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通信原理教程习题答案第四版.docx

1、通信原理教程习题答案第四版第一章习题习题 在英文字母中E出现的概率最大,等于,试求其信息量。解:E 的信息量:lE log 2 log 2 P E log 2 0.105 3.25 b习题 某信息源由A,B,C, D四个符号组成,设每个符号独立出现,其出现的概率分别为1/4,1/4, 3/16,5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。解:Ialog 21log2 P(A)log 21 2bP(A)41 Blog 22.415b1 C3log 2 2.415b l Dlog2 1.678b161616习题 某信息源由A,B,C,D四个符号组成,这些符号分别用二进制码组 00, 01,10,11

2、表示。若每个二进制码元用宽度为 5ms的脉冲传输,试分别求出在下列条件下的平均信息速率。(1)这四个符号等概率出现; (2)这四个符号出现概率如习题所示。解:(1)一个字母对应两个二进制脉冲,属于四进制符号,故一个字母的持续时 间为2X5mSo传送字母的符号速率为1Rb 3 100 Bd2 5 10等概时的平均信息速率为 Rb RB log2 M RB log 2 4 200 b s (2)平均信息量为 H log 2 4 log 2 4 log 26 log 2 6 1.977 比特 / 符号4 4 16 3 16 5则平均信息速率为 & RBH 100 1.977 197.7 b s习题

3、试冋上题中的码兀速率是多少?解:Rb - 200 Bd =,Tb 5*10习题 设一个信息源由64个不同的符号组成,其中16个符号的出现概率均为 1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个独立的符号, 试求该信息源的平均信息速率。解:该信息源的熵为M 64 h j 1 1H(X) P(x)og2 P(xJ P(xjlog2 P(xJ 16* log 2 32 48* log 2 96i 1 / 32 96=比特/符号因此,该信息源的平均信息速率 Rb mH 1000*5.79 5790 b/s 。习题 设一个信息源输出四进制等概率信号, 其码元宽度为125 us

4、。试求码元速率和信息速率。解:RB118000 BdTb125*10 6等概时,rb log 2 M8000* log24 16kb/s习题 设一台接收机输入电路的等效电阻为 600欧姆,输入电路的带宽为 6MHZ,环境温度为23摄氏度,试求该电路产生的热噪声电压的有效值。解:V . 4kTRB 、4*1.38*10 23 *23*600*6*10 6 4.57*10 12 V习题设一条无线链路采用视距传输方式通信,其收发天线的架设高度都等于 80 m,试求其最远的通信距离。解:由 D 8rh,得 D . 8rh 8*6.37*10 6 *80 63849 kmx出现的概率为。试求Elog2

5、0.105 3.25 bitlog 2 0.002 8.97 bit习题 设英文字母E出现的概率为 和x的信息量。解: p(E) 0.105 p(x) 0.002 I(E) log2P E I(x) log2P(x)习题信息源的符号集由A,B,C,D和E组成,设每一符号独立1/4出现,其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量解:p(xlog2 P(xJ2.23bit/ 符号1 5 5log 2 log 28 16 16习题 设有四个消息A、B、C、D分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2传送,每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。解:

6、p(xlog2 p(xj1. 1;lo92;4 4C, D组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲 B, 10代替C, 11代替D。每个脉冲宽度为5ms。1log218 8理28知2.75bit/符号习题一个由字母A,B,代替A,01代替不同的字母是等概率出现时,试计算传输的平均信息速率。310,试计算传输的平均编码,00(1)(2)若每个字母出现的概率为Pb信息速率。解:首先计算平均信息量。(1)14*( )*log 2 24 4平均信息速率=2 (bit/字母)/(2*5m s/字母)=200bit/sP(Xi)iog 2 P(Xi)bit /字母(2)1 11 11 13 3 .宀口P

7、(Xi)192 P(Xi) log2 log2 log2 log2 1.985 bit/子母i i 5 5 4 4 4 4 10 10平均信息速率=(bit/字母)/(2*5ms/字母)=s习题国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母,划用持续 3单位的电流脉冲表示,点用持续1单位的电流脉冲表示,且划出现的概率是点出现的概率的 1/3。(1)计算点和划的信息量;(2)计算点和划的平均信息量。解:令点出现的概率为Pa),划出现的频率为P(B)(1)P(A) + P(B)=1; 3P(A) P(B)I(A)log2 p(A)0.415bitI(B)g p(B)2bit(2)Hp(Xi )log2P

8、(Xi) -log:pA) 3 4 pB) 1 42 3 log21 0.811bit /符号4 4 4习题设一信息源的输出由128个不同符号组成。其中16个出现的概率为1/32, 其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号,且每个符号彼此独立。 试计算该信息源的平均信息速率。解:H匚)log2 6.4bit /符号224 2241p(x)og2 p(xj 16*( ) 112*(32平均信息速率为6.4*1000=6400bit/s。号,习题 对于二电平数字信号,每秒钟传输300个码元,问此传码率 弘等于多少? 若数字信号0和1出现是独立等概的,那么传信率 仏等于多少?

9、解:Rb 300b Rb 300bit /s习题 若题中信息源以1000B速率传送信息,则传送1小时的信息量为多少? 传送1小时可能达到的最大信息量为多少?/解: 传送1小时的信息量传送1小时可能达到的最大信息量12.23*1000*3600 8.028MbitHmax先求出最大的熵:则传送1小时可能达到的最大信息量log2 2.32bit / 符一 号2.32*1000*3600 8.352Mbit习题如果二进独立等概信号,码元宽度为,Rb为,求传码率Rb和独立等概时的传信率1解:二进独立等概信号:Rb0.5*10 3四进独立等概信号:Rb0.5*10求 Rb和& ;有四进信号,码元宽度20

10、00B, Rb 2000bit/s13 2000B,Rb 2*2000 4000bit /s。信息量:bitlog 2 p( x)信源符号的平均信息量p(Xi)log2 p(x)平均信息速率:传码率:Rb(B)传信率:bit/sIbit /s(熵):bit/符号(吭/符号)/ (s/符号)小结:记住各个量的单位:第二章习题习题设随机过程X(t)可以表示成:X(t) 2cos(2 t ), t式中, 是一个离散随机变量,它具有如下概率分布: P( =0)=,P( = /2)=试求 EX(t)和 Rx(0,1)。解:EX(t)=P( =0)2cos(2 t)+P( = /2)2cos(2 t )=

11、cos(2 t) sin2 t / 2cos t习题设一个随机过程X(t)可以表示成:/ X(t) 2cos(2 t ), t判断它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解:为功率信号。1 t /2Rx( ) limT t TT22X(t)X(t )dt1 t /2limT tT222cos(2 t )*2cos 2 (t ) dt2cos(2 ) ej2 t e j2 t P(f) RX( )e j2 f d (ej2t e j2t)e j2 f d(f 1) (f 1)习题设有一信号可表示为:,t0, t0试问它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。X

12、(t)的傅立叶变换为:4exp( t) X(t) 円)解:它是能量信号X( ) x(t)e jtdt 0 4e te j tdt 4(1 j dt则能量谱密度G(f)= X(f)=14j161 4 2习题 X(t)= x1 cos2 t x2sin2 t,它是一个随机过程,其中x1和x2是相互统计独 立的高斯随机变量,数学期望均为 0,方差均为2。试求:(1)EX(t),EX2(t) ; (2)X(t)的概率分布密度;(3)Rx(t1)解: E X t E 捲 cos2 t X2 sin 2 t cos2 t E 为 sin 2 t E X2 0Px( f)因为捲和X2相互独立,所以E X1X

13、2 E治 E X2 。又因为E X1 E X2 0, 2E X2 t cos2 2 tE x2sin2 2 tE2 X1,所以 E X122 2Ex;(2)因为Xi和X2服从高斯分布,1布,其概率分布函数p x - 1&2X t是X1和X2的线性组合,所以X t2z exp 2 。2 2也服从高斯分 RX t1 , t2E X t1 X t2 E (x-i cos 2 t1 x2 sin 2 t1) x-i cos 2 t22cos2 t1 cos2 t2 sin2 b sin2 t22cos2 t2 t1习题试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:2几 cos 2 f ;x2 sin 2

14、t2(2)a(3) exp a(1)解:根据功率谱密度P的性质:P(f) 0,非负性;P(-f)=P(f),偶函数。 可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件,(2)不满足。习题 试求X(t)=Acos t的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。 解:R(t,t+ )=EX(t)X(t+ ) = E Acos t*Acos( t1 2 A-A E cos cos (2t ) cos R()2 2功率 P=R(0)= A习题 设X1 t和X2 t是两个统计独立的平稳随机过程,Rx1和Rx2 。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。解:(t,t+ )=EX(t)X(t+ )=

15、EX1(t)X2(t)X1(t )X2(t其自相关函数分别为)=E Xi(t)Xi(t ) E X2(t)X2(t ) =Rxi()Rx2()2习题 设随机过程X(t)=m(t)cos t,其中m(t)是广义平稳随机过程,且其自相关 函数为Px(f)10 4 f2, 10 kHZ f 10 kHZ0,其它 /(1)试画出自相关函数Rx()的曲线;(2)试求出X(t)的功率谱密度FX(f)和功率P。1,1 0解:Rx 1 0 10, 其它/ 其波形如图2-1所示。因为X(t)广义平稳,所以其功率谱密度Px Rx 。由图2-8可见,Rx的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此11 2Px0

16、0 Sa 122 21Sa20Sa2 -0422P1Pxd 1或SRx o -222习题设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) = sin试求此信号的自相关函数Mt)其自相关函数RX解:x(t)的能量谱密度为G(f)=G( f )ej2 f df10,0其它习题 已知噪声nt的自相关函数Rn(1)试求其功率谱密度函数Pn f和功率ke2P; (2)画出-k|k为常数。解: R(f) Rn( )e jIn和Pn f的曲线。k2k2 (2 f)0(2)Rn()和Pn f的曲线如图2-2所示习题 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:/ R( ) 1 | |, 1 1试求X(

17、t)的功率谱密度Px(f)并画出其曲线。解:详见例2-12习题已知一信号x(t)的双边功率谱密度为10 4 f2, 10 kHZ0,其它Px(f)f 10 kHZ试求其平均功率。解:PPx(f)df 210*103 4 20 104f2dff 32二 2*10 4*3习题 设输入信号x(t)1040-*1083e t/ t 0, ,将它加到由电阻0,t 0试求其输出信号y(t)的能量谱密度。R和电容C组成的高通滤波器(见图2-3) 上, RC=|r解:高通滤波器的系统函数为 H(f)= X(t) 2cos(2 t输入信号的傅里叶变换为),1X(f)=- -j2 f1 j2 f输出信号y(t)的

18、能量谱密度为Gy(f) Y(f)2X(f)H(f)CR1 1(R )(1 )j2 fC j2 fx(t)加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为图2-3RC高通滤波器习题 设有一周期信号y(t)= dx(t)/dt 式中,解:输出信号的傅里叶变换为 丫(f)= * j2 f *X(f)所以H(f)=丫(f)/X(f)=j 2 f为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).习题 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率 谱密度为n的白噪声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。2解:参考例2-10习题 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为 0、双边

19、功率谱密度为n的高斯白噪声时,试求2(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解:(1)LC低通滤波器的系统函数为2HT1电 1 42j2 fL 1 4j2 fC1f 2LC输出过程的功率谱密度为R( ) R( )H()对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为输出亦是高斯过程,因此2 R(0) R0( ) Rd(0) Cn04L习题若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,图2-4LC低通滤波器12LCR0( ) Cexm C )当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为匹 的白噪声时,试求输出噪声的概率密度。2解:高斯白噪声通过低通滤波器,输出信号仍然是高斯过程。由题可知E(y(t)=

20、0 , n0R0(0) -4RC所以输出噪声的概率密度函数P(Py(X)2RC1 exp( n。习题设随机过程(t)可表示成0) 1/2、p( /2) 1/2(t) 2cos(2试求E及R解.E (1) 1/2*2cos(2 0) 1/ 2*2cos(22x2RC),式中 是一个离散随变量,且(0,1)。/2) 1;R (0,1) E (0) (1) 1/2*2cos(0)2cos(2 0) 1/2*cos( / 2)2cos(2 /2) 2习题设Z(t) Xoswot XzSinwot是一随机过程,若X1和X2是彼此独立且具有 均值为0、方差为$的正态随机变量,试求:(1)EZ(t)、EZ(

21、t);7Z(t)的一维分布密度函数f(z);(3)解:B(t1,t2)和 R(t1 ,t2)。(1)EZ(t) EX1 cosw0t X2sin w0t cosWotEIXsinw0tEX2 0因为X1和X2是彼此独立的正态随机变量,Xl和X2是彼此互不相关,所以EX,X2 0EZ2(t)EX12cos2w0t X 22sin2 w0t cos2 w0tEX12 sin2w0tEX22又 EX10.D(XJEX12EX22EX!2同理EX22 22代入可得 EZ (t)2由 EZ(t)=0; EZ (t)又因为Z(t)是高斯分布2 fZ(t)可得 DZ(t) 2(2 exp(B(ti,t2)

22、R(tt2)EZ(t!)EZ(t2) R(bt2)X2sin w0t2)E(X1 cosw0t1 X2 sinw0t1)(X1 cosw0t22 2E(X1 cosw0t1 cosw0t2 X2 sin w)t| sinw0t2)Rz( ) EZ(t)Z(t ) EX(t)Y(t)X(t )Y(t )EX(t)X(t )EY(t)Y(t ) Rx( )Ry()习题若随机过程Z(t)m(t)cos( w0t),其中m(t)是宽平稳随机过程,且自相关函数1,1 0Rm( ) 1,0 1Km()为0,其它是服从均匀分布的随机变量,它与 m(t)彼此统计独立。(1)证明Z(t)是宽平稳的;(2)绘出自

23、相关函数Rz()的波形;(3)求功率谱密度Pz(w)及功率S。解:(1)Z(t)是宽平稳的 EZ(t)为常数;EZ(t) Em(t)cos( w0t2cos(w0t0)Em(t)Ecos(wt )d EZ(t) 0Rz(ti,t2) EZ(tJZ(t2)Em(t|)cos( w0t1)m(t2)cos( wt2 )Em(tjm(t2)Rm(t2 t1 )只与 t2 t1有关:令 t2 t1Ecos( w0t1)cos w0(t1)Ecos( w0t1)cos( w0t1)cos w0sin (w0t|)sin w0 cosw0 * Ecos (w0t1)sin w0* Ecos(w0t1)si

24、n( wt1 )Em(t1 )m(t2) Ecos( w0t1)cos( wt2 ) 0cosw0 *E-1 cos2(w0t|2所以RzM)fcos(w )* Rm()只与有关,证毕(2)波形略;12(1 )cos(w ), 10,其它可以对Rm()求两次导数,再利用付氏变换的性质求出w/2求 Pn(W)和 S;2/W、Sa(W)Pz (w) Rz ()习题已知噪声n(t)的自相关函数)解:1 1Rz( ) 2cos(wg )* Rm( ) 2(1 )cos(w。),0Rm()的付氏变换。),a为常数:功率 S: S rz (0) 1/ 2旦exp( a2Rm( ) ( 1) 2 ( ) (

25、 1) Pm(w) Sin(w/2)1 2 w w0 2 w w0Pz(w) 4Sa(丁)Sa(丁)而Rz()的波形为exp( a因为2a2wa2 aRn( ) exp(所以R(w)2a2 2w aaS R(0) 2习题(t)是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为 2S的周期函数。在区间(-1, 1)上,该自相关函数R( ) 1。试求(t)的功率谱密度P (w)。解:见第2.4题R() 12 WS孑(_)因为T(t 2n)所以(t) R( )* T(t)据付氏变换的性质可得P(w)Pr(w)F (w)(t 2n)(w n )P (w) FR(w) F (w) 故wsa2(-)* n2 w

26、n(Sa (丁)*(w n )习题将一个均值为、带宽为B的理想带通滤波器上,如图解:Sa(w0(w求滤波器输出噪声的自相关函数; 写出输出噪声的一维概率密度函数。),故又 H (w) G2B (w)*Wc) (W Wc)也 H(w)2G2B (w) BSa(B )2R(w) H(w) P(w)G2w0 (w)因为-00,功率谱密度为为no/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为(1)(1)(w wC) (wWc)1COS(Wc )由付氏变换的性质F-i (w)* F2(w)可得FO(w)r(n。 n。一 H (w) 一G2B2 2)n0BSa(B ) cos(wC )(W)* (W Wc)(W W

27、c)(2)E o(t)20 ; R(0) E 0 (t) Bn。; R()2E o(t) 0R(0) R( ) Bn又因为输出噪声分布为高斯分布f o(t)可得输出噪声分布函数为Bn。习题设有RC低通滤波器,求当输入均值为 输出过程的功率谱密度和自相关函数。解:H(w)0,功率谱密度为/2的白噪声时,1jwC 11 jwRCjwCPO(w)R(w)|H(w)|2(1)121 (wRC)exp( a因为2a2 2w aPo(w)所以n21(wRC)2 1Ro()no4RC eXP(RC)习题将均值为0,功率谱密度为no/2高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,(1) 求输出噪声的自相关函数;(2) 求输出噪声的方差。解:RH (w)R jwLPo(w) R(w) H (w)R2(1)2 n0 R n0 RiTRf ro( ) zexp( nr)noEn(t) 0 ;R(0)

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