空气动力学1-11.doc
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第一章流体介质
习题：
1-1.气瓶容积为，在时，瓶中氧气的压强是，求气瓶中氧气的重量。
解：
由完全气体状态方程……………………①
和质量体积关系……………………………②
得：
所以气瓶中氧气的重量为。
1-2.两平行圆盘，直径都为，两者相距，下盘固定，上盘以匀角速度旋转。
盘间有一种粘性系数为的液体。
假设与直径相比两盘的距离为小量，两盘之间液体的速度分布呈线性关系。
试推导粘性系数与转矩及角速度之间的关系式。
解：
如右图建立平面直角坐标系，
上盘的轴向速度设为：
，
因为两盘之间液体速度呈线性分布，所以两盘之间液体的周向速度为：
……………………………①
摩擦应力为：
………………………②
取上盘微段圆环为研究对象，其转矩为：
……………………………③
∵……………………………④
∴①、②、④代入③得：
两边积分得：
，即为粘性系数与转矩及角速度之间的关系。
1-3.用容积为的金属罐作水压试验。
先在容器内注满一个大气压的水，然后加压注水，使容积内压强增加到，问需再注入多少水？
解：
有水的体积弹性模数公式可知水压试验后容器内的液体密度增量为：
，
则多注入水的体积为：
。
1-4.某发动机的设计高度为，试求出该高度处的大气压强、密度和温度，并于国际标准大气压上所给出的参数相比较。
解：
此发动机设计高度在对流层，该高度处大气温度为：
该高度处大气压强为：
该高度处大气密度为：
国际标准值为（处）：
，计算结果和标准值比较吻合。
1-5.某日气压表的读数为汞柱，试求在每平方米面积上大气压强所作用的力为多少牛顿？
解：
每平方米面积上大气压强所作用的力为：
。
1-6.一个储气罐的容积为，内储的空气，试确定储气罐内空气的密度是多少？
解：
储气罐内空气密度为：
。
1-7.某气罐容积为，内储压缩空气。
已知罐中空气的温度为，压强为，试求罐内压缩空气的质量为多少千克？
解：
由完全气体状态方程……………………①
和质量体积关系……………………………②
得：
所以罐内压缩空气的质量为。
1-8.假设大气的密度是个常数，其值为，试求该大气层的上界为多少米？
（假设在海平面的压强与国际标准大气压值相同）
解：
由知大气密度是个常数时大气层上界为：
1-9.假设大气的温度是个常数，其值为，试求高度处的压强为多少？
请将该压强值和相同高度下标准大气的对应值相比较，并解释产生这种差别的主要原因。
解：
假设大气温度为常数时，高度处的压强为：
，
而高度处的压强标准值查表为：
，
。
产生这种差距的主要原因是：
压强梯度与密度成正比，而密度与温度有关，在对流层内，大气温度随高度的升高而降低，从而压强也降低，达不到海平面上时的值，并且差值很大。
所以在高空进行相关计算时，不可忽略温度变化因素。
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第二章流体运动学和动力学基础
2-1.什么叫流线、流管？
流线与迹线有什么区别？
答：
*流线是流场中某一瞬时的一条空间去想，在该线上各点的流体质点的速度与曲线在该点的切线重合。
*迹线是流场中标定的运动流体质点在一段时间内所经过的所有空间点的集合。
★流线是同一时刻不同流体质点的速度方向曲线，而迹线是同一质点在不同时刻的位置曲线。
*流管是在流场中取一条不为流线的封闭曲线C，经过曲线C上的每一点作流线，由这些流线集合构成的管状曲面称为流管。
2-2.直角坐标系中，流场速度分量的分布为。
试证过点的流线方程为：
。
解：
由流线微风方程可知：
，分离变量得：
，
两边分别对积分得流线方程为：
，。
过点时：
，所以过点的流线方程为：
。
2-3.设流场中的速度大小及流线的表达式为；。
求速度分量的表达式。
解：
由方程：
，两边对求微分：
，
得：
，
而流线微分方程为：
，
所以可假设：
同时因为
即
得，所以或。
2-4.求第2-3题中速度分量的最大变化率及方向。
【略】
2-5.试证在柱坐标系下，速度的散度表达式为。
【略】
2-6.在不可压流中，下列那几个流动满足质量守恒条件？
（a）；（b）；（c）；（d）。
解：
二维不可压流动质量守恒需满足：
（直角坐标）
或（极坐标）
（a），则，质量守恒；
（b），则，质量不守恒；
（c），可得：
，
则，质量不守恒。
（d）
对方程两边取微分，所以，
又因为流线微分方程为，所以可设，
所以，得，
所以，，此流动质量守恒。
2-7.流动运动具有分速度，试问该流场是否有旋？
如果无旋，求出其速度位函数。
解：
∵流场旋转速度：
，
∴该流场无旋。
∴速度位函数存在，为：
。
2-8.有不可压流体作定常运动，其速度场为，式中为常数。
求：
⑴线变形率、角变形率；⑵流场是否有旋；⑶是否有速度位函数存在。
解：
⑴线变形率；角变形率；
⑵流场旋转速度，流场的流动为无旋流动；
⑶∵流场流动无旋，∴速度位函数存在。
为：
。
2-9.设不可压流动的流函数为，问是否有位函数存在？
如有，求位函数。
解：
∵，∴位函数存在。
且
积分得位函数为：
。
2-10.二维位流流场为，求曲线上点处的切向速度分量。
解：
曲线在点处的切向量为：
，方向余弦为：
，
所以曲线的切向量为：
；
流动速度，在点处，
所以速度的方向导数为：
；
故曲线上点处的切向速度分量为：
。
2-11.设下列几种函数分别代表流动的三个分速度：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸；
是常数，问哪几种流动可以代表不可压流动？
解：
不可压流动中速度散度：
，对于：
⑴，，流动不可压；
⑵，，流动不可压；
⑶，，流动可压；
⑷，，流动不可压；
⑸，，流动可压。
2-12.某一流场可描述为：
问应具有什么形式，流场才能满足连续条件？
为什么？
解：
对方程两边取微分，所以，
又因为流线微分方程为，所以可设，
所以，得，
所以可得。
要满足连续方程，应有，即：
即：
，，
积分后得，此时流动质量才能守恒。
2-13.二维点涡诱导的无旋流场是否满足连续条件？
解：
设点涡强度为，点涡的诱导速度为，
则由极坐标系和直角坐标系的转化关系可知：
，
所以可求得：
，满足连续条件，
所以二维点涡诱导的无旋流场满足连续条件。
2-14.某二维流动可描述为：
试以两种方法证明图中对在暗影区的面积分等于-4。
解：
对方程两边取微分，所以，
又因为流线微分方程为，所以可设，
所以，得，
所以可得。
所以绕轴的旋转角速度为，
所以，故其对图中阴影面积的面积分为：
。
2-15.一架小飞机以的速度在海平面上飞行，求驻点处的表压（即大于或小于大气压的那部分压强）及相对流速为处的表压。
解：
海平面处的静压为一个大气压，根据伯努利方程，驻点处的表压就等于动压，即：
相对流速为处的表压为：
2-16.有一救火机，出水口直径，入水口直径，流量，进水口处水压为，见下图。
求救火机所受的反作用力。
解：
设救火机所受的反作用力为
流量，
进口面积
出口面积
进口流速
出口流速
进水口水压
出水口水压就等于大气压
则由积分形式的动量定理可知：
代入数据积分得
第三章不可压理想流体绕物体的流动
3-1.设有直匀流以正轴方向流过位于原点的点源，点源强度，试求半无限体表面上最大垂直分速度的位置及速度值，并证明，在该点处合速度的大小正好等于直匀流速度。
解：
该流动流函数为：
，则速度分量为：
，
令，求得驻点位置：
；
将驻点坐标代入流函数得：
，
所以零流线为：
，
写成极坐标形式：
；
而，
令，解得：
，此时
或，用迭代法求得：
时，，有；
时，，有。
所以在,时有，此时：
，
故，得证。
3-2.令是二维拉普拉斯方程的解，证明可以代表二维无粘不可压缩流的位函数或流函数。
解：
∵对于二维无粘不可压缩流：
其散度…………………………………①
旋转角速度……………②
又∵……………………………③
∴………………④
………………⑤
又∵是二维拉普拉斯方程的解，则…………⑥
∴由上6式可知：
可以代表二维无粘不可压缩流的位函数或流函数。
3-3.在正三角形的三个角点处放入三个等强度点源，试写出该流动的流函数，确定其驻点坐标，并粗略地勾画出对应的流谱。
解：
叠加后该流动的流函数为，
则速度
令速度：
，解得驻点位置为：
，即。
对应流谱为：
3-4.叠加中心在原点的点涡和点源，试证其合成流动是一种螺旋形流动，在这一种流动中，速度与极半径之间的夹角处处相等，其值等于。
解：
叠加后该流动的流函数为：
，
其速度为：
，切向和法向速度均为半径的函数，流动为螺旋流动。
速度与极半径之间的夹角为：
，为一常数。
3-5.在和处分别放入强度相等的点源和点汇，以直匀流沿轴流来。
设点源强度为，试求流动的流函数、前后驻点的位置及零流线的形状。
该零流线所代表的封闭物称之为兰金卵形，试确定该兰金卵形的短半轴值。
解：
⑴流动的流函数为：
…………①
⑵令速度且，
解得：
即驻点位置为。
⑶将点代入流函数①，流函数值为：
，
所以零流线为：
。
⑷画出该流线形状，确定该兰金卵形的短半轴值，设为，
将代入零流线方程：
，
即，
整理得：
，
采用数值迭代法求得该兰金卵形的短半轴为：
3-6.设有直匀流绕过两种物体，一种是兰金卵形封闭物体，另一种是半径等于兰金卵形物体短半轴的圆柱体，试比较在这两种物体表面上所产生的最大速度之比，并给出适当的物理解释。
解：
⑴直匀流绕过兰金卵形封闭物体，其流函数为：
⑵直匀流绕过圆柱体，其流函数为：
3-7.试证位于和的等强度点源和点汇，对无限远处的作用和一个位于原点的偶极子的作用完全一样。
解：
位于和的等强度点源和点汇所形成流场的位函数为：
对于无限远处，，此时流函数：
记，则：
，
和位于原点的偶极子位函数形式一样，说明位于和的等强度点源和点汇，对无限远处的作用和一个位于原点的偶极子的作用完全一样。
【也可参照课本P56幂级数展开的方法进行推导】
3-8.试证位于和处的两个等强度的旋转方向相反的点涡，当，同时保持为常数，其对应的流动与轴线在轴上的偶极子完全相同。
解：
位于和处的两个等强度旋转方向相反的点涡所形成流场的流函数为：
当，同时保持为常数，则：
轴上的偶极子对应流函数为：
，
证明位于和处的两个等强度的旋转方向相反的点涡，当同时保持为常数，其对应的流动与轴线在轴上的偶极子完全相同。
3-9.在和处分别布置强度为的等强度点汇和点源，直匀流沿轴方向流来，试写出合成流动的流函数，并证明包含驻点的流线方程为：
，设，画出合成流动对应的物体形状。
解：
⑴合成流动的流函数为：
……①
⑵令速度
解得：
即驻点位置为。
⑶将点代入流函数①，流函数值为：
，
所以零流线为：
。
⑷考虑，零流线变为：
，所以合成流动对应的物体形状为：
3-10.相距、强度为的等强度点源和点汇，位于一条与正轴成角的直线上
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