五年级数学下册基础知识.docx

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五年级数学下册基础知识

第一单元简易方程

1.等式与方程

（1）等式是表示左右两边相等的式子，从形式上看，是含有“=”的式子。

判断等式的方法：

用等号连接的式子是等式，用不等号连接的式子不是等式。

（2）含有未知数的等式是方程。

（未知数不是只能用表示，还可以用a、b等其他字母表示。

）

（3）方程与等式的关系：

方程一定是等式，但等式不一定是方程。

等式与方程的关系如下图所示：

（4）判断一个式子是不是方程的方法：

首先看它是否含有未知数，再看它是不是等式，二者缺一不可。

2.等式的性质

（一）和解方程

（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

这是等式的性质。

即：

若a=b,则a+c=b+c或a-c=b-c。

注意的方面：

等式两边同时加或同时减，不能一边加另一边减；

同时加或同时减的数不仅可以是已知的数，还可以是字母或用式子表示的数。

（2）使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。

（3）求方程的解的过程叫作解方程。

（4）检验方程的解就是把求得的未知数的值代入原方程，看看左右两边是不是相等。

3.等式的性质

（二）和解方程

（1）等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。

若a=b,则ac=bc或a÷c=b÷c（c≠0）。

（2）由于0不能作除数，所以等式两边不可以同时除以0；由于0乘任何数都是0，所以等式两边不能同时乘0。

（3）注意的方面：

方程两边要么同时乘一个不为0的数，要么同时除以一个不为0的数，不能出现一边乘、除，一边不乘、除，或乘、除的不是同一个数。

4.列方程解决实际问题

（一）

（1）列方程解决实际问题的步骤：

找出未知数，用字母X表示；

分析实际问题中的数量关系，找出相等关系，列方程；

解方程并检验；

作答。

（2）已知比一个数多（或少）几的数的大小，求这个数，可以列形如“x±a=b”的方程解答。

（3）已知比一个数的几倍多（或少）几的数的大小，求这个数，可以列形如“ax±b=c”的方程解答。

5.列方程解决实际问题

（二）

（1）用方程解含有两个未知量的和（差）倍关系的实际问题，可以根据两个量之间的倍数关系，设其中的标准量（也就是1倍数）为x，另一个未知量用含有x的式子表示出来，然后根据题中的相等关系列形如“ax±bx=c”的方程解答。

（2）利用方程解决稍复杂的行程问题时，可以通过画线段图清楚直观地分析数量之间的相等关系，再利用速度、时间和路程的数量关系列形如“ax±b×c=d”的方程解决问题。

第二单元折线统计图

1.单式折线统计图

（1）折线统计图的意义：

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，这样的统计图叫作折线统计图。

（2）折线统计图的特点：

它既可以反映数量的多少，又能反映数量的增减变化情况。

（3）折线统计图的绘制方法：

用纵轴表示一种量，横轴表示另一种量；

根据统计图所占空间的大小，确定横轴和纵轴每一个单位的长度；

依据确定的单位长度画出横轴和纵轴，标注单位并画出方格图；

依据数据描点并把各点用线段顺次连接起来；

写好标题。

2.复式折线统计图

（1）复式折线统计图的意义：

在统计过程中存在两组或两组以上数据，需要用不同颜色（或不同形式）的折线来表示数量的变化情况，这样的统计图就是复式折线统计图。

（2）复式折线统计图的特点：

它不但能表示出数量的多少和增减变化情况，而且便于对各组相关数据进行比较。

第三单元因数与倍数

1.因数和倍数

（1）两个自然数（0除外）相乘的积是这两个自然数的倍数，这两个自然数是它们的积的因数。

即a×b=c（a,b均为非0自然数），a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。

注意：

研究因数和倍数时，所说的数一般是指不为0的自然数。

（2）找一个数的因数的方法（列乘法算式找或列除法算式找）：

从1开始依次列举积是这个数的乘法算式或被除数是这个数的除法算式，则算式中的乘数或除数和商就是这个数的因数。

（3）一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的因数的个数是有限的。

（4）找一个数的倍数的方法（列乘法算式找或列除法算式找）：

可以用这个数分别去乘1，2，3，…所得的积都是这个数的倍数；也可以找出除以这个数后商分别是1，2，3，…的数。

（5）一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个数的倍数的个数是无限的。

2.2和5的倍数的特征

（1）个位上是0或5的数都是5的倍数。

（2）个位上是2，4，6，8，0的数都是2的倍数。

（3）判断一个数是否是2或5的倍数，只需看这个数的个位上的数字即可。

（4）自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。

（5）既是5的倍数，又是2的倍数的特征：

个位上的数字是0。

3.3的倍数的特征

（1）一个数各个数位上数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

（2）同时是2、3和5的倍数的数，个位上的数字一定是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。

4.质数和合数

（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。

一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。

1既不是质数，也不是合数。

（判断一个自然数是质数还是合数，关键是看这个数有几个因数。

一个数只有两个因数，这个数就是质数；一个数有三个或三个以上的因数，这个数就是合数。

）

（2）质数与合数的个数都是无限的，没有最大的质数或合数。

最小的质数是2，最小的合数是4。

其中，2是唯一一个既是偶数又是质数的数。

（3）判断一个自然数是不是质数，可以用所有比它小的质数从小到大依次去除这个自然数，都除不尽，则它就是质数，否则就是合数。

（4）奇数个不同质数相加，如果没有2，和一定是奇数；如果和是偶数，其中必定有一个质数为2。

（5）偶数个不同质数相加，如果没有2，和一定是偶数；如果和是奇数，其中必定有一个质数2。

5.质因数和分解质因数

（1）如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。

把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。

6.公因数与最大公因数

（1）几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。

（2）一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，其中最小的公因数都是1。

（3）几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。

（4）求两个数的最大公因数的方法：

列举法：

先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。

筛选法：

先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。

短除法：

（5）将数量不同的两种物品按每份数量相同，且没有剩余的要求分，其实就是求这两个数的公因数。

若分成的每份数量要最多，就是求的最大公因数。

（6）较小数正好是较大数的因数，它们的最大公因数就是较小数。

（7）两个数的公因数只有1，它们的最大公因数也是1。

（8）两个数的最大公因数可以用“﹙﹚”表示。

12和18的最大公它们因数是6，可以表示为（12，18）=6。

7.公倍数与最小公倍数

（1）几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。

一个数的倍数的个数是无限的，所以几个数的公倍数的个数也是无限的。

（2）几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。

（3）求两个数的最小公倍数的方法：

列举法：

先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。

筛选法：

先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。

短除法：

（4）两个数的最小公倍数可以用“﹝﹞”表示。

12和18的最小公倍数是36，可以表示为﹝12，18﹞=36。

（5）较大数正好是较小数的倍数，它们的最小公倍数就是较大数。

（6）两个数的公因数只有1，它们的最小公倍数也是1。

（7）两个质数的最小公倍数是它们的乘积。

8．和与积的奇偶性

（1）两个偶数相加的和是偶数，两个奇数相加的和也是偶数，一个奇数与一个偶数相加的和是奇数。

（2）和是奇数还是偶数，与加数中奇数的个数有关系。

加数中有1个、3个、5个……奇数时，和一定是奇数；加数中有2个、4个、6个……奇数时，和一定是偶数。

（3）乘数都是奇数，积也是奇数；乘数都是偶数，积也是偶数。

几个乘数中，只要有一个是偶数，积一定是偶数。

第四单元分数的意义和性质

1.单位“1”、分数的意义和分数单位

（1）单位“1”：

一个物体、一个计量单位或有许多物体组成的一个整体，都可以用自然数“1”来表示，通常我们把它叫作单位“1”。

（2）分数和分数单位的意义：

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。

表示其中一份的数，叫作分数单位。

把单位“1”平均分成几份，分母就是几，这个分数的分数单位就是几分之一。

（3）分母越小，分数单位越大；分母越小，分数单位越小。

2.分数与除法的关系、

（1）被除数相当于分数的分子，除数相当于分母，除号相当于分数线，商相当于分数值，即被除数÷除数=

（除数不为0）。

如果用a表示被除数，b表示除数，可以写成：

a÷b=

（b≠0）。

当除法计算的结果不是整数商时候，可以用分数表示除法的商。

（2）分数与除法的区别：

除法是一种运算，分数是一种数。

（3）把低级单位的数改写成高级单位的数时，低级单位的数作分子，两个单位之间的进率作分母。

（4）求一个数是另一个数的几分之几的实际问题的解法：

一个数÷另一个数=

。

求一个数是另一个数的几分之几的问题中，另一个数是单位“1”。

求一个数是另一个数的几分之几与求一个数是另一个数的几倍是一样的用除法计算。

（5）已知分数单位对应的数量，就知道了整体被平均分成的份数及每份对应的数量，用每份对应的数量乘被平均分成的份数即可求出整体的数量。

3.真分数与假分数

（1）定义：

分子比分母小的分数叫作真分数，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。

（2）特征：

在直线上，表示真分数的点都在0和1之间，真分数都比1小；表示假分数的点在1或1的右边（即从1开始向右的部分），假分数等于1或大于1。

假分数都大于真分数。

4.假分数化成整数或带分数及分数与小数的互化

（1）假分数化成整数的方法：

用分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数。

能化成整数的假分数，分子都是分母的倍数。

（2）由整数和真分数合成的数叫作带分数。

写数时，先写整数部分，再写分数部分；读数时，先读整数部分，再读分数部分，两者之间加个“又”字。

（3）假分数化成带分数的方法：

用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，除数是分数部分的分母。

带分数化成假分数的方法：

用分母乘整数加分子作假分数的分子，分母不变。

（4）分数化成小数的方法：

用分子除以分母，除不尽时，一般要保留三位小数。

（5）小数化成分数的方法：

原来有几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子（小数的整数部分为0时，小数点左边的0一起去掉）。

5.分数的基本性质

（1）分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

这是分数的基本性质。

与除法中商不变的规律类似。

6.约分

（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数叫作约分。

（2）分子、分母只有公因数1的分数叫作最简分数。

约分时，通常要约成最简分数。

（3）约分的方法：

逐次约分法：

用分数的分子、分母的公因数（1除外）逐次去除分子、分母，直到得到一个最简分数为止。

一次约分法：

用分数的分子、分母的最大公因数分别去除分子、分母。

（4）约分时，原分数中分子、分母的差（或和）是约分后所得分数的分子、分母的差（或和）的几倍，那么约掉的公因数就是几。

7.通分和分数的大小比较

（1）把几个分母不同的分数（也叫做异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。

相同的分母叫作这几个分数的公分母。

通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。

（2）通分的方法：

先求原来的几个分数的分母的最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。

（3）比较分数的大小通常有以下方法：

数形结合，根据分数的意义通过画图来比较大小；

寻找一个中间量，通过将两个分数与中间量进行比较来得出二者的大小；

根据分数的基本性质，把两个分数化成分母（或分子）相同的分数来比较大小；

化成小数比较；

接近1的分数的大小比较：

可以用1减去这两个分数，再比较两个差，差较大的原分数较小，差较小的原分数较大。

（4）比较异分母分数的大小时，通常先把这几个分数通分，再按照同分母分数大小的比较方法进行比较。

综合与实践：

球的反弹高度

第五单元分数加法和减法

1.异分母分数的加、减法

（1）计算异分母分数加法，要先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加法的计算方法进行计算，计算结果能约分的要约成最简分数。

（2）计算异分母分数减法，要先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数减法的计算方法进行计算，计算结果能约分的要约成最简分数。

（3）把异分母分数转化成同分母分数时，一般以分母的最小公倍数为公分母。

（4）在分数运算中，可以把1看成分子、分母相同的假分数来计算。

（5）两个分母的最大公因数是1且分子都是1的分数相加，得数的分母是原来两个分母的积，分子是原来两个分母的和。

（分子是1的两个分数相加，和的分母为两个分数分母的乘积，分子为两个分数分母的和）

（6）两个分母的最大公因数是1且分子都是1的分数相减，得数的分母是原来两个分母的积，分子是原来两个分母的差。

（分子是1的两个分数相减，差的分母为两个分数分母的乘积，分子为两个分数分母的差）

2.分数加减混合运算

（1）分数加减法混合运算的运算顺序与整数加减法混合运算的运算顺序相同。

没有括号的，按从左往右依次计算，有括号的先算括号里面的。

（2）整数加法的运算律，对分数加法同样适用。

整数减法的运算性质对分数减法同样适用。

第六单元圆

1.圆的认识

（1）画圆的方法：

实物画圆法；

系绳画圆法；

圆规画圆法。

用圆规画圆的方法：

先把圆规的两个脚分开，定好两个脚之间的距离；

把有针尖的一只脚固定在一点上；

把装有铅笔芯的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

（2）圆心：

用圆规画圆时，针尖固定的点叫作圆心，一般用字母O表示。

半径：

连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，一般用字母r表示。

半径的长度就是圆规两个脚之间的距离。

（3）直径：

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示。

（4）一个圆的半径和直径都有无数条。

（5）同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍。

即：

d=2r或r=

。

（6）圆具有对称性，是轴对称图形，它有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

（7）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

在正方形内画一个最大的圆，圆的半径为正方形边长的一半。

在长方形内画一个最大的圆，圆的半径为长方形宽的一半。

2.扇形的认识

（1）由圆的两条半径和对应的一段曲线围成的图形叫作扇形。

圆上两点之间的曲线是弧，它是圆的一部分。

顶点在圆心的角叫作圆心角。

（2）扇形是轴对称图形，它只有一条对称轴。

通过圆心和弧中点的直线就是它的对称轴。

（3）在同一个圆中，扇形大小与其对应的圆心角的大小有关。

（4）在正方形内画最大的圆，正方形对角线的交点就是圆心，直径等于正方形的边长，即半径等于正方形边长的一半。

3.圆的周长

（1）圆是一个封闭图形，围成圆的曲线的长叫作圆的周长。

（2）任何一个圆的周长除以直径的商都是一个固定的数（圆的周长与直径的比值），我们把它叫作圆周率，用字母∏表示。

∏是一个无限不循环小数。

∏=3.141592653…在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。

（3）如果用C表示圆的周长，那么周长C与直径d和半径r的关系是：

C=∏d或C=2∏r。

（4）测量圆周长的方法：

绕绳法和滚动法。

使用滚动法要注意：

滚动圆的起止点，滚动时不能滑动。

（5）已知周长求直径和半径的公式：

d=C÷∏,r=C÷∏÷2

（6）求阴影部分的周长时，先把围成阴影部分的线描粗或用彩笔描出来，确定是由那几条曲线或线段组成，再综合运用相应的周长公式解决所求问题。

4.圆的面积

（1）圆所占平面的大小叫作圆的面积。

圆的面积可以用画正方形的方法来估算，圆的面积比以它的半径为边长的正方形面积的3倍多一些。

估算时，圆的面积大约等于半径×半径×3。

（2）数方格时，先数出有几个整格，再数有几个不是整格的。

特别接近整格的可近似看成整格，两个接近半格的可以看成一格。

（3）圆的面积计算公式：

圆的面积等于圆周率乘半径的平方。

如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是S=∏r2。

5.圆环及组合图形的面积

（1）圆环是由两个半径不同的同心圆构成的，环形面积就是两个圆之间的部分的面积，所以圆环面积等于外圆面积减去内圆面积。

用字母表示为S=∏R2-∏r2或S=∏（R2-r2）〖R为外圆半径，r为内圆半径〗

（2）组合图形的面积的计算，可以先把它分解成两个或几个规则图形的和或差，再计算这些规则图形的面积的和或差，从而求出组合图形的面积。

第七单元解决问题的策略

1.用“转化”的策略解决求复杂图形周长和面积的问题

把复杂图形通过切割、拼接、平移、旋转等方法，转化成简单规则的图形，然后利用公式求解。

2.用“转化”的策略解决特殊的计算问题

利用数形结合思想从不同角度灵活分析问题，使复杂计算简单化。

（1）求一组连续自然数的和

（2）求从1开始的连续奇数的和，连加的奇数有几个，得数就是几的平方。

第八单元整理与复习

1.数的世界与应用广角

2.图形王国

单式折线统计图

折线统计图

优点

复式折线统计图

意义

绘制方法

优点

意义

3.统计天地