鸡兔同笼应用题.docx

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鸡兔同笼应用题

鸡兔同笼应用题

典型应用题之鸡兔同笼一,基本问题

"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题

都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--"假设法"来求解.因此很有必要学会它的解

法和思路.

例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只

解:

我们设想,每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只

脚站着•现在，地面上出现脚的总数的一半，•也就是244十2=122（只）•在122这个数里，鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数

122-88=34,有34只兔子•当然鸡就有54只•答:

有兔子34只，鸡54只•

上面的计算，可以归结为下面算式:

总脚数十2-总头数=兔子数•

上面的解法是《孙子算经》中记载的•做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单!

能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍•可是,当其他问题转化成

这类问题时，"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通•因此，我们对这类问题给出一种一般解法•还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4X88只脚比244只脚多了88X4-244=108（只）•每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88X4-244）-（4-2）=54（只）•说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子•而是鸡•因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数X总头数-总脚数）十（兔脚数-鸡脚数）•当然，我们也可以设想88只都是”鸡"，那么共有脚2X88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）•

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68-2=34（只）•

说明设想中的"鸡"，有34只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数X总头数）十（兔脚数-鸡脚数）•上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数•

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"假设法"•现在，拿一个具体问题来试试上面的公式•

例2红铅笔每支0・19元，蓝铅笔每支0・11元，两种铅笔共买了16支，花了2・80元•问红，蓝铅笔各买几支

解:

以"分"作为钱的单位•我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚•

现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了•利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（19X16-280）-（19-11）

=24-8

=3（支）•红笔数=16-3=13（支）•答:

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔•对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性•例2中的”脚数"19与11之和是30・我

们也可以设想16只中，8只是"兔子"，8只是"鸡"，根据这一设想，脚数是

8X（11+19）=240.

比280少40.

40-（19-11）=5.

就知道设想中的8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"（蓝铅笔）数是3.

30X8比19X16或11X16要容易计算些•利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算•

实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有

脚数

19X10+11X6=256.

比280少24.

24-（19-11）=3,

就知道设想6只"鸡"，要少3只.

要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.

例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时

解:

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30-6=5（份），乙

每小时打30-10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5，"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

根据前面的公式

"兔”数=（30-3X7）-（5-3）

=4.5，

"鸡"数=7-4.5

=2.5，

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

答:

甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年

解:

4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式，兄的年龄是

（25X4-86）-（4-3）=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

（25-14）X4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）-（3-1）=15（岁）.

这是2003年.

答:

公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只

解:

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种.

利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6X18）-（8-6）

=5（只）.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式

蝉数=（13X2-20）-（2-1）=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答:

有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.

例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人

解:

对2道,3道,4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1X7-5X6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）十2=2.5）.

这样

兔脚数=4，鸡脚数=2.5，

总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有

（144-2.5X39）-（4-1.5）=31（人）.

答:

做对4道题的有31人.

习题一

1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只

2.学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副

3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个

4.某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元，5元，10元各有多少张

5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天

6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米），一段平路（4千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;有的是由一段上坡路（3千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段

7.用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张

二，"两数之差"的问题

鸡兔同笼中的总头数是"两数之和"，如果把条件换成"两数之差"，又应该怎样去解呢例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张

解一:

如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

（680-8X40）-（8+4）=30（张）,

这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.因此8分邮票有

40+30=70（张）.

答:

买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.也可以用任意假设一个数的办法.

解二:

譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是

4X20+8X60=560.

比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是

（680-4X20-8X60）-（4+8）=10（张）.因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.

例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天工程要多少天才能完成

解:

类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用

上一例题解一的方法,晴天有

（150-8X3）-（10+8）=7（天）.

雨天是7+3=10天,总共

7+10=17（天）.

答:

这项工程17天完成.

请注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的

问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只

解一:

假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28-2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4-2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

（100+28-2）-（2+1）=38（只）.

鸡是

100-38=62（只）.

答:

鸡62只,兔38只.

当然也可以去掉兔28-4=7（只）.兔的只数是

（100-28-4）-（2+1）+7=38（只）.

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:

假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

4X50-2X50=100,

比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少

了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要减少的兔数是

（100-28）-（4+2）=12（只）.

兔只数是

50-12=38（只）.

另外,还存在下面这样的问题:

总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".

例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

解一:

如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差

13X5X4+20=280（字）.

每首字数相差

7X4-5X4=8（字）.

因此,七言绝句有

28-（28-20）=35（首）.

五言绝句有

35+13=48（首）.

答:

五言绝句48首,七言绝句35首.

解二:

假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20X

23=460（字）,28X10=280（字），五言绝句的字数，反而多了

460-280=180（字）.

与题目中"少20字"相差

180+20=200（字）.

说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

200-8=25（首）.

五言绝句有

23+25=48（首）.

七言绝句有

10+25=35（首）.

在写出"鸡兔同笼"公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是

（680-8X40）-（8+4）=30（张）.

例9，假设都是兔，鸡的只数是

（100X4-28）-（4+2）=62（只）.

10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是

（20X13+20）-（28-20）=35（首）.

首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与"鸡兔同笼"公式比较，这三个算式只是有一

处"-"成了"+".其奥妙何在呢

当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，

破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几

只

解:

如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）-（1+0.2）=17（只）.

答:

这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

请你想一想，这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗

例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分;第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分

解一:

如果小明第一次测验24题全对，得5X24=120（分）•那么第二次只做对30-24=6（题）得分是

8X6-2X（15-6）=30（分）.

两次相差

120-30=90（分）.

比题目中条件相差10分多了80分•说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少

一题，少得5+仁6（分）,而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.

两者两差数就可减少

6+10=16（分）.

（90-10）-（6+10）=5（题）.

因此,第一次答对题数要比假设（全对）减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对

30-19=11（题）.

第一次得分

5X19-1X（24-9）=90.

第二次得分

8X11-2X（15-11）=80.

答:

第一次得90分,第二次得80分.解二:

答对30题,也就是两次共答错

24+15-30=9（题）.

第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6（分）,第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10（分）.答

错题互换一下,两次得分要相差6+10=16（分）.

如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6X9.但两次满分都是120分.比题目中条件"第一次得分多10分"，要少了6X9+10.因此，第二次答错题数是

（6X9+10）-（6+10）=4（题）•

第一次答错9-4=5（题）.

第一次得分5X（24-5）-1X5=90（分）.

第二次得分8X（15-4）-2X4=80（分）.

习题二

1.买语文书30本,数学书24本共花83.4元.每本语文书比每本数学书贵0.44元.每本语文书

和数学书的价格各是多少

2.甲茶叶每千克132元,乙茶叶每千克96元,共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元.问每种茶叶各买多少千克

3.一辆卡车运矿石,晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天

4.某次数学测验共20道题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分.问小华做对了几道题

5.甲,乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10发,共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分.问甲,乙各中几发

6.甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地,在停留半小时后,又从乙地返回甲地,小王从乙地到甲地,在甲地停留40分钟后,又从甲地返回乙地.已知两人同时分别从甲,乙两地出发,经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米,求两人的速度.

"鸡"和"兔"是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把"三种"转化成"二种"来考虑.这一节要

通过一些例题,告诉大家两类转化的方法例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支

解:

从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组这一组的笔,每支价格算作

（0.60X4+2.7）-5=1.02（元）.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是

（300-1.02X232）-（631.02）=12（支）.

铅笔和圆珠笔共

232-12=220（支）.

其中圆珠笔

220-（4+1）=44（支）.

铅笔

220-44=176（支）.

答:

其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.

例14商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

解:

因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整

数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

（1.5X2+1X3）-（2+3）=1.2（元）.

从公式可算出,大球个数是

（120-1.2X55）-（3-1.2）=30（个）.

买中,小球钱数各是

（120-30X3）-2=15（元）.

可买10个中球,15个小球.

答:

买大球30个,中球10个,小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法）,把两种东西合井成一种考虑,实质上都是求两种东西的平均价,就把"三"转化成"二"了.

例15是为例16作准备.

例15某人去时上坡速度为每小时走3千米,回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均

速度是多少

解:

去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离-所用时间

去时走1千米,要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟.来回共走2千米,用了30分钟,即半小时,平均速度是每小时走4千米.

千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:

每小时走（6+3）-2=4.5千米.

例16从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米

解:

把来回路程45X2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡•把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

（90-4X21）+（5-4）=6（小时）.

单程平路行走时间是6+2=3（小时）.

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是

45-5X3=30（千米）.

又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是

（6X7-30）+（6-3）=4（小时）.行走路程是3X4=12（千米）.

下坡行走的时间是7-4=3（小时）•行走路程是6X3=18（千米）.答:

从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

做两次"鸡兔同笼"的解法,也可以叫"两重鸡兔同笼问题"•例16是非常典型的例题•

例17某种考试已举行了24次,共出了426题•每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.

那么,其中考25题的有多少次

解:

如果每次都考16题,16X24=384，比426少42道题.

每次考25道题，就要多25-16=9（道）.

每次考20道题，就要多20-16=4（道）.

就有

9X考25题的次数+4X考20题的次数=42.

请注意，4和42都是偶数，9X考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9X6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数•由于42不能被4整除，0和4都不合适•只能是考25题有2次（考20题有6次）.

答:

其中考25题有2次•

例18有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位

解:

由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整

数倍.

如果有30人乘电车，

110-1.2X30=74（元）.

还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车

110-1.2X40=62（元）.

还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62>6X10）.说明假设的乘电车人数又多

了