1959年至历届IMO试题不含答案.docx

1、1959年至历届IMO试题不含答案第一届（1959年）罗马尼亚 布拉索夫（Braov，Romania）1. 求证 对每个自然数 n 都是最简分数。（波兰）2. 设，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： a)；b)A=1；c)A=2。（罗马尼亚）3. a、b、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利）5. 在线段AB上任意选取一点M，在

2、AB的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N。a) 求证：AF、BC 相交于N点；b) 求证：不论点M如何选取，直线MN都通过定点S；c) 当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。（罗马尼亚）6. 两个平面P、Q 的公共边为 p，A 为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D 分别落在平面P和Q上。（捷克斯洛伐克）第二届（1960年） 罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia，Romania）1. 找出所有具有下

3、列性质的三位数N：N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x：（匈牙利）3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：（罗马尼亚）4. 已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从 A引出的中线长ma，求作三角形ABC。（匈牙利）5. 正方体ABCD-ABCD（上底面 ABCD，下底面 ABCD）。X是对角线AC上任意一点，Y是BD上任意一点。a) 求XY中点的轨迹；b) 求a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点Z的轨迹。（捷克斯洛伐克）6. 一个圆

4、锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。 令V1 为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。a) 求证：V1不等于V2；b) 设V1=kV2，求k的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。（民主德国）7. 一个等腰梯形的两底为a、c，高为h。a) 在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P，使以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角；b) 计算P点到两底的距离；c) 判断在什么情况下P点确实存在。讨论各种情况。（保加利亚）第三届（1961年）匈牙利 维斯普雷姆（Veszprm，Hungary）1. 设a，b为常数，解方程组，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数

5、。（匈牙利）2. 设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。证明并说明何时取等号。（波兰）3. 解方程，n是自然数。（保加利亚）4. 设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P，P2P，P3P分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。证明数字至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。（民主德国）5. 作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且AMB=，其中M是线段BC的中点且1）一共颁发了m块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下m-1个中的；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的；依此类推。在最后一天即第n天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？（匈牙利）第十届（19

6、68年） 苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union）1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另一个角的两倍。（罗马尼亚）2. 试找出所有自然数n，其各位数的乘积等于n2-10n-22。（捷克斯洛伐克）3. 考虑以下方程组其中x1、x2、xn是未知数，a、b、c为实数并且a0。令=(b-1)2-4ac。证明对这个方程组a) 0，有一个以上的解。（保加利亚）4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。（波兰）5. 设f是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数x和任一正数a，等式都成立。a) 证明函数f是周期函数（比如，存在一

7、个正数b使得对于所有x满足f(x+b)=f(x)）。b) 当a=1时，给出一个非常值函数的例子。（民主德国）6. 对于任一自然数n，试求和（x表示不大于x的最大整数）。（英国）第十一届（1969年） 罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest，Romania）1. 证明对任意正整数a和任一正整数n都满足：数字z=n4+a不是质数。（民主德国）2. 令a1，a2，an为实数常数，x为实数变量，且。若f(x1)=f(x2)=0，证明对于一些整数m有x2-x1=m。（匈牙利）3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出a0应满足的充要条件，使得存在一个四面体，其中k个边长均为a，其余6-k

8、个边的长度均为1。（波兰）4. 以AB为直径作半圆。C是上不同于A和B的一个点，D是C到AB的垂线的垂足。我们作三个圆1、2、3都与直线AB相切。在这里，1是ABC的内切圆，而2和3都与直线CD和圆相切，且位于直线CD的两边。证明1、2、3还有一条公切线。（荷兰）5. 给出平面上n个点（n4），其中任意三点都不共线。证明至少有个凸四边形其顶点都是给出的点其中的四个。（蒙古）6. 求证：对于所有实数x1、x2、y1、y2、z1、z2，其中x10，x20，满足不等式，并给出等号成立的条件。（苏联）第十二届（1970年） 匈牙利 凯斯特海伊（Keszthely，Hungary）1. M是三角形ABC

9、的边AB上的任何一点，r、r1、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： 。（波兰）2. 已知a、b、n是大于1的整数，且a、b是两个计数系统的底。An-1和An是a进制数，Bn-1和Bn是b进制数；它们的联系如下：证明：当且仅当ab时有。（罗马尼亚）3. 实数a0，a1，an，满足条件：1=a0a1a2an。并数字b1，b2，bn，被定义为。a) 求证对于所有n都有0bn2。b) 设c满足0c2，证明对于足够大的n存在满足上面要求的a0，a1，能使

10、bnc。（瑞典）4. 试找出所有的正整数n使得集合n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。（捷克斯洛伐克）5. 在四面体ABCD中，BDC是直角。假设点D到平面ABC的垂线的垂足H是ABC的垂心。求证：(AB+BC+CA)26(AD2+BD2+CD2)，并指出在什么情况下等号成立。（保加利亚）6. 一个平面上有100个点，任意三点都不共线。求证由这些点为顶点的三角形中至多有70%是锐角三角形。（苏联）第十三届（1971年） 捷克斯洛伐克 日利纳（ilina，Czechoslovakia）1. 证明下面的说法在n=3或n=5时是正确的

11、，而在其它大于2的自然数n是错误的：如果a1，a2，an为任意实数，那么(a1-a2)(a1-a3).(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3).(a2-an)+.+(an-a1)(an-a2).(an-an-1)0。（匈牙利）2. 一个有9个顶点A1，A2，A9的凸多面体P1，若将顶点A1移至Ai时则P1平移为Pi（i=2,3，9），求证在P1，P2，P9中至少有两个多面体有一个公共内点。（苏联）3. 求证：一个由形式2k-3（k=2,3，）组成的整数的集合包含一个每个元素两两互质的无限子集合。（波兰）4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形。我们定义形如XYZTX的所有闭合多边形路径如

12、下：X是AB边上不同于A和B的一点；类似地，Y，Z，T分别是边BC、CD、DA的内点。求证：a) 如果DAB+BCDCDA+ABC，那么在所有闭合路径之中，没有最小长度。b) 如果DAB+BCD=CDA+ABC，那么将有无数条最短路径，它们的长度都是，其中=BAC+CAD+DAB。（荷兰）5. 证明对于任一自然数m，都存在一个在同一平面上的有限点集S，满足下列条件：对于S中的每个点A，恰好有m个在S中的点到A点的距离为单位长。（保加利亚）6. 令A=(aij)(i，j=1,2，n）为一个元素都是非负整数的方阵。假设有一个元素aij=0，那么第i行的元素和第j列的元素的和不小于n。求证：这个方阵

13、的所有元素的和不小于。（瑞典）第十四届（1972年） 波兰 托伦（Toru，Poland）1. 有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。（苏联）2. 设n4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆内接四边形。（荷兰）3. 设m、n为任意非负整数。求证：是整数。（0！=1）（英国）4. 找出下述方程组的解（x1，x2，x3，x4，x5），其中x1，x2，x3，x4，x5是正实数。（荷兰）5. 令f和g为定义域和值域都为实数集的函数，并对于所有的x和y都满足等式。求证：如果f(x)不恒为0，对于所有x都有，那么对于所有y都有。（保加利亚）6.

14、给出四个不同的平行平面，证明存在一个正四面体，它的顶点分别在这四个平面上。（英国）第十五届（1973年） 苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union）1. 点O在直线g上；是单位向量，而P1，P2，Pn都与g在同一平面且都在g的一侧。证明当n为奇数时，。这里代表向量的长度。（捷克斯洛伐克）2. 判断是否存在不在同一平面内的有限点集M，对于M内的任何两个点A和B，都可以在M中找到任何两个点C、D使得AB和CD平行但不重合。（波兰）3. 找出所有实数a和b使得方程至少有一个实根。对于所有这样的对（a，b），找出的最小值。（瑞典）4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他

15、的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？（南斯拉夫）5. G是一个定义域为实数集的形如f(x)=ax+b（a、b为实数）的非常值函数的集合，且G满足：a) 如果f和g都在G内，那么也在G内；这里。b) 如果f在G内，那么它的反函数也在G内；这里f(x)=ax+b的反函数是。c) 对于G内的每一个f，都有一个实数xf可使f(xf)=xf。求证：存在一个实数k对于G内的所有f都有f(k)=k。（波兰）6. 设a1，a2，an是n个正数，q是0到1之间的一个给定的实数。找到n个数b1，b2，bn使之满足：a) 对于k=1,2,.

16、,n都有akbk；b) 对于k=1,2,.,n-1都有；c) 。（瑞典）第十六届（1974年） 民主德国 埃尔福特（Erfurt，DR Germany）1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，这三个数p、q、r满足0pqr。扑克牌被洗过并随机分配给每个玩家。每个玩家各自记下并公布自己拥有的牌的点数。然后再次洗牌；计数依旧保留。该过程（洗牌、发牌、记数）进行过至少两轮。最后一轮之后，A一共有20点，B有10点，C有9点。在最后一轮B获得了r点。问在第一轮谁获得了q点？（美国）2. 在三角形ABC中，证明AB边上存在点D使得CD是AD和DB的几何平均数的充要条件是。（芬兰）3. 求

17、证：数字不论任何整数n0都不能被5整除。（罗马尼亚）4. 考虑一个88的棋盘分成p个不重叠的长方形并满足：i) 每个长方形都有相同数目的黑格子与白格子。ii) 如果ai是第i个长方形的白色格子的个数，那么a1a2p。（英国）3. 在任意三角形ABC外，三角形ABR，BCP，CAQ按如下构造：CBP=CAQ=45，BCP=ACQ=30，ABR=BAR=15。求证QRP=90且QR=RP。（荷兰）4. 当44444444用十进制数表示时，它的各位数的和为A。令B为A的各位数的和。找出B的各位数的和。（A和B都用十进制表示。）（苏联）5. 判断并证明在一个半径为单位长的圆周上是否能找到1975个点使

18、它们两两之间的距离都是有理数。（苏联）6. 找到所有多项式P，有两个变量，并具有下列性质：(i) 对于一个正整数n和所有实数t，x，y都有P(tx,ty)=tnP(x,y)；(ii) 对于所有实数a，b，c，都有P(b + c, a) + P(c + a, b) + P(a + b, c) = 0；(iii) P(1,0)=1。（英国）第十八届（1976年）奥地利 利恩茨（Lienz，Austria）1. 一个平面凸四边形的面积是32，两条对边和一条对角线的长度的和是16。判断另一条对角线所有可能的长度。（捷克斯洛伐克）2. 令P1(x)=x2-2，Pj(x)=P1(Pj-1(x)，j=2,3

19、，。说明，对于任一正整数n，方程Pn(x)=x的根是互不相同的实数。（芬兰）3. 一个长方形的箱子可以用单位立方体填满。如果用体积为2的立方体尽量多地填充箱子，使每个边都与箱子的边平行，那么恰好可以填充箱子的40%。判断这个箱子所有可能的尺寸规模。（荷兰）4. 判断和为1976的若干个正整数的乘积的最大值，并证明。（美国）5. 考虑以下方程组，其中q=2p，x1，x2，xq为未知数：每个系数aij属于数集-1,0,1。证明这个方程组有一个解(x1，x2，xq)满足：a) 所有的xj (j=1,2,.,q)都是整数；b) 至少有一个值j使得xj0；c) 。（荷兰）6. 数列un被定义为，n=1,2,求证对于正整数n都有，其中x代