通信原理教程习题答案第四版.docx
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通信原理教程习题答案第四版
第一章习题
习题在英文字母中E出现的概率最大，等于，试求其信息量。
解：
E的信息量：
lElog2^^log2PElog20.1053.25b
习题某信息源由A，B，C,D四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现
的概率分别为
1/4,
1/4,3/16,
5/16。
试求该信息源中每个符号的信息量。
解：
Ia
log2
1
log
2P（A）
log212b
P（A）
4
1B
log2
—2.415b
1C
3
log22.415blD
log2—1.678b
16
16
16
习题某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00,01，10，11表示。
若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在下列
条件下的平均信息速率。
（1）这四个符号等概率出现；
（2）这四个符号出现概率如习题
所示。
解：
（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2X5mSo传送字母的符号速率为
1
Rb3100Bd
2510
等概时的平均信息速率为
\RbRBlog2MRBlog24200bs
'\
（2）平均信息量为
\H■—log24—log24—log2—6—log2—61.977比特/符号
44163165
则平均信息速率为&RBH1001.977197.7bs
习题试冋上题中的码兀速率是多少？
解：
Rb-'200Bd==,
Tb5*10
习题设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：
该信息源的熵为
M64hj11
H（X）P（x）og2P（xJP（xjlog2P（xJ16*log23248*log296
i1/「3296
=比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率RbmH1000*5.795790b/s。
习题设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125us。
试求码元速
率和信息速率。
解：
RB
1
1
8000Bd
Tb
125*106
等概时，
rblog2M
8000*log2416kb/s
习题设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6
MHZ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解：
V.4kTRB、4*1.38*1023*23*600*6*1064.57*1012V
习题设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80m，试求其最远的通信距离。
解：
由D8rh，得D.8rh8*6.37*106*8063849km
x出现的概率为。
试求E
log20.1053.25bit
log20.0028.97bit
习题设英文字母E出现的概率为和x的信息量。
解：
\p（E）0.105
\p（x）0.002
\I（E）log2PE
\I（x）log2P（x）
习题信息源的符号集由
A，B，C，D和E组成，设每一符号独立
1/4出现,
其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。
试求该信息源符号的平均信息量
解:
p（x」log2P（xJ
2.23bit/符号
155
log2—log2
81616
习题设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4,1/8,1/8,1/2传送，每一消息的
出现是相互独立的。
试计算其平均信息量。
解：
p（x」log2p（xj
1.1
；lo92；
44
C,D组成的字。
对于传输的每一个字母用二进制脉冲B,10代替C,11代替D。
每个脉冲宽度为5ms。
1log21
88
理28知2「.75bit/符号
习题一个由字母A，B，
代替A，01代替
不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。
3
10,试计算传输的平均
编码，00
（1）
（2）
若每个字母出现的概率为
Pb
信息速率。
解：
首先计算平均信息量。
（1）
1
4*（）*log22
44
平均信息速率=2（bit/字母）/（2*5ms/字母）=200bit/s
P（Xi）iog2P（Xi）
bit/字母
（2）
11111133.宀口
P（Xi）1°92P（Xi）log2log2log2log21.985bit/子母
ii5544441010
平均信息速率=（bit/字母）/（2*5ms/字母）=s
习题国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉
冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
（1）计算点和划的信息量；
（2）计算点和划的平均信息量。
解：
令点出现的概率为Pa）,划出现的频率为P（B）
（1）
P（A）+P（B）=1;3P（A）P（B）
I（A）
log2p（A）
0.415bit
I（B）
gp（B）
2bit
（2）
H
p（Xi）log2
P（Xi）-log：
pA）34pB）14
23—log210.811bit/符号
444
习题设一信息源的输出由128个不同符号组成。
其中16个出现的概率为1/32,其余112个出现的概率为1/224。
信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。
试计算该信息源的平均信息速率。
解：
H
匚）log2」6.4bit/符号
224224
1
p（x）og2p（xj16*（）112*（
32
平均信息速率为6.4*1000=6400bit/s。
号,
习题对于二电平数字信号，每秒钟传输300个码元，问此传码率弘等于多少?
若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率仏等于多少？
解：
Rb300bRb300bit/s
习题若题中信息源以1000B速率传送信息，则传送1小时的信息量为多少?
传送1小时可能达到的最大信息量为多少？
/解：
\
传送1小时的信息量
传送1小时可能达到的最大信息量
1
2.23*1000*36008.028Mbit
H
max
先求出最大的熵：
则传送1小时可能达到的最大信息量
log22.32bit/符
一号
2.32*1000*36008.352Mbit
习题如果二进独立等概信号，码元宽度为,
Rb
为，求传码率Rb和独立等概时的传信率
1
解：
二进独立等概信号:
Rb
0.5*103
四进独立等概信号:
Rb
0.5*10
求Rb和&;有四进信号，码元宽度
2000B,Rb2000bit/s
1
32000B,Rb2*20004000bit/s
。
信息量：
bit
log2p（x）
信源符号的平均信息量
p（Xi）log2p（x）
平均信息速率:
传码率:
Rb
（B）
传信率：
％
bit/s
I
bit/s
（熵）:
bit/符号
（吭/符号）/（s/符号）
小结：
记住各个量的单位:
第二章习题
习题设随机过程X（t）可以表示成：
X（t）2cos（2t）,t
式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：
P（=0）=，P（=/2）=
试求E[X（t）]和Rx（0,1）。
解：
E[X（t）]=P（=0）2cos（2t）+P（=/2）2cos（2t）=cos（2t）sin2t/2
cost
习题设一个随机过程X（t）可以表示成：
/X（t）2cos（2t）,t
判断它是功率信号还是能量信号？
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：
为功率信号。
1t/2
Rx（）limTtTT22X（t）X（t）dt
1t/2
limTtT222cos（2t）*2cos2（t）dt
2cos
（2）ej2tej2tP（f）RX（）ej2fd（ej2tej2t）ej2fd
（f1）（f1）
习题设有一信号可表示为:
t
0,t<0
试问它是功率信号还是能量信号？
并求出其功率谱密度或能量谱密度。
X（t）的傅立叶变换为：
4exp（t）X（t）｛円）
解：
它是能量信号
X（）x（t）ej
tdt04etejtdt4
（1j"dt
则能量谱密度
G（f）=X（f）=
14j
16
142
习题X（t）=x1cos2tx2sin2t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2。
试求：
（1）E[X（t）]，E[X2（t）]；
（2）X（t）的概率分布密度；（3）Rx（t1£）
解：
⑴EXtE捲cos2tX2sin2tcos2tE为sin2tEX20
Px（f）因为捲和X2相互独立，所以EX1X2E治EX2。
又因为EX1EX20，2
EX2tcos22t
Ex2
sin22t
E2X1，所以EX12
22
Ex；
（2）因为Xi和X2服从高斯分布,
1
布，其概率分布函数px-1
&2
Xt是X1和X2的线性组合，所以Xt
2
zexp2。
22
也服从高斯分
⑶RXt1,t2
EXt1Xt2E（x-icos2t1x2sin2t1）x-icos2t2
2
cos2t1cos2t2sin2bsin2t2
2
cos2t2t1
习题试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:
2几「
cos2f；
x2sin2t2
（2）a
（3）expa
（1）
解：
根据功率谱密度P⑴的性质：
①P（f）0，非负性；②P（-f）=P（f），偶函数。
可以判断
（1）和（3）满足功率谱密度的条件，
（2）不满足。
习题试求X（t）=Acost的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：
R（t，t+）=E[X（t）X（t+）]=EAcost*Acos（t
12A
-AEcoscos（2t）cosR（）
22
功率P=R（0）=A
习题设X1t和X2t是两个统计独立的平稳随机过程,
Rx1和Rx2。
试求其乘积X（t）=X1（t）X2（t）的自相关函数。
解：
（t,t+）=E[X（t）X（t+）]=E[X1（t）X2（t）X1（t）X2（t
其自相关函数分别为
）]
=EXi（t）Xi（t）EX2（t）X2（t）=Rxi（）Rx2（）
2
习题设随机过程X（t）=m（t）cost，其中m（t）是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
Px（f）
104f2,10kHZf10kHZ
0,其它/
（1）试画出自相关函数Rx（）的曲线；
（2）试求出X（t）的功率谱密度FX（f）和功率P。
1,10
解：
⑴Rx101
0,其它/其波形如图2-1所示。
⑵因为X（t）广义平稳，所以其功率谱密度PxRx。
由图2-8可见，Rx
的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
1
12
Px
0
0Sa1
2
22
1
Sa2
0
Sa2-
0
4
2
2
P
1
Px
d1
或S
Rxo-
2
2
2
习题设信号x（t）的傅立叶变换为X（f）=sin
试求此信号的自相关函数
Mt）
其自相关函数RX
解：
x（t）的能量谱密度为G（f）=
G（f）ej2fdf
1
0,
0
其它
习题已知噪声nt的自相关函数Rn
（1）试求其功率谱密度函数Pnf和功率
k
e
2
P;
（2）画出
-k|
k为常数。
解：
⑴R（f）Rn（）ej
In和Pnf的曲线。
k2
k2（2f）
0
（2）Rn（）和Pnf的曲线如图2-2所示
习题已知一平稳随机过程X（t）的自相关函数是以2为周期的周期性函数:
/R（）1||,11
试求X（t）的功率谱密度Px（f）并画出其曲线。
解：
详见例2-12
习题已知一信号x（t）的双边功率谱密度为
104f2,10kHZ
0,其它
Px（f）
f10kHZ
试求其平均功率。
解：
P
Px（f）df2
10*10342
0104f2df
f3
2二2*104*
3
习题设输入信号x（t）
104
0
-*108
3
et/t0
，将它加到由电阻
0,t0
试求其输出信号y（t）的能量谱密度。
R和电容C组成的高通滤
波器（见图2-3）上,RC=|r
解：
高通滤波器的系统函数为
\H（f）=X（t）2cos（2t
输入信号的傅里叶变换为
）,
1
X（f）=-
-j2f
1j2f
输出信号y（t）的能量谱密度为
Gy（f）Y（f）2
X（f）H（f）
C
R
11
（R）
（1）
j2fCj2f
x（t）加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为
图2-3RC高通滤波器
习题设有一周期信号
y（t）=dx（t）/dt式中，
解：
输出信号的傅里叶变换为丫（f）=*j2f*X（f）所以H（f）=丫（f）/X（f）=j2f
为常数。
试求该线性系统的传输函数H（f）.
习题设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。
当输入一个均值为0、双边功率谱密度为n°的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。
2
解：
参考例2-10
习题设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。
若输入信号是一个均值为0、双
边功率谱密度为n°的高斯白噪声时，试求
2
（1）输出噪声的自相关函数。
（2）输出噪声的方差。
解：
（1）LC低通滤波器的系统函数为
2
H^T1电142
j2fL14
j2fC
1
f2LC
输出过程的功率谱密度为R（）R（）H（）
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为
⑵输出亦是高斯过程，因此
2R°（0）R0（）Rd（0）Cn0
4L
习题若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,
图2-4LC低通滤波器
1
2LC
R0（）C^exmC）
当输入一个均值为0、双边功率
谱密度为匹的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。
2
解：
高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。
由题可知E（y（t））=0,\n0
R0（0）-
4RC
所以输出噪声的概率密度函数
P（
Py（X）
2RC
1
exp（n。
习题设随机过程（t）可表示成
0）1/2、p（/2）1/2
（t）2cos（2
试求E［⑴］及R
解.E[
（1）]1/2*2cos（20）1/2*2cos（2
2x2RC）
），式中是一个离散随变量，且
（0,1）
。
/2）1;
R（0,1）E[（0）
（1）]1/2*2cos（0）2cos（20）1/2*cos（/2）2cos（2/2）2
习题设Z（t）X^oswotXzSinwot是一随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0、方差为$的正态随机变量，试求：
（1）
E[Z（t）]、E[Z（t）]；
7
Z（t）的一维分布密度函数f（z）；
（3）
解:
B（t1,t2）和R（t1,t2）。
（1）
E[Z（t）]E[X1cosw0tX2sinw0t]cosWotEIX』sinw0tE[X2]0
因为X1和X2是彼此独立的正态随机变量,
Xl和X2是彼此互不相关，所以
E[X,X2]0
E[Z2（t）]
E[X12cos2
w0tX2
2sin2w0t]cos2w0tE[X12]sin2w0tE[X22]
又E[X1]
0.D（XJ
E[X12
E[X22]
E[X!
2]
同理E[X
22]2
2
代入可得E[Z（t）]
2
由E[Z（t）]=0；E[Z（t）]
又因为Z（t）是高斯分布
2f[Z（t）]
可得D[Z（t）]2
（2exp（
⑶
B（ti,t2）R（t「t2）E[Z（t!
）]E[Z（t2）]R（bt2）
X2sinw0t2）]
E[（X1cosw0t1X2sinw0t1）（X1cosw0t2
22
E[（X1cosw0t1cosw0t2X2sinw）t|sinw0t2）]
Rz（）E[Z（t）Z（t）]E[X（t）Y（t）X（t）Y（t）]
E[X（t）X（t）]E[Y（t）Y（t）]Rx（）Ry（）
习题若随机过程Z（t）
m（t）cos（w0t
），其中m（t）是宽平稳随机过程，且自相关函数
1
10
Rm（）1
01
Km（）为
0,其它
是服从均匀分布的随机变量，它与m（t）彼此统
计独立。
（1）证明Z（t）是宽平稳的；
（2）绘出自相关函数Rz（）的波形;
（3）求功率谱密度Pz（w）及功率S。
解：
（1）Z（t）是宽平稳的E[Z（t）]为常数;
E[Z（t）]E[m（t）cos（w0t
2
cos（w0t
0
）]E[m（t）]E[cos（w°t）]
）d]E[Z（t）]0
Rz（ti,t2）E[Z（tJZ（t2）]
E[m（t|）cos（w0t1
）m（t2）cos（w°t2）]
E[m（tjm（t2）]
Rm（t2t1）只与t2t1
有关：
令t2t1
E{cos（w0t1
）cos[w0（t1
）]}
E{cos（w0t1
）[cos（w0t1
）cosw0
sin（w0t|
）sinw0}
cosw0*E[cos（w0t1
）]sinw0
*E[cos（w0t1
）sin（w°t1）]
E[m（t1）m（t2）]E[cos（w0t1
）cos（w°t2）]
）]}0
cosw0*E{-[1cos2（w0t|
2
所以
RzM）
fcos（w°）*Rm（）
只与有关，证毕
（2）波形略;
1
2
（1）cos（w°）,1
0,其它
可以对Rm（）求两次导数，再利用付氏变换的性质求出
w/2
求Pn（W）和S；
2/W、
Sa（W）
Pz（w）Rz（）
习题已知噪声n（t）的自相关函数）
解：
11
Rz（）2cos（wg）*Rm（）2
（1）cos（w。
）,0
Rm（）的付氏变换。
），a为常数:
功率S：
Srz（0）1/2
旦exp（a
2
Rm''（）
（1）2（）
（1）Pm（w）Sin（w/2）
12ww02ww0
Pz（w）4[Sa（丁）Sa（丁）]
而Rz（）的波形为
exp（a
因为
2a
~2
w
a2
\a
Rn（）—exp（
所以
R（w）
2
a
~22
wa
a
SR（0）2
习题（t）是一个平稳随机过程,
它的自相关函数是周期为2S的周期函数。
在区
间（-1,1）上，该自相关函数R（）1
。
试求（t）的功率谱密度P（w）。
解：
见第2.4题R（）1
2W
S孑（_）
因为T⑴
（t2n）所以（t）R（）*T（t）
据付氏变换的性质可得P（w）
Pr（w）F（w）
（t2n）
（wn）
P（w）FR（w）F（w）故
w
sa2（-）*n
2wn
（…Sa（丁）*
（wn）
习题将一个均值为
、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
⑵
解:
Sa（w0
（w
求滤波器输出噪声的自相关函数；写出输出噪声的一维概率密度函数。
）
，故
又H（w）G2B（w）*[
Wc）（WWc）]
也H（w）
2
G2B（w）BSa（B）
2
R（w）H（w）P（w）
G2w0（w）
因为-0
0,功率谱密度为为no/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为
（1）
（1）
（wwC）（w
Wc）
1
COS（Wc）
由付氏变换的性质
F-i（w）*F2（w）
可得
FO（w）
r（
n。
n。
一H（w）一G2B
22
）n0BSa（B）cos（wC）
（W）*[（WWc）
（WWc）
（2）
E[o（t）]
2
0；R（0）E[0（t）]Bn。
；R（）
2
E[o（t）]0
R（0）R（）Bn°
又因为输出噪声分布为高斯分布
f[o（t）]
可得输出噪声分布函数为
Bn。
习题设有RC低通滤波器，求当输入均值为输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
H（w）
0,
功率谱密度为％/2的白噪声时,
1
jwC1
1jwRC
jwC
PO（w）
R（w）|H（w）|2
（1）
1
2
1（wRC）
exp（a
⑵因为
2a
~22
wa
Po（w）
所以
n°
2
1
（wRC）21
Ro（）
no
4RCeXP（
RC）
习题将均值为0,功率谱密度为no/2高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,
（1）求输出噪声的自相关函数；
（2）求输出噪声的方差。
解:
R
H（w）
RjwL
Po（w）R（w）H（w）
R2
（1）
2n0R"n0R
iTRfro（）zexp（nr）
no
E[n°（t）]0；
R（0）
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