高考1999年四川高考文科数学真题及答案.docx

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高考1999年四川高考文科数学真题及答案

1999年四川高考文科数学真题及答案

本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部。

第I卷1至2页。

第II卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷〔选择题共60分〕

考前须知：

l.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型〔A或B〕用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试完毕，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：

三角函数的积化和差公式

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2　　

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2　　　

sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2

　正棱台、圆台的侧面积公式：

　S台侧=（c'+c）L/2　　其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。

台体的体积公式：

其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。

一.选择题：

本大题共14小题；第

（1）—（1O）题每题4分，第（11）—（14）题每题5分，

共60分。

在每题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

〔1〕如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，那么阴影局部所表示的集合是

〔A〕〔M∩P〕∩S〔B〕〔M∩P〕∪S

〔C〕〔M∩P〕∩

〔D〕〔M∩P〕∪

〔2〕映射f：

A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，那么集合B中元素的个数是

〔A〕4　　　〔B〕5〔C〕6〔D〕7

〔3〕假设函数y＝f〔x〕的反函数是y=g〔x〕，f〔a〕=b，ab≠0，那么g〔b〕等于

〔A〕a　　　〔B〕a-1　〔C〕b〔D〕b-1

〔4〕函数f〔x〕＝Msin〔ωx+ρ〕〔ω>0〕在区间[a，b]上是增函数，且f〔a〕=-M，f〔b〕=M，那么函数g〔x〕=Mcos〔ωx+ρ〕在[a，b]上

〔A〕是增函数　　〔B〕是减函数

〔C〕可以取得最大值M　　〔D〕可以取得最小值-M

〔5〕假设f〔x〕sinx是周期为∏的奇函数，那么f〔x〕可以是

〔A〕sinx　　　〔B〕cosx〔C〕sin2x　　〔D〕cos2x

〔6〕曲线x2+y2+2

x-2

y=0关于

〔A〕直线x=轴对称　〔B〕直线y=-x轴对称

〔C〕点〔-2，

〕中心对称〔D〕点〔-

，0〕中心对称

〔7〕假设干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度是

〔A〕6

cm　〔B〕6cm〔C〕2

cm　　〔D〕3

cm

〔8〕假设〔2x＋

〕3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，那么〔a0+a2〕2-〔a1+a3〕2的值为

〔A〕-1　　　〔B〕l　　〔C〕0〔D〕2

〔9〕直线

x＋y-2

=O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为

〔A〕

　〔B〕

　　〔C〕

　　〔D〕

〔10〕如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，那么该多面体的体积为

〔A〕9/2〔B〕5〔C〕6〔D〕15/2

〔11〕假设sina＞tga＞ctga（-

＜a＜

），那么a∈

〔A〕〔-

，-

〕〔B〕〔-

，0〕〔C〕〔0，

〕〔D〕〔

，

〕

〔12〕如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：

2，那么R=

〔A〕10　　〔B〕15　　　〔C〕20　　〔D〕25

〔13〕给出以下曲线：

①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1

其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是

〔A〕①③　　〔B〕②④　　　〔C〕①②③　　〔D〕②③④

〔14〕某电脑用户方案使用不超过500元的资金购置单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒那么不同的选购方式共有

〔A〕5种　〔B〕6种　　　〔C〕7种　　〔D〕8种

第二卷（非选择题共90分）

二．填空题：

本大题共4小题；每题4分，共16分，把答案填在题中横线

（15）设椭圆

（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1假设过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，那么椭圆的离心率是_______________

（16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长．要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，那么不同的选垄方法共有______种（用数字作答）

（17）假设正数a、b满足ab=a+b+3，那么ab的取值范围是____________

（18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题：

_________________________

三．解答题：

本大题共6小题；共74分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤

（19）（本小题总分值10分）

解方程

－31gx+4=0

（20）（本小题总分值12分）

数列{an}的前n项和记为Sn，an=5Sn－3（n∈N）求

（a1+a3+…+a2n－1）的值．

（21）（本小题总分值12分）

设复数z=3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ－argz）（0<θ<

）的最大值以及对应的θ值

（22）（本小题总分值12分）

如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45º，AB=a．

（Ⅰ）求截面EAC的面积；

（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；

（Ⅲ）求三棱锥B1－EAC的体积．

（23）（本小题总分值14分）

以下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由假设干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．

（Ⅰ）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，假设每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（一对轧辊减薄率=）

（Ⅱ）一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，假设第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）．

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距Lk（单位：

mm）

1600

（24）（本小题总分值14分）

如图，给出定点A（a，0）（a>0，a≠1）和直线l：

x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．

参考答案

说明：

一．本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准制订相应的评分细那么．

二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分．

三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一．选择题：

此题考察根本知识和根本运算．第

（1）—（10）题每题4分，第（11）—（14）题每题5分．总分值60分．

（1）C

（2）A（3）A（4）C（5）B（6）B（7）B（8）A（9）C（10）D（11）B

（12）D（13）D（14）C

二．填空题：

此题考察根本知识和根本运算．每题4分，总分值16分．

（15）

（16）12（17）

（18）m⊥α，n⊥β，α⊥β

m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β

α⊥β

三．解答题

（19）本小题主要考察对数方程、无理方程的解法和运算能力．总分值10分．

解：

设

，原方程化为

y－y2+2=0——4分

解得y=－1，y=2．——6分

因为

，所以将y=－1舍去．

由

=2，

得lgx=2，

所以x=100．——9分

经检验，x=100为原方程的解．——10分

（20）本小题主要考察等比数列和数列极限等根底知识．总分值12分．

解：

由Sn=a1+a2+…+an知

an=Sn－Sn－1（n≥2），

a1=S1，——2分

由an=5Sn—3得

an－1=5Sn－1—3．——4分

于是an－an－1

=5（Sn－Sn－1）

=5an，

所以an=－

an－1．——6分

由a1=5S1—3，

得a1=

．

所以，数列{an}是首项a1=

，公比q=－

的等比数列．——8分

由此知数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…

是首项为a1=

，公比为

的等比数列．

∴

（a1+a3+a5+…+a2n－1）=

．——12分

（21）本小题主要考察复数的根本概念、三角公式和不等式等根底知识，考察综合运用所学数学知识解决问题的能力．总分值12分．

解：

由

得

．

由z=3cosθ+isinθ得tg（argz）=

．——3分

故y=tg（θ－argz）

——6分

∵

，

∴

．——9分

当且仅当

=tgθ（

）时，即tgθ=

时，上式取等号．

所以当θ=

时，函数y取得最大值

．——12分

（22）本小题主要考察空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．总分值12分．

（Ⅰ）解：

如图，连结DB交AC于O，连结EO．

∵底面ABCD是正方形，

∴DO⊥AC．

又∵ED⊥底面AC，

∴EO⊥AC．

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

——2分

∴∠EOD=45º．

DO=

a，AC=

a，EO=

a·sec45º=a．

故S△EAC=

a2．——4分

（Ⅱ）解：

由题设ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC．

又A1A⊥A1B1，

∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线．——6分

∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，

∴D1B∥EO．

又O是DB的中点，

∴E是D1D的中点，D1B=2EO=2a．

∴D1D=

=

a．

异面直线A1B1与AC间的距离为

a．——8分

（Ⅲ）解法一：

如图，连结D1B1．

∵D1D=DB=

a，

∴BDD1B1是正方形．

连结B1D交D1B于P，交EO于Q．

∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，

∴B1D⊥EO．

又AC⊥EO，AC⊥ED．

∴AC⊥面BDD1B1，

∴B1D⊥AC，

∴B1D⊥面EAC．

∴B1Q是三棱锥B1－EAC的高．——10分

由DQ=PQ，得B1Q=

B1D=

a．

∴

所以三棱锥B1－EAC的体积是

．——12分

解法二：

连结B1O，那么

=2

．——10分

∵AO⊥面BDD1B1，

∴AO是三棱锥A－EOB1的高，AO=

a．

在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图），那么

．

∴

．

所以三棱锥B1－EAC的体积是

．——12分

（23）本小题主要考察等比数列、对数计算等根本知识，考察综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力．总分值14分．

（Ⅰ）解：

厚度为α的带钢经过减薄率均为r0的n对轧辊后厚度为α（1－r0）n．

为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

α（1－r0）n≤β，

即（1－r0）n≤

．——4分

由于（1－r0）n>0，

>0，对上式两端取对数，得

nlg（1－r0）≤lg

．

由于lg（1－r0）<0，所以

n≥

．

因此，至少需要安装不小于

的整数对轧辊．——7分

（Ⅱ）解法一：

第k对轧辊出口外疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为

1600·α（1－r）k·宽度（其中r=20%），

而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为

Lk·α（1－r）4·宽度．

因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

1600·α（1－r）k=Lk·α（1－r）4（r=20%），

即Lk=1600·k－4．——10分

由此得L3=2000（mm），

L2=2500（mm），

L1=3125（mm）．

填表如下

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距Lk（mm）

3125

2500

2000

1600

解法二：

第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有

1600=L3·（1－0.2），

所以L3=

=2000（mm）．——10分

同理L2=

=2500（mm）．

L1=

=3125（mm）．

填表如下

轧辊序号k

1

2

3

4

疵点间距Lk（mm）

3125

2500

2000

1600

——14分

（24）本小题主要考察曲线与方程，直线和圆锥曲线等根底知识，以及求动点轨迹的根本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．总分值14分．

解法一：

依题意，记B（－1，b）（b∈R），那么直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C（x，y），那么有0≤x

．①——4分

依题设，点C在直线AB上，故有

．——6分

由x－a≠0，得

．②

将②式代入①代得

，

整理得y2[（1－a）x2－2ax+（1+a）y2]=0．——9分

假设y≠0，那么（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0

假设y=0，那么b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．

综上得点C的轨迹方程为

（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x

∵a≠1，

∴

（0≤x

由此知，当0

当a>1时，方程③表示双曲线一支的弧段．——14分

解法二：

如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足．

（ⅰ）当|BD|≠0时，设点C（x，y），那么0

由CE∥BD得

．——3分

∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD，

∴2∠COA=π－∠BOD．

∵

——6分

．

∴

整理得（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0

（ⅱ）当|BD|=0时，∠BOA=π，那么点C的坐标为（0，0），满足上式．

综合（ⅰ），（ⅱ），得点C的轨迹方程为

（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x

以下同解法一．