近世代数证明题.docx

1、近世代数证明题证明题1、设 G是群， a G ，令 CG（a）= x|xG ，xa = ax ，证明： CG（a） G2、设 G f G，H G，H = x | x G ，f（x） H 。证明： H/ Kerf H .3、证明：模 m的剩余类环 Zm的每一个理想都是主理想。ab4、设 R = ， a， b， c Zoc（1）验证 R 是矩阵环 Z22 的一个子环。（ 2）证明 I 是 R 的一个理想。5、设 G是群，u是 G的一个固定元，定义“ o”：aob = a u 2 b （a，bG），证明 （G， o）构成一个群 .6、设 R为主理想整环， I 是 R的一个理想，证明 R/ I 是域

2、I 是由 R的一个素元生成 的主理想 .7、证明：模 m的剩余类环 Zm的每个子环都是理想 .8、设 G是群， HG。令 NG（H） = x | xG，xH= Hx. CG（H）= x | xG， h H，hx = xh . 证明：（1）NG（H） G （2）CG（H） NG（H）9、证明数域 F = ab 7 |a，bQ的自同构群是一个 2阶循环群 .10、设 R是主理想环， I = （a）是 R的极大理想，是 R的单位，证明： a 是 R的 一个素元.11、设 G与G 是两个群， G f G ，K= Kerf ，H G ，令 H= x | xG ，f （x） H ，证明： H G 且 H/

3、K H .12、在多项式环 Zx 中，证明：（1）（3，x）= 3a 0a1xanxn|ai Z.（2）Z x/（3 ，x）含 3 个元素.13、设 H是群 G的子群, 令 NG（ H）= x|x G, xH=Hx, 证明 NG（H）是 G的子群14、在整数环 Z 中, a, b Z,证明（ a, b ）是 Z 的极大理想的充要条件是 a, b 的最大公 因数是一个素数。15、设 R=ab0ca,b,c Z0 2x00xZ(1) 验证 R 对矩阵的加法和乘法构成环。(2) 证明 I 是 R 的一个理想。16、设G是群，令 C=x|x G, y G, xy=yx, 证明C是G的正规子群。17、在

4、整数环 Z中, p, q是不同的素数 ,证明 (p) (q)=( pq), ( p, q)=Z。18、若 Q是有理数域 ,证明(x)是 Q x的极大理想。19、设 G=(a) 是一无限循环群，证明 G的生成元只有两个。20、设 G是交换群，证明 G中一切有限阶元素组成的集合 T是 G的一个子群，且 GT 除单位元之外不含有限阶元素。21、设 R m m,n Z,(n, p) 1.p是质数 证明( R,+, ) 是整环(+, 是数的加n法与乘法)22、取定群 G的元 u, 在 G中定义新的“ o” ：aob= 1 证明( ，o)是群23、设 A 是实数域 R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成

5、的环。证明a1 o o N b1 o o a1 , b1, c1 R 是 A的一个左理想。c1 o o24、证明一个主理想环 I 的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。25、证明循环群的子群也是循环群。26、证明( 3，x)是 Zx 的一个极大理想。27、I 是一个整环， a, b I , (a)，(b)，是两个主理想，证明( a)( b)的充要条件 是a与 b相伴。28、设p是一个素数，证明 2p阶群 G中一定有一个 p阶子群 N。29、若 G是一个群,e是 G的单位元, G中任何元都是方程 x2 e的解，证明 G是一个交换群30、若 G是一个循环群 ,N 是 G的一个子群 , 证明 GN

6、 也是一个循环群 .31、证明环 R的两个理想的交集仍是 R 的一个理想。32、设 I 是一个主理想环 ,a, b I , d是 a是与 b的一个最大公因子 , 证明(a, b)=( d)。33、设 G是一个 43阶的有限群 , 证明 G的子群只有单位元群及 G本身。34、在整数环 Z中,证明 Z( p)是域 p 为质数(素数)。35、在多项式环 Z X中,证明(5, X)不是主理想。36、证明群 G为交换群 f : x x 1(x G)为 G到 G的一个同构映射。37、设 R 是一有单位元的交换环，且 R 只有平凡理想，证明 R 是域。38、证明阶是素数的群一定是循环群。39、证明在高斯整数

7、环 Z i = a+bi a,b Z, i 2=-1 中，3 是一个素元。40、设 Z是整数环 , x 是 Z上的未定元 , 证明 Z x 的生成理想。(3, x)= 3a0 a1x anx|ai Z,0 n Z , 并且剩余类环 Z x (3, x) =0 ，1 ，2 。41、 证明 (5,x) 不是 Zx 的主理想。42、设 G是一个 1000阶的交换群， a是 G的一个 100阶元，证明 G a Z10。43、证明整数环 Z 到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。44、设 F22 是有理数域上的二阶方阵环，证明 F22只有零理想和单位理想，但 F22不是一 个除环。45、设 G是群，

8、f：GG，a a2,( a G)证明 f 是群 G的自同态 G是交换群。46、设 G=(a, b)| a, b |R, a 0，在 G上定义“ ”：(a, b) (c,d) (ac,ad b) 证 明( G， )构成一个群。47、设 G是有限交换群， f：G G,f(g)=g k( g G)证明 f Aut(G) (k,|G|)=1 。48、设 G是 100阶的有限交换群， f: G G, f(g)=g 49( g G),证明 f Aut(G) 。49、设 A G,B G如果存在 a, b G,使得 Aa=Bb, 则 A=B。50、设 G是交换群， m是固定的整数，令 H=a|a G, a m

9、=e，证明 H G。51、设 H G,令 CG(H)= g|g G, h H,gh=hg，证明 CG(H) G。52、设 G 是非空有限集合，“ ”是 G的一个二元运算，“ ”适合结合律及左、右消去 律，证明： (G, ) 构成一个群，当 G是无限集时呢？53、设 G是 2000阶的交换群， H G,|H| =200，证明： GH 是一个循环群。54、证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群 G的生成元只有两个，则 G是否一定同构于 Z ？55、设 G是一个循环群， |G| 3,4, G的生成元的个数为 2，证明 G Z。56、设 G是有限群， H G, a G,证明存在最小正

10、整数 m,使 am H,且 m| a 。57、设 G是奇阶群，则对任意 g G, 存在唯一元 x G, 使 g=x2。58、证明：整数加群 Z 与偶数加群 2Z 同构。59、设 H G, g 是 G的一个固定元素， gHg-1=ghg-1| h H(1)证明 : gHg-1 G。( 2)证明 : H gHg 1。a 2b60、设 G=a b 2|a,b Q ,H |a,b Q ，G对复数的加法构成群， H对矩阵 ba的加法也构成群，证明： G H。61、设 H 是群 G的非空子集 , 且 H 中元的阶都有限，证明：H G H 2 H 。62、设 N G, |G/N| =10, g G, |g|

11、=12, 证明: g 2 N。63、设 G是群， a, b G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, =e. 证明： |ab|=m, n(m, n 是 m, n 的最小公倍数 ) 。64、设 是一个 n 次置换，集合 X=1, 2, 3, , n，在 X 中，规定关系“ ”为 kl r Z, 使 r (k)=l. 证明：“ ”是 X上的一个等价关系。65、设 K=(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) 证明： K S4。66、设 G是群， H G, 规定关系“ ”a b ab 1 H, a,b G 证明：是 G的一个等价关系，且 a所在的等价类 a =Ha。67

12、、证明： 15阶群至多含有一个 5阶子群68、设 H G, 若 H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明 H G。69、设 N G, G:N=2004, 证明：对 x G, 恒有 x2004 N 。70、设 N G, G:N=4, 证明：存在 M G,且 G:M=2 。71、设 H，N G, H N e,a H,b N,|a| 2,|b| 3 证明： | ab|=6 。72、设 H G, 证明：H G a,b G,如果由 ab H ba H 。73、设 k|m,Zk。74、群 G的非平凡子群 N称为 G的极小子群，如果不存在子群 B使得 e B N , 证明： 整数加群 Z 没有极小子群。

13、G75、如果 C(G)是循环群，证明： G是交换群(其中 C(G)是群 G的中心)。76、证明： 6阶交换群是循环群。举例说明 6阶群不一定是循环群。77、证明：在一个有单位元的环 R 中，全体可逆元组成的集合对 R 的乘法构成一个群。278、设 R为环，如果每个元素 a R都满足 a2=a，证明 R 为交换环。79、环 R中元素 a称作幂零的，是指存在正整数 m，使得 am=0，证明：当 R为交换环时， 两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。80、设 R和 R都是含单位元的环， 1R 0R， f 是 R到R的满同态，证明：(1)f(1 R)= 1R ；(2)如果 a 是 R的单位，

14、则 f (a) 是R的单位。81、设 A 0 0 |x, y R 证明： A 是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。xy82、证明：一个具有素数个元素的环是交换环。83、设 R 是一个有单位元 1R的无零因子环，证明：如果 ab=1R则 ba=1R84、设 R是交换环，X是 R的非空子集，令 Ann(X) r |r R,rx 0, x X 证明：Ann(X) 是 R 的理想。85、设 R是环，I ， J 是 R的两个理想，令 I :J x R|xJ,Jx I ，证明： I:J 是 R的理想。86、设 Z 2 a b 2|a,b Z ,I ( 2)证明： Z 2I 是域。87、设R是有单位

15、元的交换环， I 是R的真理想，证明：如果 R的每个不在 I 中的元素 都可逆，则 I 是 R的唯一的极大理想。88、在 Zx 中，证明(7, x)不是 Zx 的一个主理想。89、设 I 和J是环 R的理想, 且满足 I+J=R，I J=0证明： RI J。90、证明：整环 R 的元素之间的相伴关系是一个等价关系。91、在整环 Z 3 a b 3|a,b Z 中, 证明 4 3是素元。92、设 f: R R为环的同态。如果 R 是除环，求证 f 是零同态或 f 是单同态(零同态 是指 g: R R, x 0,x R)。93、设 f :R S是环的满同态。 K=Kerf，P是 R的素理想，且 P

16、 K,则f (P)是S的素理 想。194、设f: R S是环的满同态， Q是S的素理想，证明： f (Q) a|a R,f(a) Q 是 R的素理想。95、设D为整环， m和n为互素的正整数， a, b D如果 am=bm, a n=bn求证 a=b。96、证明： Zx 不是主理想整环。97、设 R 为交换环， R2=R, 则 R的每个极大理想都是素理想。2 Rx 2 C98、设 Rx 是实数域 R上的一元多项式环，取 x2+1 Rx 证明： (x 1) ，C为复数域。99、设 R是一个主理想整环， p, q R都是素元，且 p与 q不相伴， 证明(p, q)=R 。100、设 S是环 R的子

17、环， I 是 R的理想，且 I S，证明：(1)SI 是RI 的子环。(2)若 S是R的理想，则 SI 是RI 的理想。101、设 f 是环 R到环 R 的满同态， A为R的理想，证明： f (A) R A Kerf R102、设 f 是群 G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明： f (N) G N Kerf G103、设 R 是欧氏环， I 是 R的一个素理想，证明： I 是 R 的一个极大理想。104、设 f 是环 R的满自同态， R只有有限个理想，证明 f 是 R的一个自同构。105、设 H，K G,则对任意 a, b G,则 Ha Kb= 或 Ha Kb是H K的一个右陪集， 该结

18、果能否推广？106.方程 在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群 .107.设证明 关于矩阵的乘法构成群 .108.设 是群 . 证明: 如果对任意的 , 有 , 则 是交换群 .109.证明 : 在群 中, 如果 , 则 .110.设 为加群 . 证明: 任给 , , 有 .111.证明 : 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。112.设群 的子群 在 中的指数为 2. 证明 :, .113.设 为群, 是 的子群 . 证明: 中每个元素属于且属于 的一个左陪集114.设 是群, 是 的子群 , . 则是 的子群 .115.设 是群 , 是 的非空子集 . 证明: 中

19、与 中每个元素都可交换的元素全体是 的子群 .116.设 . 证明: 是 的子群 .117.设 是交换群 . 是一个固定的正整数 . 令, .证明: 与 都是 的子群 .118.设 为群 . . 证明: 与 有相同的阶 .119.设 为群 . . 证明:(1) 与 有相同的阶 .(2) , , 有相同的阶 .120.设 为群 , , 的阶为 , , . 证明 : .121.证明 : 循环群是交换群 .122.证明: 有限群中阶数大于 2 的元的个数必是偶数 .123.证明: 任意偶数阶群必含有阶为 2 的元素.124.设 为素数 . 证明: 中每一个非零元都是生成元 .125.设 为 到 的同

20、构映射 , . 证明 : 与 有相同的阶 .126.证明 :127.设 是群, 证明 : 的中心是 的正规子群 .128.设 是群 , , , 证明: .129.设 是群 , 和 分别是 的子群和正规子群 . 证明:(1) 是 的正规子群 ;(2) 是 的子群 .130.设 为 的中心. 证明: 如果 是循环群 , 则 是交换群.131.设 为群 , 对任意的 , 称为 的换位子 , 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群 , 记作 . 证明:(1) 是 的正规子群 ;(2) 商群 是交换群 ;(3)若 , 且 为交换群 , 则 是 的子群 .注 : 是由所有换位子的可能乘积所组成的集合 .1

21、32.设 与 为群, 为 到 的同态映射 . . 证明 : 当且仅当对任意的 , 有 .133. 设 与为群, 为 到 的同态映射 . , . 证明 :134. 设 为 到 的同态映射 , . 为 的子群 . 证明:135.设 与 分别为 阶与 阶循环群 . 证明 : 当且仅当 .136.设 都是群 的正规子群 . 证明 :137.设群 在集合 上的作用是传递的 . 证明： 如果 是 的正规子群，则 在 的作用下的每个轨道有同样多的元素 .138.设群 作用在集合 上， . 证明： 如果存在 , 使得 , 则 .139.证明集合关于通常的加法与乘法构成一个整环 . 并求出 的所有单位 .140

22、.证明集合关于通常数的加法与乘法构成域 .141.证明 : 由所有形如的矩阵组成的集合 关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环 , 试确定这个环的 所有零因子 .145.证明 : 一个具有素数个元素的环是交换环 .146.设 是环. 是 的单位元 . 证明: 对任意的 , .147.设 是环 . 证明: 对任意的 , 有(1) ;(2) .148.设 是有单位元 的环 ( ), 且 是无零因子环 . . 证明: 如果149. 设 为大于 1 的正整数 . 令证明:关于剩余类的乘法构成一个交换群 .150.设 为加群 , 定义 的乘法为证明 为环 , 并求出 的所有子环与理想 .151.设集合

23、证明 为 的子环 .152.设 是交换环 , 是 的非空子集 . 令证明: 是 的理想 .153.设 是无零因子环 , 是 的子环 . 证明 : 当 有单位元时 , 的单位元就是 的单位元 .154.设 是有单位元的交换环 , . 证明 : 是 的单位当且仅当 .155.2. 设 为 的子环 , 是 的理想 , 且 . 证明:(1) 是 的子环 ;(2) 如 是 的理想 , 则 是 的理想 .156.设 : 为环同态 . 证明(1) 如果 是 的理想 , 则 是 的理想.(2) 如果 是 的理想 , 且 满, 则 是 的理想 .157.设 和 为 的理想 , 且满足 , . 证明 : .158

24、.设 : 为环的满同态 , 和 分别是 和 的理想 . 证明: 如果 , 且 , 则有环同构159.证明 : 是欧几里德环 .160.设 是个正整数 . 证明 是一个域 .161.设 是素特征 的域 . 证明: 对 中任意元 和 , 有162.设 是 阶的有限域 , 将 看成 上的线性空间 . 对任意的 , 定义上的变换 如下 :验证 : 是线性空间 的线性变换 .163.设a和b是一个群 G的两个元且 ab ba，又设 a的阶 a m，b的阶 b n，并且 (m,n) 1，证明： ab的阶 ab mn。164. 设 R为实数集， a,b R,a 0，令 f(a,b) :R R,x ax b,

25、 x R，将 R的所有 这样的变换构成一个集合 G f(a,b) a,b R,a 0 ，试证明：对于变换普通的乘法， G 作成一个群。165. 设 I1和 I2为环 R的两个理想，试证 I1 I2和I1 I2 a ba I1,b I2 都是 R的 理想。166.设 R是有限可交换的环且含有单位元 1，证明： R中的非零元不是可逆元就是零因 子。167.设G是一个群， aG证明： a与 a-1 的阶相同.168.设 G=M n (Q) =有理数域上所有 n 阶可逆矩阵 ，H = A|A G,|A|=1 证明：H是 G 的不变子群169.证明：一个域是一个欧氏环170.F 所有实数 a b 3 ，

26、( a,b 是有理数)。证明， F 对于普通加法和乘法来说是 一个域。171.设群G与群 G 同态， N 是G 的一个不变子群， N 是N 的逆象，证明 G N G N172.R是由所有复数 a bi(a,b Z )所作成的环，证明 R 1 i 是一个域。2173.证明：设 G是群，如果对任意的 x G，有 x2 e ，则G是交换群。174.证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。175.设 H a bi cj dk |a,b,c,d R 是四元数体，对 H中任意元x a bi cj dk ，定义其共轭x a bi cj dk 。证明： xx xx 是一个非负实数；17

27、6.设 是集合 A到 B的一个映射，对于a,bA ，规定关系ab(a)(b)证明：“ ”是 A 的一个等价关系177.在复数集 C 中规定关系“ ”：ab|a|b|证明：“ ”是 C 的一个等价关系178.在 n阶矩阵的集合 Mn(F) 中规定关系“ ”：A B | A| |B|证明：“ ”是 Mn(F) 的一个等价关系179.设“ ”是集合 A 的一个关系，且满足：(1)对任意 a A，有 a a ；(2)对任意 a,b,c A，若 a b,a c,就有 bc证明：“ ”是 A的一个等价关系180.设 G是一个群，在 G中规定关系“ ”：a b 存在于 g G ，使得 b g 1ag 证明：

28、“ ”是 G的一个等价关系181.令G A A为n阶正交矩阵 证明， G对于矩阵的普通乘法作在一个群182.设 G是整数集，规定运算：a b a b 4, a,b G 证明： G对运算 作成一个群182.证明：若群 G的每个元素都满足方程 x2 e，则 G 是一个 Abel 群(交换群)183.设 G是一个群，证明： G是交换群的充分必要条件是，对任意 a,b G ，都有 (ab)2 a2b2184.证明：在群 G中， a 1与 a有相同的阶185.证明：在群 G中，ab与 ba有相同的阶186.证明：在群 G中， a 与 bab 1 有相同的阶187.设 G是一个群， a G若 a 的阶是正

29、整数 n证明：对mm Z ,a e n | m 188.设 G是一个交换群， m是固定的正整数令H a G | am e 证明：H是 G的一个子群189.设 H1,H 2是群 G的子群证明： H1 H2也是 G 的一个子群190.设 G 是一 个群，令C a G |ax xa, x G证明：C是 G的一个子群191.设 G是一个群， S 是 G的一个非空子集令C(S) a G |ax xa, x S 证明： C(S)是 G的一个子群192.若群 G的阶是素数 p，则 G是一个循环群，试证之193.证明：循环群的子群也是循环群194.若群 G与群 G 同态，且 G是循环群，证明： G 也是循环群

30、195.证明：阶为 pm 的群（ p是素数）一定包含有一个阶为 p的子群196.设 H，K 是群 G的不变子群，证明： HK也是 G的不变子群197.设 H，K是群 G的不变子群，且 H K e 证明： h H, k K ，都有 hk kh198.设 H，K是群 G的不变子群，证明： H K 也是 G的不变子群。199.设 H是群 G的子群， N是 G的不变子群。证明： HN是 G的子群200.设 G是一个 n 阶有限群证明： G的每一个元素都满足方程 xn e201.设 G是一个群， C a G |ax xa,x G 是 G的中心，证明： C 是 G的一个不变子群202.设 C 是群 G的中心，即C a G |ax xa, x G且商群 GC 是循环群证明： G交换群203.若 G 是循环群， H是 G的一个子群证明： GH 也是循环群