1959年至历届IMO试题不含答案.docx

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1959年至历届IMO试题不含答案

第一届（1959年）

罗马尼亚布拉索夫（Braşov，Romania）

1.求证

对每个自然数n都是最简分数。

（波兰）

2.设

，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：

a）

；b）A=1；c）A=2。

（罗马尼亚）

3.a、b、c都是实数，已知关于cosx的二次方程

试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当

a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。

（匈牙利）

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N。

a）求证：

AF、BC相交于N点；

b）求证：

不论点M如何选取，直线MN都通过定点S；

c）当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。

（罗马尼亚）

6.两个平面P、Q的公共边为p，A为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

（捷克斯洛伐克）

第二届（1960年）

罗马尼亚锡纳亚（Sinaia，Romania）

1.找出所有具有下列性质的三位数N：

N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。

（保加利亚）

2.寻找使下式成立的实数x：

（匈牙利）

3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：

（罗马尼亚）

4.已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从A引出的中线长ma，求作三角形ABC。

（匈牙利）

5.正方体ABCD-A'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。

X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。

a）求XY中点的轨迹；

b）求a）中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。

（捷克斯洛伐克）

6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。

令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。

a）求证：

V1不等于V2；

b）设V1=kV2，求k的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。

（民主德国）

7.一个等腰梯形的两底为a、c，高为h。

a）在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P，使以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角；

b）计算P点到两底的距离；

c）判断在什么情况下P点确实存在。

讨论各种情况。

（保加利亚）

第三届（1961年）

匈牙利维斯普雷姆（Veszprém，Hungary）

1.设a，b为常数，解方程组

，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。

（匈牙利）

2.设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。

证明

并说明何时取等号。

（波兰）

3.解方程

，n是自然数。

（保加利亚）

4.设P是三角形P1P2P3内一点。

直线P1P，P2P，P3P分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。

证明数字

至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

（民主德国）

5.作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且∠AMB=ω，其中M是线段BC的中点且ω<90°。

证明：

当且仅当

时可作出此三角形，并说明何时等号成立。

（捷克斯洛伐克）

6.三个不共线的点A、B、C在平面ε的同一侧；假设平面ABC不与平面ε平行。

在平面ε上任取三个点A’、B’、C’。

设L、M、N分别为线段AA’，BB’，CC’的中点，G为三角形LMN的重心（不考虑使L、M、N不能构成三角形的情况）。

问：

当A’、B’、C’各自变化时，G的轨迹是什么？

（罗马尼亚）

第四届（1962年）

捷克斯洛伐克捷克布杰约维采（ČeskéBudějovice，Czechoslovakia）

1.找出具有下列各性质的最小正整数n：

a）它的最后一位数字是6；

b）如果把最后的6去掉并放在最前面，所得到的数是原来数的4倍。

（波兰）

2.试找出满足下列不等式的所有实数x：

（匈牙利）

3.已知正方体ABCD-A'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。

一点X沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。

点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。

求线段XY的中点的轨迹。

（捷克斯洛伐克）

4.解方程cos2x+cos22x+cos23x=1。

（罗马尼亚）

5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。

试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。

（保加利亚）

6.一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是

。

（民主德国）

7.求证：

正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。

（苏联）

第五届（1963年）

波兰弗罗茨瓦夫（Wroclaw，Poland）

1.找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：

（捷克斯洛伐克）

2.给定一点A及线段BC，设空间中有一点使得以该点为顶点，一边通过A点，另一边与线段BC相交的角为直角，试求出所有满足条件的点的轨迹。

（苏联）

3.在一个n边形中，所有内角都相等，相连的边长度满足a1≥a2≥…≥an。

求证：

所有边长都相等。

（匈牙利）

4.设y是一个参数，试找出方程组

的所有解x1，x2，x3，x4，x5。

（苏联）

5.求证

。

（民主德国）

6.五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。

但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）中的任何一种）。

还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。

实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。

试讨论最后的名次如何？

（匈牙利）

第六届（1964年）

苏联莫斯科（Moscow，SovietUnion）

1.a）求所有正整数n使得2n—1能被7整除；

b）求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。

（捷克斯洛伐克）

2.假设a、b、c是三角形的三边长，求证：

（匈牙利）

3.三角形ABC的三边长分别为a、b、c。

分别平行于三角形ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在△ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a、b、c表示）。

（南斯拉夫）

4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。

在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：

这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。

（匈牙利）

5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。

（罗马尼亚）

6.四面体ABCD的中心是D0，分别过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点A1、B1、C1，求证：

ABCD的体积是A1B1C1D0的三分之一；再问如果D0为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？

（波兰）

第七届（1965年）

民主德国柏林（Berlin，GermanDemocraticRepublic）

1.找出所有的x（0≤x≤2π）使其满足

。

（南斯拉夫）

2.如下方程组

其中x1、x2、x3未知。

系数满足以下条件：

a）a11、a22、a33为正数；

b）其余系数是负数；

c）在每个方程中，系数的和是正数。

证明该方程组只有唯一解x1=x2=x3=0。

（波兰）

3.给出四面体ABCD，其中AB和CD长度分别为a和b。

异面直线AB和CD的距离为d，夹角为ω。

四面体ABCD被平面ε分为两部分，平面ε平行于AB和CD。

AB和CD到平面ε的距离的比为k。

计算出这两部分的体积之比。

（捷克斯洛伐克）

4.找出所有满足条件的四个实数x1、x2、x3、x4，它们中任何三个数的乘积加上第四个数的和都等于2。

（苏联）

5.给出三角形OAB，其中∠AOB是锐角。

M是边AB上除O外的任意一点，从M点向OA和OB作垂线，垂足为P、Q。

设三角形OPQ的垂心为H。

当M在下列范围移动时，求H的轨迹。

a）边AB；

b）三角形OAB内部。

（罗马尼亚）

6.在平面上给出了n个点（n≥3）。

每对点都有线段相连。

令d为这些线段中最长的线段的长度。

我们定义d就是这个点的集合的直径。

证明在给出的点的集合中长度为d的线段至多有n条。

（波兰）

第八届（1966年）

保加利亚索菲亚（Sofia，Bulgaria）

1.在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。

在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。

又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。

请问有多少学生只答对B？

（苏联）

2.令a、b、c为三角形的三边，其对角分别为α、β、γ。

证明如果

，那么三角形是等腰三角形。

（匈牙利）

3.求证：

从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其它点到各顶点的距离之和。

（保加利亚）

4.求证：

对于任一自然数n，以及任一实数

（t=0,1，…，n；k为整数），都有

（南斯拉夫）

5.解方程组：

其中a1、a2、a3、a4是四个不同的实数。

（捷克斯洛伐克）

6.已知三角形ABC，K、L、M分别是BC、CA、AB的内点。

求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个三角形的面积不大于三角形ABC的四分之一。

（波兰）

第九届（1967年）

南斯拉夫采蒂涅（Centinje，Yugoslavia）

1.在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=1，∠BAD=A，且三角形ABD是锐角三角形。

求证：

当且仅当

时，以A、B、C、D为圆心，半径为1的四个圆能覆盖这个平行四边形。

（捷克斯洛伐克）

2.求证：

只有一条边大于1的四面体体积不大于

。

（波兰）

3.令k，m，n为自然数且满足m+k+1是一个大于n+1的质数，cs=s（s+1）。

求证：

能被乘积c1c2…cn整除。

（英国）

4.三角形A0B0C0和A1B1C1是锐角三角形。

考虑所有与三角形A1B1C1相似且外接于三角形A0B0C0的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。

（意大利）

5.考虑数列{cn}，其中

其中a1、a2、…、a8是不全为零的实数。

如果数列{cn}中有无穷多项等于0，试求所有使cn=0的自然数n。

（苏联）

6.在一次运动会中，连续n天内（n>1）一共颁发了m块奖牌。

在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下m-1个中的

；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的

；依此类推。

在最后一天即第n天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。

问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？

（匈牙利）

第十届（1968年）

苏联莫斯科（Moscow，SovietUnion）

1.求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另一个角的两倍。

（罗马尼亚）

2.试找出所有自然数n，其各位数的乘积等于n2-10n-22。

（捷克斯洛伐克）

3.考虑以下方程组

其中x1、x2、…、xn是未知数，a、b、c为实数并且a≠0。

令Δ=（b-1）2-4ac。

证明对这个方程组

a）Δ<0，无解；

b）Δ=0，有且只有一个解；

c）Δ>0，有一个以上的解。

（保加利亚）

4.求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。

（波兰）

5.设f是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数x和任一正数a，等式

都成立。

a）证明函数f是周期函数（比如，存在一个正数b使得对于所有x满足f（x+b）=f（x））。

b）当a=1时，给出一个非常值函数的例子。

（民主德国）

6.对于任一自然数n，试求和

（[x]表示不大于x的最大整数）。

（英国）

第十一届（1969年）

罗马尼亚布加勒斯特（Bucharest，Romania）

1.证明对任意正整数a和任一正整数n都满足：

数字z=n4+a不是质数。

（民主德国）

2.令a1，a2，…，an为实数常数，x为实数变量，且

。

若f（x1）=f（x2）=0，证明对于一些整数m有x2-x1=mπ。

（匈牙利）

3.对每一个k=1,2,3,4,5，试找出a>0应满足的充要条件，使得存在一个四面体，其中k个边长均为a，其余6-k个边的长度均为1。

（波兰）

4.以AB为直径作半圆γ。

C是γ上不同于A和B的一个点，D是C到AB的垂线的垂足。

我们作三个圆γ1、γ2、γ3都与直线AB相切。

在这里，γ1是△ABC的内切圆，而γ2和γ3都与直线CD和圆γ相切，且位于直线CD的两边。

证明γ1、γ2、γ3还有一条公切线。

（荷兰）

5.给出平面上n个点（n>4），其中任意三点都不共线。

证明至少有

个凸四边形其顶点都是给出的点其中的四个。

（蒙古）

6.求证：

对于所有实数x1、x2、y1、y2、z1、z2，其中x1>0，x2>0，

，

，满足不等式

，并给出等号成立的条件。

（苏联）

第十二届（1970年）

匈牙利凯斯特海伊（Keszthely，Hungary）

1.M是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的，q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。

求证：

。

（波兰）

2.已知a、b、n是大于1的整数，且a、b是两个计数系统的底。

An-1和An是a进制数，Bn-1和Bn是b进制数；它们的联系如下：

证明：

当且仅当a>b时有

。

（罗马尼亚）

3.实数a0，a1，…，an，…满足条件：

1=a0≤a1≤a2≤…≤an≤…。

并数字b1，b2，…，bn，…被定义为

。

a）求证对于所有n都有0≤bn＜2。

b）设c满足0≤c＜2，证明对于足够大的n存在满足上面要求的a0，a1，…能使bn>c。

（瑞典）

4.试找出所有的正整数n使得集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。

（捷克斯洛伐克）

5.在四面体ABCD中，∠BDC是直角。

假设点D到平面ABC的垂线的垂足H是△ABC的垂心。

求证：

（AB+BC+CA）2≤6（AD2+BD2+CD2），并指出在什么情况下等号成立。

（保加利亚）

6.一个平面上有100个点，任意三点都不共线。

求证由这些点为顶点的三角形中至多有70%是锐角三角形。

（苏联）

第十三届（1971年）

捷克斯洛伐克日利纳（Žilina，Czechoslovakia）

1.证明下面的说法在n=3或n=5时是正确的，而在其它大于2的自然数n是错误的：

如果a1，a2，…，an为任意实数，那么（a1-a2）（a1-a3）...（a1-an）+（a2-a1）（a2-a3）...（a2-an）+...+（an-a1）（an-a2）...（an-an-1）≥0。

（匈牙利）

2.一个有9个顶点A1，A2，…，A9的凸多面体P1，若将顶点A1移至Ai时则P1平移为Pi（i=2,3，…，9），求证在P1，P2，…，P9中至少有两个多面体有一个公共内点。

（苏联）

3.求证：

一个由形式2k-3（k=2,3，…）组成的整数的集合包含一个每个元素两两互质的无限子集合。

（波兰）

4.四面体ABCD的所有面都是锐角三角形。

我们定义形如XYZTX的所有闭合多边形路径如下：

X是AB边上不同于A和B的一点；类似地，Y，Z，T分别是边BC、CD、DA的内点。

求证：

a）如果∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC，那么在所有闭合路径之中，没有最小长度。

b）如果∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC，那么将有无数条最短路径，它们的长度都是

，其中α=∠BAC+∠CAD+∠DAB。

（荷兰）

5.证明对于任一自然数m，都存在一个在同一平面上的有限点集S，满足下列条件：

对于S中的每个点A，恰好有m个在S中的点到A点的距离为单位长。

（保加利亚）

6.令A=（aij）（i，j=1,2，…，n）为一个元素都是非负整数的方阵。

假设有一个元素aij=0，那么第i行的元素和第j列的元素的和不小于n。

求证：

这个方阵的所有元素的和不小于

。

（瑞典）

第十四届（1972年）

波兰托伦（Toruń，Poland）

1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。

（苏联）

2.设n≥4，求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆内接四边形。

（荷兰）

3.设m、n为任意非负整数。

求证：

是整数。

（0！

=1）（英国）

4.找出下述方程组的解（x1，x2，x3，x4，x5），其中x1，x2，x3，x4，x5是正实数。

（荷兰）

5.令f和g为定义域和值域都为实数集的函数，并对于所有的x和y都满足等式

。

求证：

如果f（x）不恒为0，对于所有x都有

，那么对于所有y都有

。

（保加利亚）

6.给出四个不同的平行平面，证明存在一个正四面体，它的顶点分别在这四个平面上。

（英国）

第十五届（1973年）

苏联莫斯科（Moscow，SovietUnion）

1.点O在直线g上；

是单位向量，而P1，P2，…，Pn都与g在同一平面且都在g的一侧。

证明当n为奇数时，

。

这里

代表向量

的长度。

（捷克斯洛伐克）

2.判断是否存在不在同一平面内的有限点集M，对于M内的任何两个点A和B，都可以在M中找到任何两个点C、D使得AB和CD平行但不重合。

（波兰）

3.找出所有实数a和b使得方程

至少有一个实根。

对于所有这样的对（a，b），找出

的最小值。

（瑞典）

4.一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？

（南斯拉夫）

5.G是一个定义域为实数集的形如f（x）=ax+b（a、b为实数）的非常值函数的集合，且G满足：

a）如果f和g都在G内，那么

也在G内；这里

。

b）如果f在G内，那么它的反函数

也在G内；这里f（x）=ax+b的反函数是

。

c）对于G内的每一个f，都有一个实数xf可使f（xf）=xf。

求证：

存在一个实数k对于G内的所有f都有f（k）=k。

（波兰）

6.设a1，a2，…，an是n个正数，q是0到1之间的一个给定的实数。

找到n个数b1，b2，…，bn使之满足：

a）对于k=1,2,...,n都有ak

b）对于k=1,2,...,n-1都有

；

c）

。

（瑞典）

第十六届（1974年）

民主德国埃尔福特（Erfurt，DRGermany）

1.三个玩家玩游戏。

在三张扑克牌上分别写上一个正整数，这三个数p、q、r满足0

扑克牌被洗过并随机分配给每个玩家。

每个玩家各自记下并公布自己拥有的牌的点数。

然后再次洗牌；计数依旧保留。

该过程（洗牌、发牌、记数）进行过至少两轮。

最后一轮之后，A一共有20点，B有10点，C有9点。

在最后一轮B获得了r点。

问在第一轮谁获得了q点？

（美国）

2.在三角形ABC中，证明AB边上存在点D使得CD是AD和DB的几何平均数的充要条件是

。

（芬兰）

3.求证：

数字

不论任何整数n≥0都不能被5整除。

（罗马尼亚）

4.考虑一个8×8的棋盘分成p个不重叠的长方形并满足：

i）每个长方形都有相同数目的黑格子与白格子。

ii）如果ai是第i个长方形的白色格子的个数，那么a1

找出所有可能的p的最大值。

对于这个p值，判断所有可能的数列a1，a2，…，ap。

（保加利亚）

5.判断S所有可能的值，其中a、b、c、d是任意正数。

（荷兰）

6.设P为非常值的整系数多项式。

如果n（P）是所有满足（P（k））2=1的不同整数k的个数，求证：

n（P）-deg（P）≤2，这里deg（P）表示多项式P的次数。

（瑞典）

第十七届（1975年）

保加利亚布尔加斯（Burgas，Bulgaria）

1.设xi，yi（i=1,2,…，n）是实数且满足x1≥x2≥…≥xn和y1≥y2≥…≥yn。

求证：

如果z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的任一排列，那么有

。

（捷克斯洛伐克）

2.设a1，a2，a3，…是一个正整数的无穷递增序列。

求证：

对于每个p≥1都有无穷多个am可以写成am=xap+yaq的形式，其中x，y是正整数且q>p。

（英国）

3.在任意三角形ABC外，三角形ABR，BCP，CAQ按如下构造：

∠CBP=∠CAQ=45°，∠BCP=∠ACQ=30°，∠ABR=∠BAR=15°。

求证∠QRP=90°且QR=RP。

（荷兰）

4.当44444444用十进制数表示时，它的各位数的和为A。

令B为A的各位数的和。

找出B的各位数的和。

（A和B都用十进制表示。

）（苏联）

5.判断并证明在一个半径为单位长的圆周上是否能找到1975个点使它们两两之间的距离都是有理数。

（苏联）

6.找到所有多项式P，有两个变量，并具有下列性质：

（i）对于一个正整数n和所有实数t，x，y都有P（tx,ty）=tnP（x,y）；

（ii）对于所有实数a，b，c，都有P（b+c,a）+P（c+a,b）+P（a+b,c）=0；

（iii）P（1,0）=1。

（英国）

第十八届（1976年）

奥地利利恩茨（Lienz，Austria）

1.一个平面凸四边形的面积是32，两条对边和一条对角线的长度的和是16。

判断另一条对角线所有可能的长度。

（捷克斯洛伐克）

2.令P1（x）=x2-2，Pj（x）=P1（Pj-1（x）），j=2,3，…。

说明，对于任一正整数n，方程Pn（x）=x的根是互不相同的实数。

（芬兰）

3.一个长方形的箱子可以用单位立方体填满。

如果用体积为2的立方体尽量多地填充箱子，使每个边都与箱子的边平行，那么恰好可以填充箱子的40%。

判断这个箱子所有可能的尺寸规模。

（荷兰）

4.判断和为1976的若干个正整数的乘积的最大值，并证明。

（美国）

5.考虑以下方程组，其中q=2p，x1，x2，…，xq为未知数：

每个系数aij属于数集{-1,0,1}。

证明这个方程组有一个解（x1，x2，…，xq）满足：

a）所有的xj（j=1,2,...,q）都是整数；

b）至少有一个值j使得xj≠0；

c）

。

（荷兰）

6.数列{un}被定义为

，n=1,2,…

求证对于正整数n都有

，其中[x]代