函数导数公式及证明doc.docx

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函数导数公式及证明doc

函数导数公式及证明

函数类型

常量函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

原函数

f（x）C，C为常量

f（x）xa

f（x）xm

f（x）ax

f（x）ex

f（x）logax

f（x）lnx

f（x）sinx

f（x）cosx

求导公式

f'（x）0

（xa）'axa1

（xa）（n）a（a1）...（an1）xan

（a0,1,2...,n1）

（xm）（n）

m!

xmn,（nm）

（mn）!

（ax）'

axlna

（ax）（n）

axlnna,

（0a1）

（ex）'ex

（ex）（n）

ex

（loga

x）'

1

xlna

（loga

x）（n）

（1）n

1（n1）!

（0a1）

xnlna

（lnx）'

1

x

（lnx）（n）

（

1）n1（n

1）!

xn

（sinx）'

cosx

（sinx）（n）

sin（x

n

）

2

（cosx）'

sinx

反三角函数

双曲函数

反双曲函数

f（x）tanx

f（x）cotx

f（x）arcsinx

f（x）arccosx

f（x）arctanx

f（x）arccotx

f（x）sinhx

f（x）coshx

f（x）tanhx

f（x）cothx

f（x）arsinhx

f（x）arcoshx

f（x）artanhx

（cosx）（n）

cos（x

n

）

2

（tanx）'

sec2x

1

x

1（tanx）2

cos2

（cotx）'

csc2x

1

1（cotx）2

sin2

x

（arcsinx）'

1

1

x2

（arccosx）'

1

1

x2

（arctanx）'

1

1

x2

（arccotx）'

1

1

x2

（sinhx）'

coshx

（coshx）'

sinhx

（tanhx）'

1

cosh2x

（cothx）'

1

x

sinh2

（arsinhx）'

1

x2

1

（arcoshx）'

1

x2

1

（artanhx）'

1

1

x2

复合函数导数公式

复合函数求导公式

f（x）g（x）

f（x）gg（x）

f（x）

g（x）0

g（x）,

fg（x）

[f（x）g（x）]'f'（x）g'（x）

[f（x）gg（x）]'f'（x）gg（x）f（x）gg'（x）

[Cgf（x）]'

Cgf'（x）

'

f'（x）gg（x）f（x）gg'（x）

f（x）

g（x）

g2（x）

f'g（x）

f'（g（x））gg'（x）

1．证明幂函数f（x）

xa的导数为f'（x）

（xa）'

axa1

证：

f'（x）

limf（x

Vx）

f（x）

lim

（x

Vx）n

xn

Vx

0

Vx

Vx

0

Vx

根据二项式定理展开

（

x

）

n

Vx

lim（Cn0xn

Cn1xn

1Vx

Cn2xn2Vx2

...

Cnn1xVxn

1

CnnVxn）xn

Vx

0

Vx

消去Cn0xn

xn

limCn1xn1Vx

Cn2xn

2Vx2

...Cnn1xVxn

1CnnVxn

Vx

0

Vx

分式上下约去Vx

lim（Cn1xn1

Cn2xn

2Vx1...

Cnn1xVxn2

CnnVxn

1）

Vx

0

因Vx

0

，上式去掉零项

Cn1xn1

nxn

1

lim（x

Vx

x）[（x

Vx）n

1

x（x

Vx）n2

...

xn2（x

Vx）xn1]

Vx

0

Vx

lim[（x

Vx）n1

x（x

Vx）n2

...

xn2（x

Vx）

xn1]

Vx

0

xn1

xgxn

2...

xn

2gx

xn1

ngxn1

2．证明指数函数f（x）

ax的导数为（ax）'

axlna

证：

f'（x）limf（x

Vx）f（x）

lim

axVx

ax

Vx0

Vx

Vx

0

Vx

limax（aVx

1）

Vx0

Vx

令aVx1m，则有Vxloga（m1），代入上式

limax（aVx

1）

lim

axm

Vx

0

Vx

Vx

0loga（m

1）

lim

axm

lim

axlna

axlna

ln（m

1）

01

lim

1

Vx

0

Vx

ln（m

Vx

0

1）m

lna

m

1）

ln（m

1）x

1

根据e的定义e

lim（1

，则lim（m

1）m

e，于是

x

Vx

0

x

lim

axlna

axlna

a

x

lna

1

lne

Vx

0

ln（m

1）m

3．证明对数函数

f

（

）

log

a

x

的导数为

f

'

（x）

（logax）

'

1

x

xlna

证：

f'（x）

lim

f（x

Vx）

f（x）

lim

loga（x

Vx）

loga

x

Vx

0

Vx

Vx

0

Vx

loga

x

Vx

loga（1

Vx）

ln（1

Vx）

lim

Vx

x

lim

x

lim

x

Vx0

Vx0

Vx

Vx0Vxlna

xln（1

Vx）

ln（1

Vx）Vxx

lim

Vx

x

lim

x

Vx

0

xlna

Vx

0

x