高等数学同济第七版提纲.docx

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高等数学同济第七版提纲

函数、极限、连续

一、函数：

五大类基本初等函数

幂函数，指数函数，对数函数

反函数，有界性，奇偶性

三角函数：

正割函数，余割

反三角函数

二、极限

1、数列的极限

夹逼准则

2、函数的极限

（1）两个重要极限

（2）无穷小：

高阶，低阶，

同阶，等价；性质：

有界函数

与无穷小的乘积仍然是无穷小。

等价无穷小代换；

三、连续

间断点：

第一类，第二类

左右极限都存在；

可去间断点，跳跃间断点

无穷间断点，振荡间断点

一切初等函数在定义区间

内都连续。

闭区间上连续函数的性质：

零点定理：

方程根的存在性

第二章导数与微分

一、相关概念

1、导数的两大定义式；

2、左右导数；

3、几何意义；

4、可导与连续的关系。

5、16个基本导数公式，4个求导法则

二、六大类函数求导

1、复合函数求导；

2、隐函数求导；

3、参数方程所确定的函数求导；

4、幂指函数求导；

对数求导法

5、分段函数求导；

6、抽象函数求导。

三、微分

1、概念；可微

2、计算

第三章微分中值定理

与导数的应用

一、中值定理

罗尔定理：

驻点

拉格朗日中值定理

二、洛必达法则

三、单调性和凹凸性

单调性：

求单调区间；

求极值；

证明不等式；

证明方程根的唯一性。

极值的第一充分条件

有且仅有；

凹凸性：

凹凸区间；拐点

四、渐近线

1、水平渐近线

2、垂直渐近线

3、斜渐近线

第四章不定积分

一、不定积分的概念；

（13+2）

原函数；被积函数；积分变量

二、计算

1、凑微分法（第一类换元法）

2、第二类换元法

3、分部积分法

（一）4小题

（二）2小题

（三）1小题

简单根式的积分

第五章定积分

一、相关概念和性质

积分下限，积分上限

几何意义：

面积的代数和

[a,b]积分区间

比较性质

定积分的中值定理

二、关于计算方面的内容

1、定积分的计算；

2、广义积分（反常积分）；

（1）无穷限的广义积分；

收敛；发散

（2）无界函数的广义积分（瑕积分）

无界间断点，瑕点

3、积分上限的函数；

（1）变上限定积分；

（2）求导运算；

4、用定积分求平面图形的

面积和旋转体的体积。

两个简便公式

第六章微分方程

一、相关概念

定义：

未知函数，未知函数的导数，自变量；

阶，解，通解，特解

初始条件

二、四类方程

1、可分离变量的微分方程；

2、一阶线性微分方程；

一阶齐次线性。

。

。

。

3、二阶常系数齐次线性。

。

。

。

特征方程

4、二阶常系数非齐次线性。

。

。

非根，k=0;单根，k=1；

二重根k=2.

第八章多元函数微分学

一、二元函数，三元函数

二元函数的定义域：

平面区域（平面点集），图形

空间曲面

三、求偏导数；求全微分；

变量的对称性

四、二元隐函数求偏导数；

五、二元函数的极值。

第九章二重积分

一、相关概念

面积元素，

积分区域：

平面闭区域

曲顶柱体的体积

二次积分,累次积分

交换积分次序

二、计算（直角坐标系中的计算）

极坐标系

第七章向量代数与

空间解析几何

一、向量

1、相关概念：

大小，模，方向

单位向量，零向量

空间直角坐标系（三维）

正交，方向角，方向余弦

平行、垂直

2、向量的运算

加法（减法），数乘，

数量积（点乘积）

向量积（叉乘积）

右手法则

二、空间曲面和曲线

三、平面及其方程

法向量

点法式方程

一般式方程，截距式方程

四、（空间）直线及其方程

方向向量

点向式方程

第十章无穷级数

一、无穷级数的定义，分类，

常数项无穷级数

函数项无穷级数：

幂级数

收敛，发散；

收敛级数三大性质（1,2,5）；

三大级数：

调和级数，

等比级数（几何级数），

p-级数

二、正项级数审敛法

1、比较审敛法；

2、比较审敛法的极限形式；

3、比值审敛法；阶乘

4、根值审敛法

三、交错级数（莱布尼茨定理）

四、绝对收敛，条件收敛

五、幂级数

1、相关概念；

收敛点，发散点

收敛域，发散域

收敛区间，收敛半径R

和函数