≤＝＝1＋x＝1＋ax，当且仅当1＋x＝1，即x＝0时，等号成立.
[探究共研型]
放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用
探究1 用数学归纳法证明不等式时，如何利用放缩法？
【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标.而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如：
舍去或加上一些项：
＋＞；
将分子或分母放大（缩小）：
＜，＞，＜，＞（k∈R，k＞1）等.
证明：
2n＋2>n2（n∈N＋）.
【精彩点拨】 ⇒
⇒
【自主解答】
（1）当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边.
因此当n＝1,2,3时，不等式成立.
（2）假设当n＝k（k≥3且k∈N＋）时，不等式成立，即2k＋2>k2（k∈N＋）.
当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2
＝2（2k＋2）－2>2k2－2
＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3
＝（k2＋2k＋1）＋（k＋1）（k－3）≥k2＋2k＋1＝（k＋1）2.（因为k≥3，则k－3≥0，k＋1>0）
所以2k＋1＋2>（k＋1）2，
故当n＝k＋1时，原不等式也成立.
根据
（1）
（2）知，原不等式对于任何n∈N＋都成立.
1.本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤（把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.
2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累.
[再练一题]
4.设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明（1＋x）n＞1＋nx.
【证明】
（1）当n＝2时，由x≠0，知
（1＋x）2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，
因此n＝2时命题成立.
（2）假设n＝k（k≥2为正整数）时命题成立，
即（1＋x）k＞1＋kx，
则当n＝k＋1时，
（1＋x）k＋1＝（1＋x）k（1＋x）＞（1＋kx）（1＋x）＝1＋x＋kx＋kx2
＞1＋（k＋1）x.
即n＝k＋1时，命题也成立.
由
（1）
（2）及数学归纳法知原命题成立.
不等式中的探索、猜想、证明
探究2 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是什么？
【提示】 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时.
若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.
【导学号：
38000060】
【精彩点拨】 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.
【自主解答】 当n＝1时，＋＋>，
则>，∴a<26.
又a∈N＋，∴取a＝25.
下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.
（1）n＝1时，已证.
（2）假设当n＝k时（k≥1，k∈N＋），＋＋…＋>，
∴当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋
>＋.
∵＋＝>，
∴＋－>0，
∴＋＋…＋>也成立.
由
（1）
（2）可知，对一切n∈N＋，
都有＋＋…＋>，
∴a的最大值为25.
1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.
2.本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是＋＋－，这一点必须清楚.
[再练一题]
5.设an＝1＋＋＋…＋（n∈N＋），是否存在n的整式g（n），使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g（n）（an－1）对大于1的一切正整数n都成立？
证明你的结论.
【解】 假设g（n）存在，那么当n＝2时，
由a1＝g
（2）（a2－1），
即1＝g
（2），∴g
（2）＝2；
当n＝3时，由a1＋a2＝g（3）（a3－1），
即1＋＝g（3），
∴g（3）＝3，
当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g（4）（a4－1），
即1＋＋
＝g（4），
∴g（4）＝4，
由此猜想g（n）＝n（n≥2，n∈N＋）.
下面用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n（an－1）成立.
（1）当n＝2时，a1＝1，
g
（2）（a2－1）＝2×＝1，
结论成立.
（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N＋）时结论成立，
即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k（ak－1）成立，
那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak
＝k（ak－1）＋ak＝（k＋1）ak－k
＝（k＋1）ak－（k＋1）＋1
＝（k＋1）＝（k＋1）（ak＋1－1），
说明当n＝k＋1时，结论也成立，
由
（1）
（2）可知，对一切大于1的正整数n，存在g（n）＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g（n）（an－1）成立.
[构建·体系]
1.用数学归纳法证不等式：
1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】 左边等比数列求和Sn＝＝2＞，
即1－＞，＜，
∴＜，∴n＞7，
∴n取8，选B.
【答案】 B
2.用数学归纳法证明2n≥n2（n≥5，n∈N＋）成立时第二步归纳假设的正确写法是（ ）
A.假设n＝k时命题成立
B.假设n＝k（k∈N＋）时命题成立
C.假设n＝k（k≥5）时命题成立
D.假设n＝k（k>5）时命题成立
【解析】 由题意知n≥5，n∈N＋，
故应假设n＝k（k≥5）时命题成立.
【答案】 C
3.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>（n≥2，n∈N＋）的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边（ ）
【导学号：
38000061】
A.增加了一项
B.增加了两项，
C.增加了两项，，但减少了一项
D.以上各种情况均不对
【解析】 ∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项，，少了一项.
【答案】 C
4.用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2（n∈N＋）”时，第一步的验证为________.
【解析】 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.
【答案】 21＋1≥12＋1＋2
5.试证明：
1＋＋＋…＋<2（n∈N＋）.
【证明】
（1）当n＝1时，不等式成立.
（2）假设n＝k（k≥1，k∈N＋）时，不等式成立，即
1＋＋＋…＋<2.
那么n＝k＋1时，
＋
<2＋＝
<＝2.
这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立.
根据
（1）
（2）可知，不等式对n∈N＋成立.
我还有这些不足：
（1）
（2）
我的课下提升方案：
（1）
（2）
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