学年吉林省八校联考高一下学期期中考试数学试题解析版.docx
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学年吉林省八校联考高一下学期期中考试数学试题解析版
2017-2018学年吉林省舒兰一中、吉化一中、九台一中、榆树实验中学等八校联考高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】试题分析：
【考点】诱导公式
2．已知扇形的面积是，弧长为，求这个扇形的圆心角（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析：
首先根据扇形的面积公式求出半径，再由弧长公式得出扇形的圆心角．
详解：
根据扇形的面积公式S=lr可得：
8=×8r，
解得r=2cm，
再根据弧长公式l=，
解得，
扇形的圆心角的弧度数是4，
故选：
A．
点睛：
本题考查弧度制的基本知识，弧长公式，扇形面积公式，属于基础题.
3．，是两个向量，，，且，则与的夹角为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分析：
由可得，利用夹角公式，可得，从而得出的夹角．
详解：
∵；
∴=；
∴；
又；
∴的夹角为．
故选：
．
点睛：
考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算以及向量夹角的范围，注意夹角的取值范围是．
4．内，使成立的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析：
由x在范围内，在平面直角坐标系中画出y=|sinx|和y=cosx的图象，根据图象可知x的取值范围．
详解：
在内，画出y=|sinx|及y=cosx的图象，
由函数的图象可知，满足题意的x的取值范围为[，]．
故选：
A．
点睛：
本题考查了正弦型函数的图象与性质，考查了余弦函数的图象与性质，考查了数形结合的思想方法.
5．中为其内角，设，，且，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析：
直接利用向量的共线的充要条件，列出方程，解出A值，代入即可.
详解：
=（，），=（，）且∥，
∴==，∴=1，∵a是锐角，
所以=90°，∴=45°．
.
故选：
B
点睛：
本题考查向量共线的充要条件的应用，三角函数的化简求值，属于基础题．
6．已知，则等于（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，故选C.
点睛：
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
7．设，，，则（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析：
利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．
详解：
sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，
而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，
则1＞cos＞cos＞0，
即0＜a＜b＜1，
tan＞tan=1，
即，
故选：
B．
点睛：
本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．
8．已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】分析：
利用二倍角公式与两角和正弦公式化简得，再结合图象变换知识得到函数的解析式.
详解：
∵函数，∴f（x）=sin2x+cos2x=
将f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来，纵坐标不变，可以得到y=的图象，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y==
故函数y=g（x）的解析式为
故选：
C．
点睛：
本题考查了三角函数的恒等变换及图象变换，要特别注意：
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再平移变换，平移的量是个单位．
9．已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】分析：
由函数为奇函数确定值，是边长为的等边三角形得到周期确定ω的值，同时也可以明确A值，从而得到的值.
详解：
∵f（x）=Acos（ωx+）为奇函数
∴f（0）=Acos=0
∵∴=
∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx
∵△EFG是边长为2的等边三角形，则=A
又∵函数的周期T=2FG=4，根据周期公式可得，ω=
∴f（x）=﹣Asinx=﹣
则f（3）=
故选：
C．
点睛：
解决函数综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化.
10．若均为单位向量，且，则的最小值为（）
A.B.1C.D.
【答案】A
【解析】
则当与同向时最大，最小，此时=，所以
=-1，所以的最小值为，
故选A
点睛：
本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.
11．已知函数图像上的一个最低点为，离最近的两个最高点分别为与，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】分析：
由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）﹣，结合图象可得A、B、C的坐标，可得向量的坐标，计算可得．
详解：
由三角函数公式化简可得f（x）=sinxcosx﹣sinxsinx
=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣
=sin（2x+）﹣，令2x+=可得x=，
可取一个最低点A（，﹣），
同理可得B（，），C（，），
∴=（﹣，2），=（，2），
∴•=﹣+4，
故选：
D．
点睛：
本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属于基础题．
12．定义在上的奇函数满足，且在上是减函数，，是锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】分析：
由定义在上的奇函数满足明确函数的对称性及周期性，明确函数在[0，1]的单调性，由1sinA＞cosB，得到结果.
详解：
由定义在上的奇函数满足，
可得，∴，∴
∴所以函数的周期为4，
因为f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，所以f（x）在[1，2]上为减函数，
又f（x）满足，即函数图象关于直线轴对称，
所以f（x）在[0，1]上为单调增函数．
因为在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，
所以A+B＞，
所以＞A＞﹣B＞0，
所以sinA＞sin（﹣B）=cosB，
因为f（x）在[0，1]上为单调增函数．
所以f（sinA）＞f（cosB），
故选：
A．
点睛：
比较大小最常见的解题方式为借助函数的单调性，在本题中要比较与的大小，想办法把两个自变量请到同一个单调区间上即可.
二、填空题
13．已知，，，若，实数__________．
【答案】
【解析】分析：
根据题意，由向量的坐标运算可得+k与2﹣的坐标，进而由向量平行的坐标公式可得（3+4k）×2=（﹣5）×（2+k），解可得k的值，即可得结果．
详解：
根据题意，三个向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1），
则+k=（3+4k，2+k），2﹣=（﹣5，2），
若（+k）∥（2﹣），则有（3+4k）×2=（﹣5）×（2+k），
解可得：
k=﹣；
故答案为：
﹣
点睛：
涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：
（1）若且，则存在实数，使成立；
（2）若，且，则.
14．已知，，，，则．
【答案】
【解析】试题分析：
因为，，所以，由，可得，，所以.
【考点】同角三角函数基本关系式和两角和与差的正弦公式.
【方法点晴】本题属于给条件求值问题，要从角、名、结构和范围四个角度寻找解题思路.从角分析就是如何用条件中的两个角表示出结论中的角，即；角一旦表示出来结构就非常明显了，就是求两角和的正弦值，这就需要求条件中两角的正弦和余弦值，用同角三角函数的基本关系式，结合范围求出的值，代入公式问题得解.
15．在中，是边上一点，且，是上的一点，若，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】分析：
根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，可得m的值．
详解：
如图：
∵，
∴，
则，
又∵B，P，N三点共线，
∴，
故得m=．
故答案为：
．
点睛：
点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：
直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底{OA,OB}的分析式为
反之，若则A，P，B三点共线
（特别地令t=,称为向量中点公式）
16．某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数在上单调递增，在上单调递减；
②点是函数图像的一个对称中心；
③存在常数，使对一切实数均成立；
④函数图像关于直线对称．其中正确的结论是__________．
【答案】③
【解析】分析：
利用函数的性质逐一判断一下命题的正确性.
详解：
对于①，f（x）=2x•cosx为奇函数，则函数f（x）在[﹣π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错；
对于②，由于f（0）=0，f（π）=﹣2π，说明两点并不关于点中心对称，所以②错；
对于③，|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以③对；
对于④，由f（0）=0，f（2π）=4π，说明两点并不关于直线对称，所以④错．
故答案为：
③．
点睛：
本题主要考查三角函数的对称性、单调性、以及函数的最值，通过给变量取特殊值，举反例来说明命题错误性，是一种简单有效的方法．
三、解答题
17．已知向量是同一平面内的三个向量，其中.
（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；
（Ⅱ）若，且，求与的夹角.
【答案】
（1），或;
（2）.
【解析】试题分析：
（1）设,则由条件可得,可得向量的坐标.
（2）由条件利用两个向量垂直的性质求得,可得与的夹角余弦值.
试题解析：
（1）设，由，且可得
所以或故，或
（2）因为，且，所以即，所以，
故,
18．已知．
（1）化简；
（2）若，且是第二象限角，求的值．
【答案】
（1）;
（2）.
【解析】试题分析：
（1）运用诱导公式,同角三角函数的基本关系式,即可化简;
（2）运用二倍角的正弦和余弦公式和两角和的余弦公式,即可得到.
试题解析：
（1）
（2）
又∵为第二象限角，∴，
，
∴
19．函数的一条对称轴为.
（1）求；
（2）在给定的坐标系中，用列表描点的方法画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间.
【答案】
（1）
（2）见解析
【解析】分析：
（1）依题意解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x﹣），从而可求的值；
（2）先求范围2x﹣∈[﹣，]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间．
详解：
（1）由题意：
一条对称轴为，
解得，
，
，
（2）因为，所以，
图像如图所示：
由图像可知在区间上的单调递减区间为，.
点睛：
函数的单调性，由求增区间;由求减区间.
20．在中，.
（1）求与的面积之比；
（2）若为中点，与交于点，且，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【解析】试题分析：
（1）根据可得，故是靠近的四等分点，所以面积比为；
（2）由于共线，对比系数可知.利用表示出，再根据这两个向量共线，可求得，结合可求出的值，进而求得的值.
试题解析：
（1）在中，，可得，
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