近世代数证明题.docx
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近世代数证明题
证明题
1、设G是群，a∈G，令CG（a）={x|x∈G，xa=ax}，证明：
CG（a）≤G
2、设G~fG，H≤G，H={x|x∈G，f（x）∈H}。
证明：
H/Kerf≌H.
3、证明：
模m的剩余类环Zm的每一个理想都是主理想。
ab
4、设R=，a，b，c∈Z
oc
（1）验证R是矩阵环Z2×2的一个子环。
（2）证明I是R的一个理想。
5、设G是群，u是G的一个固定元，定义“o”：
aob=au2b（a，b∈G），证明（G，o）构成一个群.
6、设R为主理想整环，I是R的一个理想，证明R/I是域I是由R的一个素元生成的主理想.
7、证明：
模m的剩余类环Zm的每个子环都是理想.
8、设G是群，H≤G。
令NG（H）={x|x∈G，xH=Hx}.CG（H）={x|x∈G，h∈H，hx=xh}.证明：
（1）NG（H）≤G
（2）CG（H）△NG（H）
9、证明数域F={a＋b7|a，b∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.
10、设R是主理想环，I=（a）是R的极大理想，ε是R的单位，证明：
εa是R的一个素元.
11、设G与G是两个群，G~fG，K=Kerf，H≤G，令H={x|x∈G，f（x）∈
H}，证明：
H≤G且H/K≌H.
12、在多项式环Z[x]中，证明：
（1）（3，x）={3a0＋a1x＋⋯＋anxn|ai∈Z}.
（2）Z[x]/（3，x）含3个元素.
13、设H是群G的子群,令NG（H）={x|xG,xH=Hx},证明NG（H）是G的子群．
14、在整数环Z中,a,bZ,证明（a,b）是Z的极大理想的充要条件是a,b的最大公因数是一个素数。
15、设R=
ab
0c
a,b,cZ
02x
00
xZ
（1）验证R对矩阵的加法和乘法构成环。
（2）证明I是R的一个理想。
16、设G是群，令C={x|xG,yG,xy=yx},证明C是G的正规子群。
17、在整数环Z中,p,q是不同的素数,证明（p）（q）=（pq）,（p,q）=Z。
18、若Q是有理数域,证明（x）是Q[x]的极大理想。
19、设G=（a）是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。
20、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群，
且GT除单位元之外不含有限阶元素。
21、设Rmm,nZ,（n,p）1.p是质数证明（R,+,）是整环（+,是数的加
n
法与乘法）．
22、取定群G的元u,在G中定义新的“o”：
aob=1证明（Ｇ，o）是群．
23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。
证明
a1ooNb1ooa1,b1,c1R是A的一个左理想。
c1oo
24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。
25、证明循环群的子群也是循环群。
26、证明（3，x）是Z[x]的一个极大理想。
27、I是一个整环，a,bI,（a），（b），是两个主理想，证明（a）＝（b）的充要条件是
a与b相伴。
28、设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。
29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程x2e的解，证明G是一个交
换群
30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明GN也是一个循环群.
31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。
32、设I是一个主理想环,a,bI,d是a是与b的一个最大公因子,证明（a,b）=（d）。
33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。
34、在整数环Z中,证明Z∕（p）是域p为质数（素数）。
35、在多项式环Z[X]中,证明（5,X）不是主理想。
36、证明群G为交换群f:
xx1（xG）为G到G的一个同构映射。
37、设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想，证明R是域。
38、证明阶是素数的群一定是循环群。
39、证明在高斯整数环Z[i]={a+bia,bZ,i2=-1}中，3是一个素元。
40、设Z是整数环,x是Z上的未定元,证明Z[x]的生成理想。
（3,x）={3a0a1xanx|aiZ,0nZ},并且剩余类环Z[x]（3,x）={[0]，[1]，[2]}。
41、证明（5,x）不是Z[x]的主理想。
42、设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明GaZ10。
43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。
44、设F22是有理数域上的二阶方阵环，证明F22只有零理想和单位理想，但F22不是一个除环。
45、设G是群，f：
G→G，aa2,（aG）证明f是群G的自同态G是交换群。
46、设G={（a,b）|a,b|R,a0}，在G上定义“”：
（a,b）（c,d）（ac,adb）证明（G，）构成一个群。
47、设G是有限交换群，f：
GG,f（g）=gk（gG）证明fAut（G）（k,|G|）=1。
48、设G是100阶的有限交换群，f:
GG,f（g）=g49（gG）,证明fAut（G）。
49、设AG,BG如果存在a,bG,使得Aa=Bb,则A=B。
50、设G是交换群，m是固定的整数，令H={a|aG,am=e}，证明HG。
51、设HG,令CG（H）={g|gG,hH,gh=hg}，证明CG（H）G。
52、设G是非空有限集合，“”是G的一个二元运算，“”适合结合律及左、右消去律，证明：
（G,）构成一个群，当G是无限集时呢？
53、设G是2000阶的交换群，HG,|H|=200，证明：
GH是一个循环群。
54、证明：
无限循环群的生成元的个数只有两个。
反之，一个循环群G的生成元只有两
个，则G是否一定同构于Z？
55、设G是一个循环群，|G|3,4,G的生成元的个数为2，证明GZ。
56、设G是有限群，HG,aG,证明存在最小正整数m,使amH,且m|a。
57、设G是奇阶群，则对任意gG,存在唯一元xG,使g=x2。
58、证明：
整数加群Z与偶数加群2Z同构。
59、设HG,g是G的一个固定元素，gHg-1={ghg-1|hH}
（1）证明:
gHg-1G。
（2）证明:
HgHg1。
a2b
60、设G=ab2|a,bQ,H|a,bQ，G对复数的加法构成群，H对矩阵ba
的加法也构成群，证明：
GH。
61、设H是群G的非空子集,且H中元的阶都有限，证明：
HGH2H。
62、设NG,|G/N|=10,gG,|g|=12,证明:
g2N。
63、设G是群，a,bG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,∩={e}.证明：
|ab|=[m,n]
（[m,n]是m,n的最小公倍数）。
64、设是一个n次置换，集合X={1,2,3,⋯,n}，在X中，规定关系“~”为k~lrZ,使r（k）=l.证明：
“~”是X上的一个等价关系。
65、设K={
（1）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）}证明：
KS4。
66、设G是群，HG,规定关系“~”
a~bab1H,a,bG证明：
~是G的一个等价关系，且a所在的等价类[a]=Ha。
67、证明：
15阶群至多含有一个5阶子群
68、设HG,若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明HG。
69、设NG,[G:
N]=2004,证明：
对xG,恒有x2004N。
70、设NG,[G:
N]=4,证明：
存在MG,且[G:
M]=2。
71、设H，NG,HNe,aH,bN,|a|2,|b|3证明：
|ab|=6。
72、设HG,证明：
HGa,bG,如果由abHbaH。
73、设k|m,
Zk。
74、群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得eBN,证明：
整数加群Z没有极小子群。
G
75、如果C（G）是循环群，证明：
G是交换群（其中C（G）是群G的中心）。
76、证明：
6阶交换群是循环群。
举例说明6阶群不一定是循环群。
77、证明：
在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。
2
78、设R为环，如果每个元素aR都满足a2=a，证明R为交换环。
79、环R中元素a称作幂零的，是指存在正整数m，使得am=0，证明：
当R为交换环时，两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。
80、设R和R都是含单位元的环，1R0R，f是R到R的满同态，证明：
（1）f（1R）=1R；
（2）如果a是R的单位，则f（a）是R的单位。
81、设A00|x,yR证明：
A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。
xy
82、证明：
一个具有素数个元素的环是交换环。
83、设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：
如果ab=1R则ba=1R
84、设R是交换环，X是R的非空子集，令Ann（X）r|rR,rx0,xX证明：
Ann（X）是R的理想。
85、设R是环，I，J是R的两个理想，令I:
JxR|xJ,JxI，证明：
[I:
J]是R
的理想。
86、设Z2ab2|a,bZ,I
（2）证明：
Z[2]I是域。
87、设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：
如果R的每个不在I中的元素都可逆，则I是R的唯一的极大理想。
88、在Z[x]中，证明（7,x）不是Z[x]的一个主理想。
89、设I和J是环R的理想,且满足I+J=R，I∩J={0}证明：
RIJ。
90、证明：
整环R的元素之间的相伴关系是一个等价关系。
91、在整环Z[3]ab3|a,bZ中,证明43是素元。
92、设f:
RR为环的同态。
如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态是指g:
RR,x0,xR）。
93、设f:
RS是环的满同态。
K=Kerf，P是R的素理想，且PK,则f（P）是S的素理想。
1
94、设f:
RS是环的满同态，Q是S的素理想，证明：
f（Q）a|aR,f（a）Q是R的素理想。
95、设D为整环，m和n为互素的正整数，a,bD如果am=bm,an=bn求证a=b。
96、证明：
Z[x]不是主理想整环。
97、设R为交换环，R2=R,则R的每个极大理想都是素理想。
2R[x]2C
98、设R[x]是实数域R上的一元多项式环，取x2+1R[x]证明：
（x1），C为
复数域。
99、设R是一个主理想整环，p,qR都是素元，且p与q不相伴，证明（p,q）=R。
100、设S是环R的子环，I是R的理想，且IS，证明：
（1）SI是RI的子环。
（2）若S是R的理想，则SI是RI的理想。
101、设f是环R到环R的满同态，A为R的理想，证明：
f（A）RAKerfR
102、设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：
f（N）GNKerfG
103、设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：
I是R的一个极大理想。
104、设f是环R的满自同态，R只有有限个理想，证明f是R的一个自同构。
105、设H，KG,则对任意a,bG,则HaKb=或HaKb是HK的一个右陪集，该结果能否推广？
106.方程在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.
107.设
证明关于矩阵的乘法构成群.
108.设是群.证明:
如果对任意的,有,则是交换群.
109.证明:
在群中,如果,则.
110.设为加群.证明:
任给,,有.
111.证明:
一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。
112.设群的子群在中的指数为2.证明:
.
113.设为群,是的子群.证明:
中每个元素属于且属于的一个左陪集
114.设是群,是的子群,.则
是的子群.
115.设是群,是的非空子集.证明:
中与中每个元素都可交换的元素全体
是的子群.
116.设.证明:
是的子群.
117.设是交换群.是一个固定的正整数.令
.
证明:
与都是的子群.
118.设为群..证明:
与有相同的阶.
119.设为群..证明:
（1）与有相同的阶.
（2）,,有相同的阶.
120.设为群,,的阶为,,.证明:
.
121.证明:
循环群是交换群.
122.证明:
有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.
123.证明:
任意偶数阶群必含有阶为2的元素.
124.设为素数.证明:
中每一个非零元都是生成元.
125.设为到的同构映射,.证明:
与有相同的阶.
126.证明:
127.设是群,证明:
的中心
是的正规子群.
128.设是群,,,证明:
.
129.设是群,和分别是的子群和正规子群.证明:
（1）是的正规子群;
（2）是的子群.
130.设为的中心.证明:
如果是循环群,则是交换群.
131.设为群,对任意的,称
为的换位子,的所有换位子生成的子群叫做的换位子群,记作.证明:
（1）是的正规子群;
（2）商群是交换群;
（3）若,且为交换群,则是的子群.
注:
是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.
132.设与为群,为到的同态映射..证明:
当且
仅当对任意的,有.
133.设与
为群,为到的同态映射.,.证明:
134.设为到的同态映射,.为的子群.证明:
135.设与分别为阶与阶循环群.证明:
当且仅当.
136.设都是群的正规子群.证明:
137.设群在集合上的作用是传递的.证明：
如果是的正规子群，则在的作用下的每个轨道有同样多的元素.
138.设群作用在集合上，.证明：
如果存在,使得,则.
139.证明集合
关于通常的加法与乘法构成一个整环.并求出的所有单位.
140.证明集合
关于通常数的加法与乘法构成域.
141.证明:
由所有形如
的矩阵组成的集合关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环,试确定这个环的所有零因子.
145.证明:
一个具有素数个元素的环是交换环.
146.设是环.是的单位元.证明:
对任意的,.
147.设是环.证明:
对任意的,有
（1）;
（2）.
148.设是有单位元的环（）,且是无零因子环..证明:
如果
149.设为大于1的正整数.令
证明:
关于剩余类的乘法构成一个交换群.
150.设为加群,定义的乘法为
证明为环,并求出的所有子环与理想.
151.设集合
证明为的子环.
152.设是交换环,是的非空子集.令
证明:
是的理想.
153.设是无零因子环,是的子环.证明:
当有单位元时,的单位元就是的单位元.
154.设是有单位元的交换环,.证明:
是的单位当且仅当.
155.2.设为的子环,是的理想,且.证明:
（1）是的子环;
（2）如是的理想,则是的理想.
156.设:
为环同态.证明
（1）如果是的理想,则是的理想.
（2）如果是的理想,且满,则是的理想.
157.设和为的理想,且满足,.证明:
.
158.设:
为环的满同态,和分别是和的理想.证明:
如果,且,则有环同构
159.证明:
是欧几里德环.
160.设是个正整数.证明是一个域.
161.设是素特征的域.证明:
对中任意元和,有
162.设是阶的有限域,将看成上的线性空间.对任意的,定义
上的变换如下:
验证:
是线性空间的线性变换.
163.设a和b是一个群G的两个元且abba，又设a的阶am，b的阶bn，并且（m,n）1，证明：
ab的阶abmn。
164.设R为实数集，a,bR,a0，令f（a,b）:
RR,xaxb,xR，将R的所有这样的变换构成一个集合Gf（a,b）a,bR,a0，试证明：
对于变换普通的乘法，G作成一个群。
165.设I1和I2为环R的两个理想，试证I1I2和I1I2abaI1,bI2都是R的理想。
166.设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：
R中的非零元不是可逆元就是零因子。
167.设G是一个群，a∈G证明：
a与a-1的阶相同.
168.设G=Mn（Q）={有理数域上所有n阶可逆矩阵}，H={A|A∈G,|A|=1}证明：
H是G的不变子群．
169.证明：
一个域是一个欧氏环．
170.F{所有实数ab3，（a,b是有理数）}。
证明，F对于普通加法和乘法来说是一个域。
171.设群G与群G同态，N是G的一个不变子群，N是N的逆象，证明GNGN
172.R是由所有复数abi（a,bZ）所作成的环，证明R1i是一个域。
2
173.证明：
设G是群，如果对任意的xG，有x2e，则G是交换群。
174.证明：
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
175.设H{abicjdk|a,b,c,dR}是四元数体，对H中任意元
xabicjdk，
定义其共轭
xabicjdk。
证明：
xxxx是一个非负实数；
176.
设是集合A到B的一个映射，对于
a,b
A，规定关系
a~b
（a）
（b）．
证明：
“~”是A的一个等价关系．
177.
在复数集C中规定关系“~”：
a~b
|a|
|b|．
证明：
“~”是C的一个等价关系．
178.在n阶矩阵的集合Mn（F）中规定关系“~”：
A~B|A||B|．
证明：
“~”是Mn（F）的一个等价关系．
179.设“~”是集合A的一个关系，且满足：
（1）对任意aA，有a~a；
（2）对任意a,b,cA，若a~b,a~c,就有b~c．
证明：
“~”是A的一个等价关系．
180.设G是一个群，在G中规定关系“~”：
a~b存在于gG，使得bg1ag．
证明：
“~”是G的一个等价关系．
181.令GAA为n阶正交矩阵．证明，G对于矩阵的普通乘法作在一个群．
182.设G是整数集，规定运算：
abab4,a,bG．
证明：
G对运算作成一个群．
182.证明：
若群G的每个元素都满足方程x2e，则G是一个Abel群（交换群）
183.设G是一个群，证明：
G是交换群的充分必要条件是，对任意a,bG，都有（ab）2a2b2．
184.证明：
在群G中，a1与a有相同的阶．
185.证明：
在群G中，ab与ba有相同的阶．
186.证明：
在群G中，a与bab1有相同的阶．
187.设G是一个群，aG．若a的阶是正整数n．证明：
对
m
mZ,aen|m．
188.设G是一个交换群，m是固定的正整数．令
H{aG|ame}．
证明：
H是G的一个子群．
189.设H1,H2是群G的子群．证明：
H1H2也是G的一个子群．
190.设G是一个群，令
C{aG|axxa,xG}．
证明：
C是G的一个子群．
191.设G是一个群，S是G的一个非空子集．令
C（S）{aG|axxa,xS}．
证明：
C（S）是G的一个子群．
192.若群G的阶是素数p，则G是一个循环群，试证之．
193.证明：
循环群的子群也是循环群．
194.若群G与群G同态，且G是循环群，证明：
G也是循环群．
195.证明：
阶为pm的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群．
196.设H，K是群G的不变子群，证明：
HK也是G的不变子群
197.设H，K是群G的不变子群，且HK{e}．证明：
hH,kK，都有hkkh．
198.设H，K是群G的不变子群，证明：
HK也是G的不变子群。
199.设H是群G的子群，N是G的不变子群。
证明：
HN是G的子群．
200.设G是一个n阶有限群．证明：
G的每一个元素都满足方程xne．
201.设G是一个群，C{aG|axxa,
xG}是G的中心，证明：
C是G的一个
不变子群．
202.设C是群G的中心，即
C{aG|axxa,xG}．
且商群GC是循环群．证明：
G交换群．
203.若G是循环群，H是G的一个子群．证明：
GH也是循环群
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