自动控制原理胡寿松第5版课后习题及答案完整.docx
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自动控制原理胡寿松第5版课后习题及答案完整
2—1设水位自动控制系统的原理方案如图1—18所示，其中Q1为水箱的进水流量，
Q2为水箱的用水流量，
H为水箱中实际水面高度。
假定水箱横截面积为F，希望水面高度为H0，与H0对应的水流量为Q0，试列出
水箱的微分方程。
解当Q1=Q2=Q0时，H=H0；当Q1≠Q2时，水面高度H将发生变化，其变化率与流量差Q1−Q2成
正比，此时有
Fd（H−H0）=（Q
−Q）−（Q
−Q）
dt1020
于是得水箱的微分方程为
FdH=Q−Q
dt12
2—2设机械系统如图2—57所示，其中xi为输入位移，x0为输出位移。
试分别列写各系统的微分方程式
及传递函数。
图2—57机械系统
解①图2—57（a）：
由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
f1（x&i−x&0）−f2x&0=m&x&0
整理得
2
mdx0+（f
+f）dx0=f
dxi
dt2
12dt
1dt
将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
1
[ms2+（f
+f2
）s]X
0（s）=
f1sXi
（s）
于是传递函数为
X0（s）=
Xi（s）
f1
ms+f1+f2
②图2—57（b）：
其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：
K1（xi−x）=
f（x&−x&0）
K2x0=
f（x&−x&0）
消去中间变量x，可得系统微分方程
f（K
+K）dx0+KKx
=Kf
dxi
12dt
120
1dt
对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为
X0（s）=
Xi（s）
fK1s
f（K1+K2）s+K1K2
③图2—57（c）：
以x0的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
K1（xi−x）+f（x&i−x&0）=K2x0
移项整理得系统微分方程
fdx0+（K
dt1
+K2
）x0=
fdxi
dt
+K1xi
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
xi（0）=x0（0）=0
则系统传递函数为
X0（s）=
Xi（s）
fs+K1
fs+（K1+K2）
2-3试证明图2-58（ａ）的电网络与（b）的机械系统有相同的数学模型。
图2-58电网络与机械系统
1
R1
1CsRR
解：
（a）：
利用运算阻抗法得：
Z
=R//
=1=1=1
11Cs
RCs+
Ts+
1R1
+1
C1s
11111
Z2=R2
+1
C2s
=1
C2s
（R2C2
s+1）=
1
C2s
（T2s+1）
U（s）Z
1
（T2s+1）
Cs
（Ts+1）（Ts+1）
所以：
0=2=2=12
Ui（s）
Z1+Z2
R1+
T1s+1
1
C2s
（T2s+1）
R1C2s+（T1s+1）（T2s+1）
（b）以K1和f1之间取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
K2（xi−x0）+f2（x&i−x&0）=
f1（x&0−x&）
（1）
K1x=
f1（x&0−x&）
（2）
所以K2（xi−x0）+f2（x&i−x&0）=K1x
对（3）式两边取微分得
K2（x&i−x&0）+f2（&x&i−&x&0）=K1x&
将（4）式代入
（1）式中得
（3）
（4）
K1K2（xi−x0）+K1f2（x&i−x&0）=K1f1x&0−f1K2（x&i−x&0）−f1f2（&x&i−&x&0）
整理上式得
f1f2&x&0+f1K2x&0+K1f1x&0+K1f2x&0+K1K2x0
=f1f2&x&i+f1K2x&i+K1f2x&i+K1K2xi
对上式去拉氏变换得
1
2
[ff
1
1
2
s2+（fK
2
+K1f1
+K1
0
f2）s+K1K2
]X（s）
1
2
=[f
fs2+（fK
+K1
f2）s+K1K2]X
i
（s）
所以：
X0（s）=
2
2
f1f2s
+（f1K2+K1f2）s+K1K2
f1f2
K1K2
=
s2+（f1
K
1
+f2）s+1
K2
Xi（s）
f1f2s
+（f1K2+K1f1+K1f2）s+K1K2
f1f2
K1K2
s2+
（f1
K
1
+f2）s+1+f1
K2K2
（f1
K
=1
s+1）（f2
K2
s+1）
（f1
K
1
s+1）（f2
K2
s+1）+f1
K2
所以图2-58（ａ）的电网络与（b）的机械系统有相同的数学模型。
2—4试分别列写图2-59中个无源网络的微分方程式。
解：
（a）:
列写电压平衡方程：
duCuC
ui−u0=uC
iC=C
dt
duC
uC
iR1=
R1
R
1
d（ui−u0）
ui−u0
u0=（iC+iR1）R2=C
+R2=C
+R2
整理得：
dt
R1dt
R1
CRdu0+CR2
0
+1u
=CR
dui
+CR2u
2dt
R1
2dti
（b）:
列写电压平衡方程：
duC1
ui−u0=uC1
（1）
iC1=C1
dt
（2）
iC2=
uC1+iC1RR
+iC1=
uC1
R
+2i
C1=C2
duC2
dt
=C2
d（u0−iC1R）
dt
（3）
即：
uC1
R
+2iC1=C2
d（u0−iC1R）
dt
2
（4）
将
（1）
（2）代入（4）得：
ui−u0+2C
d（ui−u0）=C
du0−CC
RduC1
R1dt
2dt
12dt2
uudu
dudu
d2u
d2u
即：
i−0+2C
i−2C
0=C
0−CC
Ri+CC
R0
RR
整理得：
1dt
1dt
2dt
12dt2
12dt2
2
CCRdu0C
Cdu0u0
CCRduiui
Cdui
12dt2
+（2+2
1）dt+R=12
2
dt2
++2
R
1dt
2-5设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x（t）曲线，指出各方程式的模态。
（1）
2x&（t）+x（t）=t;
解：
对上式两边去拉氏变换得：
（2s+1）X（s）=1/s2→X（s）=
1=1
s2（2s+1）s2
−1+
s
4
2s+1
运动模态e−0.5t
所以：
x（t）=t−2（1−e
−1t
2）
（２）&x&（t）+x&（t）+x（t）=™（t）。
解：
对上式两边去拉氏变换得：
（s2+s+1）X（s）=1→
X（s）=
1
（s2+s+1）
=1
（s+1/2）2+3/4
运动模态e
−t/2
t
3
sin
2
所以：
x（t）=
2e−t/2
3
t
3
sin
2
（3）&x&（t）+2x&（t）+x（t）=1（t）。
解：
对上式两边去拉氏变换得：
（s2+2s+1）X（s）=1→X（s）=
s
1=
s（s2+2s+1）
1
s（s+1）2
=1−
s
1+
s+1
1
（s+1）2
运动模态e−t（1+t）
所以：
x（t）=1−e−t−te−t
=1−e−t（1+t）
2-6在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程：
Q=KP
式中K为比例常数，P为阀门前后的压差。
若流量Q与压差P在其平衡点（Q0,P0）附近作微小变化，试导出线性化
方程。
解：
设正常工作点为A，这时Q0=KP0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y=f（x
）+df（x）
（x−x）
0dx
0
x0
即Q−Q0=K1（P−P0）
dQ
其中K1=
dP
=1K1
00
2
P=PP
2-7设弹簧特性由下式描述：
F=12.65y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。
若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。
解：
设正常工作点为A，这时F=12.65y1.1
00
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y=f（x
）+df（x）
（x−x）
0dx
0
x0
即F−F0=K1（y−y0）
dF
其中
0.1
0.1
K1=
=12.65⋅1.1y0
=13.915⋅1.1y0
dy
y=y0
2-8设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：
0
ed=Ed
cos〈
式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。
解：
设正常工作点为A，这时Ed
=Ed0cos〈0
在该点附近用泰勒级数展开近似为：
y=f（x
）+df（x）
（x−x）
0dx
0
x0
0
即ed−Ed
cos〈0=Ks（〈−〈0）
s
其中K=ded
d〈
=−Ed0sin〈0
〈=〈
2-9若某系统在阶跃输入r（t）=1（t）时，零初始条件下的输出响应c（t）=1−e−2t+e−t，试求系统的传递函数和脉冲响应。
解：
对输出响应取拉氏变换的：
C（s）=1−1
+1=
s2+4s+2
因为：
C（s）=√（s）R（s）=1√（s）
ss+2
s+1
s（s+1）（s+2）s
所以系统的传递函数为：
√（s）=
s2+4s+2（s+1）（s+2）
=1+
s
（s+1）（s+2）
=1−
1+
s+1
2
s+2
系统的脉冲响应为：
g（t）=™（t）−e−t+e−2t
2-10设系统传递函数为
C（s）
=
R（s）
2
s2+3s+2
且初始条件c（0）=-1,c&（0）＝０。
试求阶跃输入r（t）=1（t）时，系统的输出响应c（t）。
解：
由系统的传递函数得：
2
dc（t）+3dc（t）+2c（t）=2r（t）
（1）
dt2dt
对式
（1）取拉氏变换得：
s2C（s）−sc（0）−c&（0）+3sC（s）−3c（0）+2C（s）=2R（s）
将初始条件代入
（2）式得
（s2+3s+2）C（s）+s+3=21
s
（2）
即：
C（s）=
2−s2−3s
=
s（s2+3s+2）
2−2s+6
ss2+3s+2
=1−
s
4+
s+1
2
s+2
所以：
c（t）=2−4e−t+2e−2t
2-11在图2-60中，已知和两方框相对应的微分方程分别是
6dc（t）+10c（t）=20e（t）
dt
20db（t）+5b（t）=10c（t）
dt
且初始条件均为零，试求传递函数C（s）/R（s）及E（s）/R（s）
解：
系统结构图及微分方程得：
G（s）=
20
6s+10
H（s）=
10
20s+5
1020
E（s）1010
C（s）=
10G（s）
=6s+10
R（s）
==
1+G（s）H（s）
2010
R（s）
1+G（s）H（s）1+2010
1+
6s+1020s+5
6s+1020s+5
10（20s+5）（6s+10）
1200s2+1500s+500
0
=200（20s+5）
==200（20s+5）
==
（6s+10）（20s+5）+200
120s2+230s+250
（6s+10）（20s+5）+200
120s2+230s+250
2-12求图2-61所示有源网络的传递函数
1
解：
（a）Z0=R0//=
Cs
R1
C0s
1
=R0
Ts+1
T0=R0C0
R
00+
0
C0s
U0（s）=−R1
=−R1（Ts+1）
R
Ui（s）Z00
（b）Z0
=R0
0
0
//1=
Cs
R1
C0s
1
=R0
Ts+1
T0=R0C0
R
00+
0
C0s
11
Z=R+1
=T1s+1
T=RC
C1s
C1s
111
U0（s）=−Z1=−
1（Ts+1）（Ts+1）
U（s）Z
RCs10
i001
Z12
=R1
//（R2
+1
C2s
）=R1
//T2s+1
C2s
（c）
1
=
RT2s+1
C2s
=R1（T2s+1）
T2=R2C2
1
R+T2s+1
C2s
T2s+R1+1
U0（s）=−Z12
=−R1
T2s+1
Ui（s）R0
R0T2s+R1+1
2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数Uｃ（ｓ）／Ｕｒ（ｓ）。
图2-62控制系统模拟电路
解：
U1（s）
=−Z1
（1）
U2（s）=−Z2
（2）
U0（s）=−R2（3）
U0（s）+Ui（s）R0
U1（s）R0
U2（s）R0
式
（1）
（2）（3）左右两边分别相乘得
U0（s）
U0（s）+Ui（s）
=−Z1Z2
R0R0
R2即
R0
R
3
U0（s）+Ui（s）=−0
1+Ui（s）=−0
U0（s）
Z1Z2R2
U0（s）
Z1Z2R2
R
所以：
Ui（s）=−0−1
U0（s）
Z1Z2R2
R
3
R
+
0
R11
R
2
2
U0（s）=−1
=−Z1Z2R2
=−T1s+1C2s
U（s）R3
R3+ZZRR1
3
i0+1
Z1Z2R2
3
=−R1R2
0122
31RT1s+1C2s
（T1s+1）C2sR0
+R1R2
2-14试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数Ωm（s）/Ua（s）和Ωm（s）/Mc（s）
解：
由公式（2-2）、（2-3）、（2-4）取拉氏变换
Ua（s）−Ea（s）=I
Ls+Ra
（s）
Ea（s）=CeΩm
（s）
aa
CmIa（s）=Mm（s）
m
Mm（s）−Mc（s）=Ω
（s）
Jms+fm
得到系统结构图如下：
Mc
Ua（s）
1Ia（s）CmMm
1Ωm（s）
－Las+RaJms+fm
Ce
Ωm（s）=
Cm
Las+Ra
1
Jms+fm=Cm
Ua（s）
1+CeCm
Las+Ra
1
Jms+fm
（Las+Ra）（Jms+fm）+CeCm
Ωm（s）=
Mc（s）1+
1
Jms+fm
CeCm1
=Las+Ra
（Las+Ra）（Jms+fm）+CeCm
Las+Ra
Jms+fm
2-15某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。
已知电位器最大工作角度⎝
max
=330o，功率放大级放大系数为K3,要
求：
（1）分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；
（2）画出系统结构图；
（3）简化结构图，求系统传递函数⎝0（s）/⎝i（s）。
图2-63位置随动系统原理图
解：
（1）K=15V
01650
K=30=3
110
K=20=2
210
（2）⎝e（s）=⎝i（s）−⎝0（s）
Us（s）=K0⎝e（s）
Ua（s）=K1K2KsUs（s）
Ua（s）=RaIa（s）+LasIa（s）+Eb（s）
Mm（s）=CmIa（s）
00mc
Js2⎝（s）+fs⎝（s）=M（s）−M（s）
系统结构图如下：
Eb（s）=Kb⎝0（s）
m
Mc
θiθe
－
θ0
0KKK
KUs12sUa
－Eb
1
Las+Ra
M－1θ0
Js2+fs
C
m
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