C在数轴上的位置关
系.
拓展：
已知a、b、C'd均为有理数，a—b兰9,c—d|兰16且a—b—c+d|=25-求
b—a—d—c的值.
解析:
丁|（a_b）_（c—dp勻a—b+c_d兰9+16=25且a_b_c+d=25.
a-b=9,c-d=16二|b-a-d-c=9-16=-7.
例2.
（1）'①当x=时，Ix+3取最小值；②当x=
时，I"3取最大值，最大
值为.
（2）'①已知X-3+x+2=7，利用绝对值在数轴上的几何意义得x；
［个单位长度
（5个殳度
单位《度
7T
②已知x-3+x+2=5，利用绝对值在数轴上
-2加03
③已知Z+|x+2=4，利用绝对值在数轴上
的几何意义得；
凡
*•■*■•
-2O3
拓展：
若2a+7+2a-l|=8,则整数a的个数是
4.
3个单位长度
-7-6-4-201
4当x满足条件时，利用绝对值
在数轴上的几何意义一3*+2取得最小值，
这个最小值是
由上题③图可知，心*矜，故而当-2£x£3时，最小值是5.
5若|x_3+x+2=a时，探究a为何值，方程有解？
无实数解？
档案：
a25；a<5.
特别要注意的是：
当x在一2纣£3这个范围内任取一个数时，都有x_3+|x+2=5.
例题拓展：
①若一3+対2>a恒成立，则a满足什么条件？
答案：
a<5.
2若I—2答案：
a0.
3若“3"2>a恒成立，则a满足什么条件？
答案：
aV-5.
由上图当x<-2时，x-3-x+2=5；当x為时,X-3-X十2=_5;当-2VXV3,
-5Vx-3HX+2V5,所以-5wx-3-x*2三.则a
V5.
④若—+2答案：
a>5.
拓展应用：
已知（x+1|+|x-2购-2+y+仃z-3+|zr）=36，求x+2y+3z的最大值和最小值.
解析•常x+1+x-氏3,|y-2+|y+仁3,z-3+|z+Q4
余+1|+|x_2|jy_2|+|y+1jz_q+|z+1）A36
二x+1+x—2=3y—2+y+1=3z—3+z+1=4
.-1_x_2,-1_y_2,-1_z_3.-2_2y_4,-3_3z_9.-6_x2y3y_15
■
（3）、当x满足,小值,这个最小值是
条件时,
x+2+|x—1+x—3取最
x+2+x-1|+|x
由以上图形可知：
当x=1_时,围内
故而Ix+Lxi+x
（4）、当x满足
小值,这个最小值是
-3=5,其他范
■3>5,
_3-5,这个最小值是
条件时,
5.
由以上图形可知：
当_1兰x^3_时,x+^xT^xY+Ix-Jii,其他范围内x+LxT+xY+x—5>11,故而
x+2|+|x-1+卜-
-5_ii，这个最小值是_11.
特别要注意的是：
当x在^^3这个范围内任取一个数时，都有
（5）、当x满足
取最小值，这个最小值是
x+2十x+x—3+x—5
=11
条件时，
+|x-1+|x—
+|x_5+|x_7
由以上图
+|x-3+
+|x-3+
x+2|+|x—1
x+2|+|x-1
x_5
x-5
形可知：
当x
=13，其他范围内
>13，故而
3_时,
X—7
x+2|+|x-1
+|x-3+
x_5
X—7
-13
这个最小值是13.
（6）、当x满足.
+x-3*
条件时，
x+2|+|xT
x_5+|x_7|+|x—
8取最小值，
这个最小值是
3_x_5
由以上图形可知：
当
_时,
x+2|+|x-1+|x-
+|x_5
+X—7
+x—8
=18
其他范围内
x+2|+|x-1
+|x-3+x
一5+x—7+x—
8>18,
故而
x+2+x-1+x-3+x-5+x-7+x
-8_18，这个最小值是
18.
小结：
有a1,a2,a3,
也1（2n1）个正数，且满足a1V
a2
a3a2n+
1•求
X-82
X-83
x-a2n1
的最小值，以及取得这个最
小值
所对应的X的值或范围;
答案是：
当x=an1时，
x-ai
x—a2
X-83
x-82"1取得最小
值,
这个最小值是
an1_ai
an1_a2
an*_a3
2•求
x—a2
x—a3
乂一如的最小值，以及取得这个最小
所对应的X的值或范围;
答案是：
当an±X±ani时，
这个最小值是
x—ai
a*-a1
x—a2
a*-a2
x—a3
X—a2n取得最小值,
a*-a3
十..*+
an-a2n
或者
三、判断方程根的个数
例3、方程|x+1|+|x+99|+|x+2|=1996共有（）个解.
A.・4;B.3;C.2;D.1
解：
当x在—99〜—1之间（包括这两个端点）取
值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|=98,|x+2|V98.此时，|x+1|+|x+99|+|x+2|V1996,故|x+1|+|x+99|+|x+2|=1996时，x必在一99〜一1之外取值，故方程有2个解，选（C）.
四、综合应用
例4、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x+2|+|1
—x|=9—|y—5|—|1+y|?
求x+y最大值与最小值.
解：
原方程变形得|x+2|+|x—1|+|y—5|+|y+1||=9,
•・Tx+2|+|x—1|>3,|y—5|+|y+1|>6，而|x+2|+|x—1|+|y—5|+|y+1|=9，
・・・|x+2|+|x—1|=3,y—5|+|y+1|=6,・・—2一1故x+y的最大值与最小值分别为6和一3.
五、练习巩固
1、若avbvcvd，问当x满足条件时，x_a+x_b+|x_c+x_d取得最小值.
2、若avbvcvdve,问当x满足条件时,
x-a+x-b+|x-c+x-d+x-e
取得最小值.
3、如图所示，在一条笔直的公路上有9个村庄，期中
A、B、C、D、F、G、H、K到城市的距
离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，
而村庄E正好是AK的中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
城市E
••••——•_•■••
ABCDFGHK
4、设x是实数，ynx-i+xr下列四个结论：
①.y没有最小值；②.只有一个x使y取到最小值；
3.有有限多个x（不只一个）使y取到最小值；
4.有无穷多个x使y取到最小值。
其中正确的是（）•
A.①B.②C.③
D.④
5、试求x-1+x-2W+|x_2003的最小值.
x+2+x-1+|x-3+|x-5取最
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