第二学期海淀期末数学答案.docx
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第二学期海淀期末数学答案
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数学2020.6
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
C
C
A
B
C
C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
题号
11
12
13
14
15
答案
6
，
②③
注：
第12题答案不唯一，写出一个形如或（）的方程即可；第14题第一空3分，第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
（16）（本小题共14分）
解：
选择条件①，不存在正整数,使得.
解法1
理由如下：
在等差数列中，
又，.
所以由得
所以.
又因为，
所以数列为递增数列.即，都有.
所以不存在正整数,使得.
解法2
理由如下：
在等差数列中，
又，.
所以由得
所以.
令，即.
解得或.
因为，所以与均不符合要求.
所以不存在正整数,使得.
选择条件②，存在正整数,使得.
理由如下：
在等差数列中，
又，.
所以由得
所以.
令，即.
整理得.解得或.
因为，所以.
所以当时，.
（17）（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：
因为为中点，所以.
又因为，所以.
在梯形中，，
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面，且平面，
所以平面.
因为平面，平面平面，
所以.
（Ⅱ）解：
（解法1）因为平面，且平面，
所以，且.
因为四边形为平行四边形，，
所以.
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.
则，，，，.
设（），
所以，.
因为与所成角为，
所以==
=.
所以.
则，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则
即
令，则，所以.
所以.
所以直线与平面的所成角的正弦值为.
（Ⅱ）（解法2）
连结,
因为且，所以四边形为平行四边形.
所以.
因为与所成角为，所以与所成角为.
即.
因为平面，且平面，
所以.
又因为，所以平行四边形是矩形.
所以在等腰直角三角形中，.
因为平面，且平面，
所以，且.
又因为，
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系
则，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则
即
令，则，所以.
所以.
所以直线与平面的所成角的正弦值为.
（18）（本小题共14分）
解:
（Ⅰ）由图1可知，该地区居民中年龄在71~80岁的频率为.
由图2可知，样本中年龄在71~80岁居民家庭医生的签约率为70.0%，
因为该地区居民人数约为2000万，
所以该地区年龄在71~80岁，且已签约家庭医生的居民人数约为（万人）.
（Ⅱ）由题意，从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为.
设表示事件“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，其中第i个人已签约家庭医生”（），
则，（）.
设事件C为“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有1人已签约家庭医生”，
则.
所以.
所以这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为.
（Ⅲ）应着重提高年龄在31~50岁居民的签约率.
理由如下：
依题意，该地区年满18周岁居民签约率从提高到以上，需至少提升；
年龄在31~50岁居民人数在该地区的占比约为：
，占比大；
年龄在31~50岁居民的医生签约率较低，约为；
该地区年满18周岁居民的人数在该地区的占比约为：
；
所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从提升至，可将该地区年满18周岁居民签约率提升，大于.
（19）（本小题共15分）
解：
（Ⅰ）由题意，
解得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由题意，直线不与坐标轴垂直.
设直线的方程为：
（）.
由得.
设，因为，所以.
得.
即.
又因为，所以.
由得
所以点的坐标为.
所以.
所以.
（20）（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）
.
令得.
所以的单调递增区间为.
（Ⅱ）证明：
要证曲线在区间上有且只有一条斜率为的切线，
即证方程在区间上有且只有一个解.
令，得.
设，
则.
当时，令，得.
当变化时，的变化情况如下表：
极大值
所以在上单调增，在上单调减.
因为,所以当时，；
又，所以当时，有且只有一个零点.
所以当时，有且只有一个零点.
即方程，有且只有一个解.
所以曲线在区间上有且只有一条斜率为的切线.
（21）（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）①由题知，进而有
，
，
所以.
所以两点相关；
②由题知，进而有
，
，
所以，
所以两点不相关.
（Ⅱ）（ⅰ）设的相关点为，，,
由题意，，.
因为点相关，则.
所以.
所以.
当时,,则相关点的个数共3个;
当时,则相关点的个数共个;
当时,，则相关点的个数共个.
所以满足条件点B共有（个）.
（ⅱ）集合中元素个数的最大值为.
符合题意
下证：
集合中元素个数不超过.
设，若点相关，则
.
则.
所以.
设集合中共有个元素，分别为，，，
不妨设，而且满足当，.
下证：
.
若，.
若，则必有.
记，，，，
显然，数列至多连续3项为0，必有，
假设，
则.
而,
因此，必有或.
可得，不可能同时为0，则.
所以.
必有，.
所以，，.
因此，，.
若，则，矛盾.
同理，，矛盾.
因此，假设不成立.
所以.
所以集合中元素个数的最大值为.
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