小学四年级奥数教程数的整除性二.docx
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小学四年级奥数教程数的整除性二
数的整除性
（二）
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：
一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：
奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2求下列各数除以11的余数：
（1）41873；
（2）296738185。
分析与解：
（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0……7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题
（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求
除以11的余数。
分析与解：
奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72……7，
11-7=4，所求余数是4。
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。
所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。
例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：
只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。
有3377，3773，7337，7733。
例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解：
最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。
为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除。
调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。
此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。
所求数为987652413。
例6六位数
能被99整除，求A和B。
分析与解：
由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。
因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。
又因为六位数能被11整除，所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化简得B-A＝4或A-B＝7。
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在
（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。
在
（2）中，上、下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9。
将B=9代入A＋B=14，得A＝5。
所以，A=5，B＝9。
练习6
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？
2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？
3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4．求下列各数除以11的余数：
（1）2485；
（2）63582；（3）987654321。
5．求
除以11的余数。
6．六位数
5A634B能被33整除，求A+B。
7．七位数
3A8629B是88的倍数，求A和B。
Class:
Name:
（ ）1.Goodmorning!
!
A.Morning!
B.Hello!
C.Hi!
（ ）2.Nicetoseeyouagain!
.
A.Howareyou?
B.Nicetoseeyou,too. C.Howdoyoudo?
（ ）3.Goodnight,mom!
A.Night!
B.Goodnight!
C.Goodevening.
（ ）4.Howdoyoudo?
A.Howareyou?
B.Fine,thanks. C.Howdoyoudo?
（ ）5.Howmanystorybooksdoyouhave?
A.Ihave10. B.Icansee10. C.Thirtyyuan.
（ ）6.Doyouhavenewteachers?
A.Yes,wedo. B.Yes,wedon’t. C.Yes,wehave.
（ ）7.Who’syourartteacher?
A.MrZhu. B.MissZhu. C.He’stall.
（ ）8.What’shelike?
A.He’stallandstrong. B.Yes,heis. C.MrZhu.
（ ）9.IsyourEnglishteacheryoung?
A.No,sheisn’t. B.Yes,sheis. C.No,sheis.
（ ）10. ?
HernameisChenJie.
A.What’syourname?
B.What’sshename?
C.What’shername?
（ ）11. ?
IlikeChinese,mathandEnglish.
A.Whatclassesdoyoulike?
B.Whatdoyoulike?
C.Whatareyoulike?
（ ）12. ?
WehaveEnglishandP.E.
A.WhatdoyouhaveonMondays?
B.Whatdoyouhave?
C.WhatdoyouhaveonMonday?
（ ）13. ?
It’sMonday.
A.Whatisittoday?
B.Whatdayisittoday?
C.Whatdayistoday?
（ ）14. ?
IwatchTVanddomyhomework.
A.Whatdoyoudo?
B.WhatdoyoudoinMondays?
C.WhatdoyoudoonSundays?
（ ）15.MayIhavealook?
A.Sure.Hereyouare. B.Look!
C.Hereyouare.
（ ）16.Ourmathteacheris Canada.
A.from B.in C.at
（ ）17.I threenewteachers.
A.has B.am C.have
（ ）18.What’s Chineseteacherlike?
A.you B.your C.you’re
（ ）19.MyP.E.teacheris thin.
A.too B.so C.very
（ ）20.Thereare daysinaweek.
A.six B.seven C.eight
（ ）21.Thereare month（月）inayear（年）.
A.ten B.eleven C.twelve
（ ）22.IoftenwatchTV Saturday.
A.on B.in C.at
（ ）23.IlikeP.E. Idon’tlimemusic.
A.but B.and C.so
（ ）24.Thisis apple. Itis redapple.
A.a,a B.an,an C.an,a
（ ）25.What doyoulike?
A.classes B.class C.class’s
六年级英语测试题
Class:
Name:
（ ）1.Howareyou?
A.Fine,thanks. B.Yes,itis. C.Howareyou?
（ ）2.Nicetomeetyou!
A.Fine,thankyou. B.OK. C.Nicetomeetyou,too!
（ ）3.Howdoyougotoschool?
A.IgotoCanadabyplane.B.Igotoschoolbybike. C.Whataboutyou?
（ ）4.HowdoyougototheUSA?
A.Iusuallygotoschoolbybus.B.IgotoEnglandbyship. C.Igobyplane.
（ ）5. ?
Myhomeisnearthepostoffice.
A.Whereisyourhome?
B.OK. C.Seeyouthen!
（ ）6.Seeyouat2o’clock.
A.Seeyouthen!
B.Thefifthfloor. C.It’seasy.
（ ）7. ?
YoucangobytheNo.15bus.
A.It’snotfar. B.HowcanIgettoZhongshanPark?
C.Sure.
（ ）8.Whereisthehospital?
A.Nexttothecinema. B.Thankyou. C.You’rewelcome.
（ ）9.Excuseme,isthereacinemanearhere?
A.Yes,thereis. B.No,it’snotfar. C.It’snearthepostoffice.
（ ）10.?
?
It’snearthepostoffice.
A.Yes,thereis. B.No,it’snotfar. C.Whereisthelibrary?
（ ）11. ?
It’snexttothehospital.
A.Whereisthecinema,please?
B.Isitfar?
C.Gostraight.
（ ）12.HowcanIgettothehospital?
A.It’snexttothehospital. B.YoucangobytheNo.201bus.C.Thankyou.
（ ）13.Thankyou.
A.Thankyou. B.OK. C.You’rewelcome.
（ ）14.HowcanIgettothemuseum?
A.Gostraight.Thenturnleft. B.Thankyou. C.It’seastofthecinema.
（ ）15.Whereisthepostoffice?
A.Gostraight.Thenturnleft. B.Thankyou. C.It’seastofthecinema.
（ ）16.Whatareyougoingtodothisevening?
A.I’mgoingtothecinema. B.Igotoschoolonfoot. C.Yes,itis.
（ ）17.Isitfar?
A.No,itis. B.Yes,itis. C.Yes,itisn’t.
（ ）18. doyougotoschool?
A.What B.Where C.How
（ ）19.Igotoschool bike.
A.on B.by C.get
（ ）20.CanIgo foot?
A.by B.at C.on
（ ）21.HowcanI tothepostoffice?
A.near B.get C.for
（ ）22. me.
A.Excuse B.How C.next
（ ）23. birthdaytoyou!
A.After B.Happy C.First
（ ）24.Thehospitalis theleft.
A.at B.in C.on
（ ）25. isthebookstore?
A.Where B.How C.When
四年级英语测试题
Class:
Name:
（ ）1.Goodafternoon!
A.Hello!
B.Hi!
C.Afternoon!
（ ）2.Nicetoseeyouagain!
A.Howareyou?
B.Hello!
C.Nicetoseeyou,too.
（ ）3.Goodnight,moom!
A.Goodevening!
B.Goodnight!
C.Night!
（ ）4.Howareyou?
A.Fine,thankyou. B.Iam10. C.Nine.
（ ）5.Howdoyoudo?
A.Fine,Thankyou. B.Howareyou?
C.Howdoyoudo?
（ ）6.Howoldareyou?
A.Howareyou?
B.Iam11. C.Ihave11.
（ ）7. ?
Ihave23.
A.Howmanybooksdoyouhave?
B.Howmanybookscanyousee?
C.Howmanybookdoyouhave?
（ ）8. ?
Icansee6.
A.Howmanylightsdoyouhave?
B.Howmanylightscanyousee?
C.Howmanylightcanyousee?
（ ）9.MayIhavealook?
A.Sure.Hereyouare. B.Look!
C.Sure.Hereareyou.
（ ）10. ?
50yuan.
A.Howmuchisthisschoolbag?
B.Howmanyisthisschoolbag?
C.Howmucharethisschoolbag?
（ ）11.Where’smyseat?
A.It’snearthedoor. B.It’sonthedoor. C.It’sunderthedoor.
（ ）12.Let’scleanthedesksandchairs.
A.Allright!
B.Hello!
C.It’snice.
（ ）13.What’sthis?
A.Thereisaboard. B.It’sabee. C.It’sbee.
（ ）14. ?
MynameisMike.
A.Hereareyou?
B.What’syourname?
C.Howdoyoudo?
（ ）15.Who’stheinventorofpaper?
A.Chinesepeople. B.Oh!
Great!
C.Hello!
（ ）16.I astudent.You ateacher.
A.am ,am B.are,are C.am,are
（ ）17.This aboy.Hisname ZhangPeng.
A.is,is B.am ,is C.is, are
（ ）18.Let cleanthefishbowl.
A.I B.me C.my
（ ）19.Thisis apple.Itis redapple.
A.an,an B.a, a C.an, a
（ ）20.We anewclassroom.
A.are B.have C.has
（ ）21.There abeeinourclassroom.
A.is B.are C.am
（ ）22. haveanewschoolbag. schoolbagisheavy.
A.I,my B.I,My C.My,I
（ ）23.PutyourEnglishbook yourhead.
A.at B.in C.on
（ ）24.There manybooksinthedesk.
A.am B.is C.are
（ ）25.Howmany
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