[答案] B
（2）[解] ①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是：
把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．
同理，②也是实数集R上的一个函数．
③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．
④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在．
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
（1）A，B必须是非空数集．
（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法
（1）任取一条垂直于x轴的直线l.
（2）在定义域内平行移动直线l.
（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[活学活用]
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是（ ）
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：
x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：
x→y＝
相等函数
解析：
选B A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.
[例2] 下列各组函数中是相等函数的是（ ）
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x（x≥0）
D．y＝（x＋1）2与y＝x2
[解析] 对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
[答案] B
判断函数相等的方法
判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则．
（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；
（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[活学活用]
2．下列各组式子是否表示同一函数？
为什么？
（1）f（x）＝|x|，φ（t）＝；
（2）y＝，y＝（）2；
（3）y＝·，y＝；
（4）y＝
，y＝x－3.
解：
（1）f（x）与φ（t）的定义域相同，又φ（t）＝＝|t|，即f（x）与φ（t）的对应关系也相同，∴f（x）与φ（t）是同一函数．
（2）y＝的定义域为R，y＝（）2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝（）2不是同一函数．
（3）y＝·
的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝
的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·
＝
，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·
与y＝
是同一函数．
（4）∵y＝
＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
求函数的定义域
∴y＝
与y＝x－3不是同一函数.
[例3] 求下列函数的定义域：
（1）y＝
－；
（2）y＝
.
[解]
（1）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
（2）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
求函数定义域的常用方法
（1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零．
（2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
（3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
（4）若f（x）是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
（5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[活学活用]
3．求下列函数的定义域：
（1）y＝2＋
；
（2）y＝
·
；
（3）y＝（x－1）0＋
.
解：
（1）当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋
有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
（2）函数有意义，当且仅当
解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
（3）函数有意义，当且仅当
解得x>－1，且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
求函数值和值域
[例4]
（1）已知f（x）＝
（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R），则f
（2）＝________，f（g
（2））＝________.
（2）求下列函数的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3）；
③y＝
；
④y＝2x－
.
（1）[解析] ∵f（x）＝
，
∴f
（2）＝
＝
.
又∵g（x）＝x2＋2，
∴g
（2）＝22＋2＝6，
∴f（g
（2））＝f（6）＝
＝
.
[答案]
（2）[解] ①（观察法）因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②（配方法）y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0,3），再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为[2,6）．
③（分离常数法）y＝
＝
＝3－
.
∵
≠0，∴y≠3，
∴y＝
的值域为{y|y∈R且y≠3}．
④（换元法）设t＝
，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2（t2＋1）－t＝2
2＋
，由t≥0，再结合函数的图象（如图），可得函数的值域为
.
1．函数求值的方法
（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值．
（2）求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
（1）观察法：
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：
当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
（3）分离常数法：
此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
（4）换元法：
即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f（x）＝ax＋b＋
（其中a，b，c，d为常数，且a≠0）型的函数常用换元法．
[活学活用]
4．求下列函数的值域：
（1）y＝
＋1；
（2）y＝.
解：
（1）因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞）．
（2）因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈（－1,1]．所以所求函数的值域为（－1,1].
层级一 学业水平达标
1．函数y＝＋的定义域为（ ）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}
解析：
选D 由题意可知解得0≤x≤1.
2．若函数y＝f（x）的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
解析：
选B A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f（x）＝（x－1）2和g（x）＝（x＋1）2
D．f（x）＝和g（x）＝
解析：
选D A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
4．设f（x）＝，则＝（ ）
A．1B．－1
C.D．－
解析：
选B ＝＝＝×＝－1.
5．下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（ ）
A．y＝B．y＝
C．y＝D．y＝x2＋1
解析：
选B y＝的值域为[0，＋∞），y＝的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y＝x2＋1的值域为[1，＋∞）．
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：
由题意知3a－1>a，则a>.
答案：
7．已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为________．
解析：
∵x＝1,2,3,4,5，
∴f（x）＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f（x）的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：
{－1,1,3,5,7}
8．设f（x）＝，则f（f（x））＝________.
解析：
f（f（x））＝＝＝.
答案：
（x≠0，且x≠1）
9．已知f（x）＝x2－4x＋5.
（1）求f
（2）的值．
（2）若f（a）＝10，求a的值．
解：
（1）由f（x）＝x2－4x＋5，
所以f
（2）＝22－4×2＋5＝1.
（2）由f（a）＝10，得a2－4a＋5＝10，
即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1.
10．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
解：
要使函数解析式有意义，需满足：
即
所以－2≤x≤3且x≠.
所以函数的定义域是.
用区间表示为∪.
层级二 应试能力达标
1．下列式子中不能表示函数y＝f（x）的是（ ）
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6D．x＝
解析：
选A 对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6⇒y＝x－3是一次函数；对于D，由x＝得y＝x2（x≥0）是二次函数．故选A.
2．若集合A＝{x|y＝
}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝（ ）
A．[1，＋∞）B．（1，＋∞）
C．[2，＋∞）D．（0，＋∞）
解析：
选C 集合A表示函数y＝
的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．
3．若函数f（x）＝ax2－1，a为一个正数，且f（f（－1））＝－1，那么a的值是（ ）
A．1B．0
C．－1D．2
解析：
选A ∵f（x）＝ax2－1，∴f（－1）＝a－1，
f（f（－1））＝f（a－1）＝a·（a－1）2－1＝－1.
∴a（a－1）2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
4．函数y＝的定义域为（ ）
A．（－∞，1]
B．[－1,1]
C．[1,2）∪（2，＋∞）
D.∪
解析：
选D 由题意得
解得即－1≤x≤1且x≠－，
所以函数的定义域为∪.故选D.
5．函数y＝的定义域是A，函数y＝的值域是B，则A∩B＝________（用区间表示）．
解析：
要使函数式y＝有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．
答案：
[0,2）∪（2，＋∞）
6．函数y＝的定义域用区间表示为________．
解析：
要使函数有意义，需满足即
∴定义域为（－∞，－4）∪（－4,4）∪（4,6]．
答案：
（－∞，－4）∪（－4,4）∪（4,6]
7．试求下列函数的定义域与值域：
（1）f（x）＝（x－1）2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
（2）f（x）＝（x－1）2＋1；
（3）f（x）＝；
（4）f（x）＝x－.
解：
（1）函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f（－1）＝[（－1）－1]2＋1＝5，同理可得f（0）＝2，f
（1）＝1，f
（2）＝2，f（3）＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
（2）函数的定义域为R，因为（x－1）2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
（3）函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
（4）要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1（t≥0），于是f（t）＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f（t）≥－.所以函数的值域是.
8．已知函数f（x）＝.
（1）求f
（2）＋f，f（3）＋f的值；
（2）求证：
f（x）＋f是定值；
（3）求f
（2）＋f＋f（3）＋f＋…＋f（2018）＋f的值．
解：
（1）∵f（x）＝，
∴f
（2）＋f＝＋＝1，
f（3）＋f＝＋＝1.
（2）证明：
f（x）＋f＝＋＝＋＝＝1.
（3）由
（2）知f（x）＋f＝1，
∴f
（2）＋f＝1，f（3）＋f＝1，f（4）＋f＝1，…，f（2018）＋f＝1.
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