《分数除法》课堂实录杜玉梅.docx
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《分数除法》课堂实录杜玉梅
《分数除法》课堂实录杜玉梅
师：
同学们好，前一段时间，我们一直在学习和分数有关的内容。
对吧。
大家来看电视（出示课件，彩绳2米长，每个中国结
米）。
这里面有分数吗？
谁找到了，跟大家说说。
生：
有。
应该是编一个中国结用
米绳子。
师：
（板书
米），谁来跟大家说说，“
米”什么意思？
生：
就是说把1米平均分成三份，表示其中的两份。
师：
说得怎么样？
非常的正确。
当你看到我们给出的这个信息，你能提出什么样的问题呢？
生：
用2米的红绳子能够编出几个中国结。
师：
她提出的问题是“能做几个中国结”。
可以吗？
生：
可以
师：
能做几个中国结呢？
谁会列式？
师：
你来说
生：
嗯。
用2米，2米等于。
。
恩。
。
把它们统一单位。
师：
这是你解题的方法，直接列式，有谁知道？
生：
师：
，可以吗？
生：
可以
师：
板书
师：
那么，到底能做几个中国结，也就是
，到底得几就是我们今天要一起研究的“分数除法”。
（板书“分数除法”）
师：
能做几个中国结呢？
得几呢？
你能解决这个问题吗？
你能不能用很多种的方法解决这个问题？
好了，同学们把你想到的各种方法写在咱们这张小纸条上，每张纸条上写一种方法。
为了我们把它展示出来，大家尽量把字写得大一点好不好。
好，开始。
（教师巡视，搜集资源）
师：
同学们真了不起，用很多种方法解决了这个问题。
师：
同学们继续想，如果你觉得自己想的差不多了，你可以看看在投影上展示出来的同学们的各种方法，老师也把这些方法记录到黑板上，一会儿如果你觉得还有一些方法是这上面没有的，你再帮我拿过来。
（板书这些方法：
①
②
③
④
）
师：
还有谁有新方法，帮我拿过来。
生：
拿来新方法（教师补充板书：
⑤
）
师：
好了各位同学，你们觉得自己考虑的怎么样了？
那么好了，咱们暂时把笔放下。
同学们用了这么多的方法，尝试着去解决
是多少，那么这些方法，你们都懂它的意思吗？
那每种方法的意思是什么？
同桌之间先讨论讨论。
（学生开始讨论）
师：
有些是想到的，有些是没有想到的，你能不能读懂别人的方法。
师：
好了，各位同学，刚才我问了几位同学，他们说基本上可以东这些意思了。
我们给出了一个问题，同学们理解了其中分数的含义，提出了一个问题，然后列式了，找到了结果，能做几个中国结？
生：
3个
师：
这道题我认为已经解决了，你们觉得呢？
生：
没有。
师：
没有解决？
你们看看，答案找到了吧，答案找到还不叫解决？
生：
但是…
师：
并且我认为，不单是解决，应该是超额完成任务。
因为一种方法就可以找到答案，但是同学们用了这么多种方法，包括咱们投影上展示的。
比黑板上的还要多，那么你们怎么认为“还是没有解决呢？
”谁来说说你的想法。
生：
因为我觉得，因为我觉得每人基本上只写了一两个，而如果在考试中你的这种方法不能应用到这道题中，它就没有用处，所以你多知道几种方法的话，可能别的方法就通用了，你的这种方法就会不可行。
这样的话你的这道题就错了。
师：
他的意思我懂了。
多了解几种方法，就多了几种解决问题的道路。
对吧。
那么好，大家认为还没有解决，你还想知道什么？
生：
我还想知道他们在做这些题的时候是怎么想的，为什么会想到这种办法。
师：
xx同学还想知道他们是怎么想的，怎么能够想到这些方法。
（板书：
①想的），也就是他想知道每一种方法背后的支撑是什么？
其他同学你想知道什么？
生：
他们这道题的原理是什么，为什么这样算就能得出这个结果。
师：
他想知道更深入的去了解每一种方法真正的原理。
（板书：
②原理）也就是我们想：
知其然，还要知其所以然。
深入每一种方法背后去研究。
还有什么地方，你想了解的。
当你看到很多种方法摆在这里的时候，你还想知道什么？
你说。
生：
哪种更简便，哪种更好算。
师：
好，非常好的问题。
哪种方法更简便些。
（板书：
③简便）。
其他同学，你来说。
生：
他们有什么相同点和不同点。
师：
诶，她想知道这些方法的相同点和不同点是什么，也就是它们之间的联系是什么。
（板书：
④联系），还有没有？
生：
还有没有其他的办法。
师：
还有没有其他的办法了。
是不是只有我们摆出的这些方法。
（板书：
⑤其他）。
还有没有？
生：
他是根据什么才能做出这个。
师：
这些方法它们有依据吗？
（板书：
⑥依据）。
可能有些是大家想的差不多的。
非常了不起。
可能其他同学还有别的想法（板书：
…）。
我们说啊，有的时候问题比答案还要重要。
大家非常了不起的说，即使我知道了结果，我也知道了好多的方法，但是大家认为没有解决这个问题，你们还想知道这些问题，那么我们就围绕着刚才大家提出的这些问题，尝试着进一步去研究，刚才同学说有没有更简便的方法，我现在想问问大家，你觉得这些方法中，哪个方法最能够直接的体现这道题的意思。
师：
哪种方法最能直接体现这道题的意思。
生：
我认为是第一个。
师：
他说第一种方法最能体现这道题的意思，请坐。
谁和他的想法一样？
师：
这么多（举手的）同学都和他的想法一样。
请把手放下，你能给大家讲讲这个线段图什么意思吗？
谁上来给大家讲讲，这个线段图表示的是什么意思？
生：
我理解的意思就是说，这一段线是2米，我把它平均分成3份，那
就可以表示成
，那这3份正好有3个
，所以这个题最后的结果就是3。
师：
谁听懂了，他说的怎么样？
你们觉得他说的怎么样？
他有一个很好的优点，他说可以直接看出什么来？
生：
2米
师，2米，还可以看出什么来？
生：
几段，每段
…
师：
还可以看出
来，还可以看出什么来？
生：
2米里边有3个
米
师：
对，她说的非常好，还有那些同学想给她补充。
生：
我是这么想的，因为他说
，咱们可以把这个2米平均分成一半，那么就是2个1米，
师：
说的好不好，然后呢？
生：
然后，这段就是1米的
，所以
，
师：
他更清楚的解释了
是怎么来的。
不管是
还是2米都是根据谁来的？
师：
1米吧，有了1米之后，我们找到了
，和2米。
刚才同学们还说了能从这里面清楚的看出“2米里面有几个
”。
我们来看看是不是这个意思，（课件演示）
师：
刚刚同学们说，能够清楚的看出“2米里面有几个
”，这个也就是我们
这个算式的意思吧。
也就是这个除法的意义。
（板书：
除法的意义）。
那你觉得这个线段图好不好？
有什么优点？
生：
清楚、直观、一目了然…
师：
大家说的都非常正确。
（板书：
直观）。
它非常的清楚、直观、一目了然。
那么在这些方法中除了线段图的这种方法，还有那种方法可以很直接的体现出这道题的意思呢？
说来说一说？
生：
我认为是第四种也可以。
师：
第四种方法。
可以吗？
谁来给大家讲讲？
他是怎么想的？
他的原理是什么？
他的依据又是什么？
谁来说说？
生：
他是那个2米就是
，因为2米就是有6个
，然后，每做一个中国结就要去掉一个
，然后他就减掉一个
，等于
，就是那一根绳子做完一个中国结还剩下的。
然后他又用那些米再做一个中国结就再减去一个
，再等于
，就是减完那两个中国结剩下的，然后再减掉一个
，等于0，就是说这些绳子都用完了。
然后这些一共减了3个
，所以一共做了3个中国结。
师：
这个同学她说的怎么样？
非常的清楚。
我们看她的这一大段话表现出了她的条理非常的清晰，大家听懂了吗？
生：
听懂了。
师：
那么大家认为它也可以反映题目的意思，可以直接反映题目的什么意思？
师：
大家说的都非常好，大点生说
师：
也就是“2米里面有几个
”，那么他也是依据了这个除法的意义，（板书：
除法的意义）但是，它虽然是依据了除法的意义，但是他的目标不是画图了，而是把这个除法算式转化成了什么？
生：
减法
师：
减法算式，（板书：
减法），你觉得这个方法怎么样？
谁来评价一下？
你来说。
生：
就是那个这个方法有优有劣。
师：
那你先说说优点是什么？
生：
它的优势是能够很清楚的看出这是“截一段”、“截一段”、“截一段”，但是我如果是绳子变长了…
师：
比如说…
生：
比如说是100米的绳子，他难道说还要这样一段一段的去截吗？
他难道还要一个
一个
的去剪吗？
师：
说的挺好的，大家，其他同学谁来评价一下？
生：
（自己补充）那样会把你累死的。
剪好多遍，然后费一大堆纸，可能。
师：
哦，说的挺好的，那刚才他说的是不是这样一个问题，大家同意吗？
如果真是特别长的话，我真是这样剪来剪去的话，这整个一黑板都不够用了。
但是…你还想说什么，你来说
生：
那个还有可能把自己搞懵了，就是数不清到底是多少个。
师：
对，数不清楚有多少个，它有它的局限性。
你想说什么？
怎么评价？
生：
而且这个算式只限于是这个
的倍数，如果不是它的倍数，就不能够减到0。
师：
剪着剪着它就会有余数了。
大家提到这个也非常的好，我把大家刚刚提到这个放在这。
（板书：
余数），如果真的像同学所说，真的有余数了，会怎么办呢？
我们会在以后的课中解决这个问题。
刚才同学们提出的这个非常的了不起。
既提出了这种方法的优点是什么？
它的局限性是什么？
都提到了，对吧，非常棒！
哎，这种方法我们在低年级用过吗？
生：
用过。
师：
什么时候用过？
谁还记得？
生：
小的时候、学乘法的时候…
师：
就是说在我们学习乘除法的时候，最开始认识的时候，先解决这个问题的。
好了，那么刚才我们这两种方法都是依据了除法的意义，然后把一个新问题转化成了我们以前学过的旧知识也好，或者把它变得很直观也好，这是我们解决这个问题的目标。
（板书：
依据，目标）。
下面的这些方法中，你还欣赏哪种方法？
生：
我欣赏第二种方法。
因为它把2和
同一单位了，就是统一成
，然后直接看
里面有几个
，然后可以直接算，直接扩倍，乘以3，然后就等于6÷2，就能直接算了。
师：
但是我对这个方法有一个疑问：
你想想啊，这个
，这是整数除以分数，对吧，本来就是一个新知识了，你现在给它转化成分数除以分数了，不更难了吗？
还不如转化成减法，这个我们都学过的，分数除以分数不更没学呢吗？
生：
因为分数除以分数，就可以同时乘以一个相同的数，就把它们变成整数。
师：
她说的这个挺好的，她把它变成了一个什么样的分数，
生：
分母相同的分数，
师：
分母相同，意味着什么一样？
生：
单位一样
师：
那也就是说，她把它变成了一个单位相同的分数，（板书：
统一单位）。
它的目标是统一单位，多好的方法。
依据是什么？
是什么支撑着它能够做这个工作。
生：
这个依据的是商不变的性质。
就是同时除以或乘以一个非0的数，商不变。
师：
你看的是这一步，从这到这，同时乘一个3，那从这到这它的依据是什么呢？
生：
除法和分数之间的关系。
师：
除法和分数之间的关系。
实际上是什么关系呢？
2怎么就能够变成
呢？
生：
分数的意义
师：
实际上是分数的…还记得我们的旧知识吗？
对，同学们说对了，是分数的基本性质。
（板书：
分数的基本性质）。
剩下的两种方法，你知道它的依据是什么？
目标是什么？
大家讨论讨论。
师：
好了，刚刚大家交流了各自的看法。
谁来说说你更欣赏哪种方法？
你是怎么想的？
生：
我更欣赏第五种方法。
因为它利用了分数与除法的关系。
（教师板书：
分数与除法关系）。
首先他把分数转化成除法，就是把
变成2÷3，加上括号，然后再用计算的方法，把括号拆掉。
然后计算结果等于3。
师：
它的这种方法好在哪？
生：
好在我们现在还没有学分数除以分数，但是如果把分数变成整数的话，就可以方便我们计算了。
师：
是不是，它把一个新的问题和我们旧的联系到了一起了，他把一个分数出发问题转化成了…对，整数除法，非常了不起。
还有什么问题？
说说你的看法。
生：
我觉得这个第五种方法也是比较巧妙的运用了这个
，它的分子也是2，这样除下来，2和2肯定能够抵消。
师：
你说的非常好，你还发现了数字的特点是不是。
真棒。
你说？
生：
但是这个有很大的局限性。
如果分子和前面的数不一样，不能够抵消，没有相同的因数的话，那这道题解决就会比较复杂。
师：
挺好的。
你是这样想的。
好，你来说。
生：
不一定。
可以写成分数呀？
我觉得可以再把这个结果写成分数呀！
比如一个算式是
可以写成
，就是
。
师：
哦，你是用分数再来解决这个问题。
挺好的。
那么再来看看第三种方法，怎么样？
谁来评价一下。
生：
我认为第三种方法和第二种方法差不多，他们只是中间部分有差异，实际上效果是一样的。
师：
我明白他的意思了，就是说都有一个6÷2，这是他们过程中的相同点，那么不同点你觉得他们思考的思路，对，角度，你说的非常好。
一样吗？
谁来说说你的想法。
生：
我觉得他们思考的角度是不一样的。
第二种方法是换成分数来计算，
师：
它的目标是什么？
生：
统一单位
师：
说的非常好，接着说。
生：
第三个就是用的商不变的性质。
同时乘或除以相同的数商不变。
师：
它是利用了商不变的性质，（板书：
商不变的性质），它的目标是什么？
它的目标是转化成什么？
是不是都乘3之后就转化成整数除法了。
那么刚才实际上我们把这个问题已经解决了，得到结果了，但是同学们说还没有解决这个问题，因为同学们还想知道每一种方法它是怎么想的、它的原理又是什么、依据又是什么、另外还想知道这些方法之间的联系，那么我们来看同学们想到的各种方法，如果说刚才是深入性研究每一种方法，现在我们跳出来看，这么多种不同的方法，这么多种不同的依据，还有解决问题的目标，你觉得什么在支撑着我们能够想到这么多的方法呀？
谁来说说你的看法？
生：
我觉得是我们以前学过的一些知识。
比如这些就是把未知的东西和条件化成以前学过的东西，这样的话便于我们去理解。
师：
同意吗？
他说把未知的变成已知的。
那我们来一起看看。
第一种和第四种更依赖与我们对于什么的理解？
（板书：
除法），那么像第二种、第三种、第五种，它们可能更多的依赖于我们对于什么的理解？
生：
分数
师：
（板书：
分数）如果说刚才是深入型的话，现在我们跳出来看，概括的说，更多的依赖于旧知识，也就是我们对于除法的理解，还有对于分数的理解。
还有什么？
说说你的看法。
生：
他们是从不同的角度来看问题的。
师：
你说的特别棒。
是从不同的角度看待这个问题的。
你继续说。
生：
因为他们有很多不同的方法，以前学过很多的知识，比如说除法、分数、还有小数、图形，就是从不同的方面去考虑就会有不同的方法。
师：
说的真棒。
了不起。
你说。
生：
我认为是各种方法进行结合。
你看第五种方法即运用分数化成除法算式，又运用了拆括号的方法，如果你只会一种，一个知识可能就解决不了这个问题。
你必要好几个知识结合在一块，你才能够知道这个结果是什么。
师：
同意他说的吗？
我非常欣赏他的说法。
就是，即使我们对一个知识有了支撑，有了了解，但是在运用的时候，他可能运用的是好几种知识，并且交叉在一起运用的，对吧。
他的表达非常的清晰。
我欣赏他，不单单是他的表达，还有他的手势，超级形象。
很了不起，特别可爱。
还有没有。
刚刚大家说的都特别的棒。
那么也就是说，我们来看这些方法的时候大家觉得没有解决，对吧，那么你现在觉得这些方法，我们可以说基本解决了吗？
生：
可以
师：
你们觉得是基本解决了，还是彻底解决了？
生：
基本解决了
师：
为什么不说彻底解决了。
生：
因为可能还有别的方法。
师：
你说的非常好，实际上知识像大家说的这样，对于一种方来说可能学无止境，没有什么是彻底解决的。
只不过在现阶段我们解决了。
刚刚同学们还提到了一些方法，可能有些是相对雷同的，实际上我在下面看到了这样一种方法，与众不同：
，在下边解决这个问题的时候，谁也用了这个方法？
举高点，10个人左右用了这样的一种方法。
我们也把他写在这里。
（补充板书：
⑥
），谁来评价这种方法。
生：
这种方法是我们还没有学的，在学校没有学，有可能保证不了它是不是对的。
师：
哦，这是他的观点，其他同学。
说说你的想法。
生：
我觉得这个方法特别的巧妙，因为它不用计算，直接就用抵销法得到结果。
师：
这是她对这种方法的评价，其他同学，谁来说。
生：
其实这种方法它只是把
写成了
师：
你是在尝试给这种方法找一种解释。
大家说这种方法好不好。
生：
好。
师：
怎么好？
生：
巧、不用计算。
师：
简便，你看看这种方法，多复杂呀，刚刚有位同学说了这要是100米的话，需要减多少呲牙？
的酸到什么时候去呀！
那现在这种方法是不是非常简便。
它是把一个除法算式转化成乘法。
依据是什么？
谁知道。
生：
我们大家先看一下第五个算式和第六个算式，去联系一下，大家知道，同级运算是可以调换位置的，所以
跟第六个算式一样。
就可以转化成这样了。
师：
谁知道（
）这叫什么？
生：
倒数。
师：
听过这个名词吗？
几乎都听说过。
它就是利用倒数这个依据来解决这个问题。
刚刚有同学尝试着用第五种方法来解释第六种方法。
你就觉得这种方法（第六种方法）跟我们刚才研究的这些方法相比较，你觉得自己懂了吗？
前五种都懂了，这第六种你懂了吗？
有不同意见，没问题。
有的同学认为依靠对第五种方法的理解就可以解释第六种方法。
有同学这样想，那个同学坚定的点头了。
其他同学。
你说。
生：
这个算式是这样，那别的算是会不会也是这样？
师：
这是你的想法，没问题。
实际上可能还有的同学不想刚刚这些方法那样坚定的认为我懂了。
还有自己的疑问对吧。
就是这样，保持你们的想法，有的同学有质疑，有的同学觉得我理解了一部分。
还有的同学觉得，我完全能够理解。
没问题，就保持你们这个想法，倒数这个内容，就是我们在分数除法这个阶段学习的一个重点。
到底为什么
，会随着我们后面的学习会深入的研究。
看看到后面学习的时候，你是不是真的懂了，在这种懂的基础上，还有没有新的发现，和理解。
师：
好了，今天这节课我们给了大家一个情境。
大家理解了分数的意义，还提出了一个问题。
随着大家提出的问题，我们列出了算式，找到了各种方法来解决这个问题。
还知道了每种方法的依据和目标，并且把这些方法建立了联系。
回首我们看看大家提到的这些问题，是怎么想的？
原理是什么？
有什么联系？
依据是什么？
有没有简便的方法…可能同学们觉得有些问题我们解决了，有些问题还没有解决，没关系，带着这些问题开始后面的学习。
师：
那么学完这节课之后，你有什么收获？
生：
我的收获是：
有时候过程比答案更重要。
师：
说的真好，过程比结果更重要。
为什么过程比结果更重要？
他为什么这样说？
有道理吗？
生：
因为过程是错误的话，结果也是错误的。
过程有着更深刻的意义。
师：
过程有着更深刻的意义。
就像这题一样，找到结果很容易，但是知道这些可能更重要。
其他同学。
说说你的想法。
生：
下次可能考这个类型的题，不考这样的题。
师：
对，有些题不能照搬，理解这个题的意思，你可能就能解决好多问题。
对吧，就是。
有实际意义。
生：
有的题目不止有一种方法。
生：
解一道题它的方法是次要的，然而它的算理才是根本。
（这孩子说的精辟，全场掌声，所有听课教师会心的笑了，赞一个。
）
师：
很了不起，他说的这个算理就是我们要找的方法背后的原理。
是什么支撑着我们能够想到各种方法。
是不是这个意思。
还有吗？
生：
我们要把未知的东西变成已知的东西。
师：
这就是我们解决新问题的一般方法。
好了今天这节课我们就…你说
生：
我觉得题目是死的，人的脑袋是活的，你可以用自己的脑袋去做各种各样的题，但题就不能控制人思维的局限性。
（全长掌声，孩子说的好呀！
！
）
师：
说的真棒，非常有头脑的小男孩。
实际上我们需要的是增长我们自己的智慧。
对吧，好了，各位同学，今天这节课我们就上到这。
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