鸡兔同笼应用题.docx

1、鸡兔同笼应用题鸡兔同笼应用题典型应用题之鸡兔同笼 一,基本问题 鸡兔同笼 是一类有名的中国古算题 .最早出现在孙子算经中 .许多小学算术应用题都可以转化成这类问题 ,或者用解它的典型解法 - 假设法 来求解 .因此很有必要学会它的解法和思路 .例1 有若干只鸡和兔子 ,它们共有 88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只解 :我们设想 ,每只鸡都是 金鸡独立 ,一只脚站着 ;而每只兔子都用两条后腿 ,像人一样用两只脚站着现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244十2=122（只）在122这个数里，鸡的头 数算了一次 ,兔子的头数相当于算了两次 .因此从 122减去总头数 88,剩下的就是兔子头数

2、122-88=34,有34只兔子当然鸡就有54只答:有兔子34只，鸡54只上面的计算 ，可以归结为下面算式 :总脚数十2-总头数=兔子数上面的解法是 孙子算经 中记载的 做一次除法和一次减法 ，马上能求出兔子数 ，多简单 ! 能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4和2,4又是2的2倍可是,当其他问题转化成这类问题时 ，脚数就不一定是 4和 2，上面的计算方法就行不通 因此，我们对这类问题给出一 种一般解法 还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4X 88只脚比244只脚多了 88X 4-244=108（只）每只鸡比 兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88 X 4-244） - （4-

3、2）= 54（只）说明我们设想的 88只兔子中，有54 只不是兔子 而是鸡 因此可以列出公式鸡数=（兔脚数X总头数-总脚数）十（兔脚数-鸡脚数） 当然，我们也可以设想88只都是”鸡，那么共有脚2 X 88=176（只），比244只脚少了 244-176=68（只）每只鸡比每只兔子少 （4-2）只脚，68- 2=34（只）说明设想中的 鸡，有34只是兔子 ，也可以列出公式 兔数=（总脚数-鸡脚数X总头数）十（兔脚数-鸡脚数） 上面两个公式不必都用 ，用其中一个算出兔数或鸡数 ，再用总头数去减 ，就知道另一个数 假设全是鸡 ，或者全是兔 ，通常用这样的思路求解 ，有人称为 假设法 现在 ，拿一个具

4、体问题来试试上面的公式 例2红铅笔每支019元，蓝铅笔每支011元，两种铅笔共买了 16支，花了 280元问红，蓝铅笔 各买几支解:以分作为钱的单位 我们设想 ，一种鸡有 11 只脚，一种兔子有19只脚，它们共有 16 个 头，280 只脚 现在已经把买铅笔问题 ，转化成鸡兔同笼 问题了 利用上面算兔数公式 ，就有 蓝笔数=（19 X 16-280） - （19-11）=24 - 8=3（支 ） 红笔数=16-3=13（支） 答:买了 13支红铅笔和 3支蓝铅笔 对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性 例2中的”脚数19与11之和是30我们也可以设想 16只中，8只是兔子，8 只是鸡

5、，根据这一设想 ，脚数是8 X (11+19)=240.比 280 少 40.40 - (19-11)=5.就知道设想中的 8只鸡应少 5只,也就是鸡(蓝铅笔 )数是 3.30X 8比19X 16或11 X 16要容易计算些利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算实际上 ,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数 .例如,设想 16只中,兔数为 10,鸡数为6,就有脚数19X 10+11 X 6=256.比 280 少 24.24 - (19-11)=3,就知道设想 6只鸡，要少 3只.要使设想的数 ,能给计算带来方便 ,常常取决于你的心算本领 . 下面再举四个稍有难度的例子 .例 3 一份稿件 ,甲单独

6、打字需 6小时完成 .乙单独打字需 10小时完成 ,现在甲单独打若干小时 后,因有事由乙接着打完 ,共用了 7 小时.甲打字用了多少小时解:我们把这份稿件平均分成 30份(30是6和10的最小公倍数)，甲每小时打30- 6=5(份)，乙每小时打30 - 10=3(份).现在把甲打字的时间看成 兔头数，乙打字的时间看成 鸡头数，总头数是 7.兔的脚数是 5， 鸡的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成 鸡兔同笼 问题了 .根据前面的公式兔”数=(30-3 X 7) - (5-3)=4.5，鸡数=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了 4.5小时，乙打字用了 2.5小时.答: 甲打字用了 4 小

7、时 30 分.例 4 今年是 1998年，父母年龄 (整数)和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁.四年后(2002 年)父的 年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时， 是公元哪一年解:4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25，父母年龄之和是 78+8=86.我们 可以把兄的年龄看作 鸡头数，弟的年龄看作 兔头数.25是总头数.86是总脚数.根据公式 ， 兄的年龄是(25 X 4-86) - (4-3)=14(岁).1998 年，兄年龄是14-4=10(岁).父年龄是(25-14)X 4-4=40(岁 ).因此，

8、当父的年龄是兄的年龄的 3倍时，兄的年龄是(40-10) - (3-1)=15(岁).这是 2003 年 .答:公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的 3倍.例 5 蜘蛛有 8条腿，蜻蜓有 6条腿和 2对翅膀 ，蝉有 6条腿和 1 对翅膀.现在这三种小虫共 18 只，有118条腿和 20对翅膀.每种小虫各几只解:因为蜻蜓和蝉都有 6条腿，所以从腿的数目来考虑 ，可以把小虫分成 8条腿与6条腿两种.利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=（118-6 X 18） - （8-6）=5（只）.因此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有 1 3只,它们共有 20对翅膀 .再利用

9、一次公式蝉数=（13 X 2-20） - （2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是 13-6=7（只）.答:有5只蜘蛛 ,7只蜻蜓 ,6只蝉.例 6 某次数学考试考五道题 ,全班 52 人参加 ,共做对 181 道题 ,已知每人至少做对 1 道题,做对 1 道的有 7人,5道全对的有 6人,做对 2 道和 3道的人数一样多 ,那么做对 4道的人数有多少 人解:对2道,3道,4道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-1 X 7-5X 6=144（道 ）.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5道题的人（2+3）十2=2.5）.这样兔脚数 =4，鸡脚数 =2.5，

10、总脚数 =144，总头数 =39.对 4 道题的有（144-2.5 X 39） - （4-1.5）=31（人）.答:做对 4 道题的有 31 人.习题一1.龟鹤共有 100 个头 ，350 只脚.龟，鹤各多少只2.学校有象棋 ，跳棋共 26副，恰好可供 120个学生同时进行活动 .象棋 2人下一副棋 ，跳棋 6人 下一副 .象棋和跳棋各有几副3.一些 2分和 5分的硬币 ，共值 2.99 元，其中 2分硬币个数是 5分硬币个数的 4倍，问5分硬币 有多少个4.某人领得工资 240元，有2元，5元，10元三种人民币 ，共50张，其中 2元与 5元的张数一样多 . 那么 2 元，5 元，10 元各

11、有多少张5.一件工程 ，甲单独做 12天完成 ，乙单独做 18天完成 ，现在甲做了若干天后 ，再由乙接着单独做 完余下的部分 ，这样前后共用了 16天.甲先做了多少天6.摩托车赛全程长 281千米，全程被划分成若干个阶段 ，每一阶段中 ，有的是由一段上坡路 （3 千 米），一段平路 （4 千米） ，一段下坡路 （2 千米）和一段平路 （4 千米）组成的 ;有的是由一段上坡路 （3 千米），一段下坡路 （2千米）和一段平路 （4千米）组成的 .已知摩托车跑完全程后 ，共跑了 25段上 坡路 .全程中包含这两种阶段各几段7.用1 元钱买 4分，8分，1角的邮票共 15张，问最多可以买 1 角的邮票

12、多少张二，两数之差 的问题鸡兔同笼中的总头数是 两数之和 ，如果把条件换成 两数之差 ，又应该怎样去解呢 例7 买一些 4分和 8分的邮票 ，共花 6元8角.已知 8分的邮票比 4分的邮票多 40张，那么两 种邮票各买了多少张解一:如果拿出 40张 8分的邮票 ，余下的邮票中 8分与 4分的张数就一样多 .（680-8 X 40） - （8+4）=30（张）,这就知道 ,余下的邮票中 ,8 分和 4 分的各有 30 张 . 因此 8 分邮票有40+30=70（张）.答:买了 8分的邮票 70 张,4分的邮票 30张. 也可以用任意假设一个数的办法 .解二:譬如,假设有 20张4分,根据条件8分

13、比 4分多 40张,那么应有 60张8分.以分作为 计算单位 ,此时邮票总值是4 X 20+8 X 60=560.比 680少,因此还要增加邮票 .为了保持 差是 40,每增加 1张4分,就要增加 1张 8分,每种要 增加的张数是（680-4 X 20-8 X 60）- （4+8）=10（张）. 因此 4分有 20+10=30（张）,8分有 60+10=70（张）.例 8 一项工程 ,如果全是晴天 ,15 天可以完成 .倘若下雨 ,雨天一天 工程要多少天才能完成解:类似于例 3,我们设工程的全部工作量是 1 50份,晴天每天完成 1 0份,雨天每天完成 8份.用上一例题解一的方法 ,晴天有（1

14、50-8X3）-（10+8）= 7（天）.雨天是 7+3=10天,总共7+10=17（天 ）.答:这项工程 17天完成 .请注意 ,如果把 雨天比晴天多 3 天去掉,而换成已知工程是 17 天完成 ,由此又回到上一节的问题.差是 3,与和是 1 7,知道其一 ,就能推算出另一个 .这说明了例 7,例 8与上一节基本问题之 间的关系 .总脚数是 两数之和 , 如果把条件换成 两数之差 ,又应该怎样去解呢 例 9 鸡与兔共 100 只,鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只解一:假如再补上 28只鸡脚 ,也就是再有鸡 28-2=14（只）,鸡与兔脚数就相等 ,兔的脚是鸡的脚 4- 2=2（倍）

15、,于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只数是（100+28- 2）-（2+1）=38（只）.鸡是100-38=62（只）.答:鸡 62 只 ,兔 38 只.当然也可以去掉兔 28- 4=7（只）.兔的只数是（100-28- 4）-（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的办法 .解二 :假设有 50 只鸡 ,就有兔 100-50=50（只）.此时脚数之差是4X 50-2 X 50=100,比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了 （鸡数少了 ）.为了保持总数是 100,一只兔换成一只鸡 ,少了 4 只兔脚 ,多了 2 只鸡脚 ,相差为 6 只（千万注意 ,不是 2 ） .因此要减

16、少的兔数是（100-28）- （4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.另外 ,还存在下面这样的问题 :总头数换成 两数之差 , 总脚数也换成 两数之差 .例 10 古诗中 ,五言绝句是四句诗 ,每句都是五个字 ;七言绝句是四句诗 ,每句都是七个字 .有一 诗选集,其中五言绝句比七言绝句多 13首,总字数却反而少了 20个字.问两种诗各多少首 .解一 :如果去掉 13 首五言绝句 ,两种诗首数就相等 ,此时字数相差13X 5X 4+20=280（字）.每首字数相差7X 4-5X 4=8（字）.因此 ,七言绝句有28- （28-20）=35（首）.五言绝句有35+13=48（首）.

17、答:五言绝句 48 首,七言绝句 35 首.解二 :假设五言绝句是 23 首,那么根据相差 13 首,七言绝句是 10 首.字数分别是 20X23=460（字）,28 X 10=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与题目中 少 20 字 相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了 .为了保持相差 13首，增加一首五言绝句 ，也要增一首七言绝句 ，而字数 相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加200 - 8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出鸡兔同笼 公式的时候 ，我们假设都是兔 ，或者都是鸡 ，

18、对于例 7，例9和例 10三个问题， 当然也可以这样假设 .现在来具体做一下 ，把列出的计算式子与 鸡兔同笼 公式对照一下 ，就 会发现非常有趣的事 .例 7，假设都是 8分邮票 ，4分邮票张数是（680-8 X 40） - （8+4）=30（张）.例 9， 假设都是兔 ， 鸡的只数是（100 X 4-28） - （4+2）=62（只）.10，假设都是五言绝句 ，七言绝句的首数是（20 X 13+20） - （28-20）=35（首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来 ，然后与鸡兔同笼 公式比较 ，这三个算式只是有一处- 成了 +. 其奥妙何在呢当你进入初中 ，有了负数的概念 ，并会列二

19、元一次方程组 ，就会明白 ，从数学上说 ，这一讲前两节 列举的所有例子都是同一件事 .例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶 ，运费按到达时完好的瓶子数目计算 ，每只 2角，如有破损 ，破损瓶子不给运费 ，还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只解:如果没有破损 ，运费应是 400 元.但破损一只要减少 1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是 （400-379.6） - （1+0.2）=17（只）.答:这次搬运中破损了 17只玻璃瓶 .请你想一想 ，这是鸡兔同笼 同一类型的问题吗例 12 有两次自然测验 ，第一次 24 道题，答对 1 题得 5分

20、，答错（包含不答 ）1 题倒扣 1 分;第二次 15道题，答对 1题8分，答错或不答 1 题倒扣 2分，小明两次测验共答对 30道题，但第一次测验 得分比第二次测验得分多 1 0分，问小明两次测验各得多少分解一:如果小明第一次测验 24题全对，得5X 24=120（分）那么第二次只做对 30-24=6（题）得分是8 X 6-2 X （15-6）=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分多了 80分说明假设的第一次答对题数多了 ，要减少.第一次答对减少一题，少得5+仁6（分）,而第二次答对增加一题不但不倒扣 2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少

21、6+10=16（分）.（90-10） - （6+10）=5（题）.因此 ,第一次答对题数要比假设 （全对 ）减少 5 题,也就是第一次答对 19 题,第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5 X 19-1 X (24- 9)=90.第二次得分8 X 11-2 X （15-11）=80.答:第一次得90分,第二次得80分. 解二:答对 30 题,也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题 ,要从满分中扣去 5+1=6（分）,第二次答错一题 ,要从满分中扣去 8+2=10（分）.答错题互换一下 ,两次得分要相差 6+10=16（分）.如果答错 9题都是第一次 ,要从满分中扣去

22、 6X 9.但两次满分都是 120分.比题目中条件 第一 次得分多10分，要少了 6 X 9+10.因此，第二次答错题数是（6X 9+10） - （6+10）=4（题）第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5X （24-5）-1 X 5=90（分）.第二次得分 8X （15-4）-2X 4=80（分）.习题二1.买语文书 30 本,数学书 24 本共花 83.4 元.每本语文书比每本数学书贵 0.44 元 .每本语文书和数学书的价格各是多少2.甲茶叶每千克 132 元,乙茶叶每千克 96元,共买这两种茶叶 12 千克.甲茶叶所花的钱比乙茶 叶所花钱少 354 元 .问每种茶叶各买多少千克3

23、.一辆卡车运矿石 ,晴天每天可运 1 6次,雨天每天只能运 11 次.一连运了若干天 ,有晴天 ,也有雨 天.其中雨天比晴天多 3天,但运的次数却比晴天运的次数少 27次.问一连运了多少天4.某次数学测验共 20道题,做对一题得 5 分,做错一题倒扣 1 分,不做得 0 分.小华得了 76 分. 问小华做对了几道题5.甲,乙二人射击 ,若命中 ,甲得 4 分,乙得 5分;若不中 ,甲失 2分,乙失 3分.每人各射 10发,共命 中 14发.结算分数时 ,甲比乙多 1 0分.问甲,乙各中几发6.甲,乙两地相距 1 2千米.小张从甲地到乙地 ,在停留半小时后 ,又从乙地返回甲地 ,小王从乙地 到甲

24、地 ,在甲地停留 40 分钟后 ,又从甲地返回乙地 .已知两人同时分别从甲 ,乙两地出发 ,经过 4 小时后 ,他们在返回的途中相遇 .如果小张速度比小王速度每小时多走 1.5千米,求两人的速度 .鸡和兔是两种东西 ,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题 .在第一节例 5 和例 6 就 都有三种东西 .从这两个例子的解法 ,也可以看出 ,要把三种 转化成 二种来考虑 .这一节要通过一些例题 ,告诉大家两类转化的方法 例 13 学校组织新年游艺晚会 ,用于奖品的铅笔 ,圆珠笔和钢笔共 232 支 ,共花了 300 元 .其中铅 笔数量是圆珠笔的 4倍.已知铅笔每支 0.60元,圆珠笔每支 2.

25、7 元,钢笔每支 6.3元.问三种笔各 有多少支解:从条件 铅笔数量是圆珠笔的 4 倍,这两种笔可并成一种笔 ,四支铅笔和一支圆珠笔成一组 这一组的笔 ,每支价格算作(0.60 X 4+2.7) - 5=1.02(元).现在转化成价格为 1.02和 6.3两种笔.用鸡兔同笼 公式可算出 ,钢笔支数是(300-1.02 X 232) - (631.02)=12(支).铅笔和圆珠笔共232-12=220(支).其中圆珠笔220 - (4+1)=44(支).铅笔220-44=176(支).答:其中钢笔 12支,圆珠笔 44支,铅笔 176支.例 14 商店出售大 ,中,小气球,大球每个 3元,中球每

26、个 1 .5元,小球每个 1 元.张老师用 120 元 共买了 55 个球 ,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多 .问每种球各买几个解: 因为总钱数是整数 ,大,小球的价钱也都是整数 ,所以买中球的钱数是整数 ,而且还是 3 的整数倍.我们设想买中球 ,小球钱中各出 3元.就可买 2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看 作一种 ,每个价钱是(1.5X 2+1 X 3)- (2+3)=1.2(元).从公式可算出 ,大球个数是(120-1.2X 55)-(3-1.2)=30(个).买中 ,小球钱数各是(120-30X 3)-2=15(元).可买 10 个中球 ,15 个小球 .答:买大球 3

27、0个,中球 10个,小球 15个.例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系 ,例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系 (倍数关 系也可用类似方法 ),把两种东西合井成一种考虑 ,实质上都是求两种东西的平均价 ,就把 三 转化成 二 了 .例 15 是为例 16 作准备 .例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3 千米 ,回来时下坡速度为每小时走 6 千米 ,求他的平均速度是多少解:去和回来走的距离一样多 .这是我们考虑问题的前提 .平均速度 =所行距离-所用时间去时走 1 千米,要用 20 分钟;回来时走 1 千米,要用 10 分钟.来回共走 2千米,用了 30分钟,即 半小时 ,平均速度

28、是每小时走 4 千米 .千万注意 ,平均速度不是两个速度的平均值 :每小时走 (6+3)-2=4.5千米.例16 从甲地至乙地全长 45千米,有上坡路 ,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时 3千米,平路 上速度是每小时 5千米,下坡速度是每小时 6千米.从甲地到乙地 ,李强行走了 1 0小时;从乙地 到甲地 ,李强行走了 11 小时 .问从甲地到乙地 ,各种路段分别是多少千米解:把来回路程45 X 2=90(千米)算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡把上坡 和下坡合并成 一种路程 ,根据例 15,平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非常简单的 鸡 兔同笼 问题.头数 10+1

29、1=21，总脚数 90，鸡，兔脚数分别是 4和 5.因此平路所用时间是（90-4 X 21）+ （5-4）=6（小时）.单程平路行走时间是 6+ 2=3（小时）.从甲地至乙地 ,上坡和下坡用了 10-3=7（小时）行走路程是45-5X 3=30（千米 ）.又是一个 鸡兔同笼 问题 .从甲地至乙地 ,上坡行走的时间是（6X 7-30） + （6-3）=4（小时）. 行走路程是 3X 4=12（千米）.下坡行走的时间是 7-4=3（小时）行走路程是6X 3=18（千米）. 答:从甲地至乙地 ,上坡 12千米,平路 15千米,下坡 18千米.做两次 鸡兔同笼 的解法 ,也可以叫 两重鸡兔同笼问题 例

30、 16 是非常典型的例题 例17某种考试已举行了 24次,共出了 426题每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么 ,其中考 25 题的有多少次解:如果每次都考16题,16X 24=384，比426少42道题.每次考25道题，就要多25-16=9（道）.每次考20道题，就要多20-16=4（道）.就有9 X考25题的次数+4X考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9X考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9X 6=54比 42大，考 25题的次数 ，只能是 0，2，4这三个数 由于 42不能被 4整除，0和 4都不合适 只能是考25题有2次（考 20题有6次）.答:其中考25题有2次例18有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每 人6元.这些同学共用了车费 110元，问其中乘小巴的同学有多少位解:由于总钱数 110元是整数 ，小巴和地铁票也都是整数 ，因此乘电车前往的人数一定是 5的整数倍 .如果有 30 人乘电车 ，110-1.2X 30=74（元）.还余下 50-30=20（人）都乘小巴钱也不够 .说明假设的乘电车人数少了 .如果有 40 人乘电车110-1.2X 40=62（元）.还余下 50-40=10（人）都乘地下铁路前往 ，钱还有多 （626X 10）.说明假设的乘电车人数又多了