高数一知识点.docx
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高数一知识点
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高数一知识点
第一章~~第三章
一、极限
数列极限
函数极限，，
，，
求极限（主要方法）：
（１）
（２）等价无穷小替换（P76）。
当时，
代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（），只有可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：
；
或，令，两边取对数，若，则。
结合变上限函数求极限。
二、连续
左、右连续
函数连续函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质：
最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数
左导数
右导数
微分
可导连续 可导可微 可导既左可导又右可导
求导数：
（１） 复合函数链式法则
（２） 隐函数求导法则
两边对求导，注意、是的函数。
（3）参数方程求导
四、导数的应用
（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题）
（２）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值。
（3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性）。
第四章不定积分
原函数 不定积分
基本性质 或
或
（分项积分）
基本积分公式
（1）;
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
（13）
除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式
1.2.
3.4.
5.6.
7.8. 9.
求不定积分的方法
1．直接积分法：
恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。
2．换元法：
第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法（变量代换法）
（注意回代）
换元的思想：
主要有幂代换、三角代换、倒代换
3．分部积分法
的优先选取顺序为：
指数函数；三角函数；幂函数
第五章 定积分
一、概念
1.定义
2.性质：
设、在区间上可积，则定积分有以下的性质.
（1）.；
（2）.；
（3）.；
（4）. 若在上，，则；
推论1.若在上，，则
推论2.（）
（5）.若函数在区间上可积，且，则
（6）.（定积分中值定理）设在区间上连续，则存在，使
．
3.积分上限函数及其性质
（1）．，或；
（2）．如果，则.
（3）.如果,
则.
4.广义积分
（1）.无穷限积分
．
．
收敛的充分必要条件是反常积分、同时收敛，并且在收敛时，有
．
（2）.瑕积分
为瑕点
为瑕点
为瑕点则收敛与均收敛，并且在收敛时，有
二、计算
（一）定积分的计算
1、微积分基本公式：
设函数在区间上连续，且，则
，牛顿-莱布尼兹（N-L）公式
2、换元法：
设函数在区间上连续，函数满足：
①在区间上可导，且连续；
②，，当时，，则
3、分部积分法：
，或．
4、偶倍奇零：
设函数在区间上连续，则
5、．
6、分段函数的定积分。
（二）与积分上限函数相关的计算
（三）广义积分的计算（依据定义先求原函数，再求极限）
三、定积分的应用
（一）几何应用
1、平面图形的面积
（1）直角坐标 ，
或
（2）参数方程 若与及x轴所围成的面积， 分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。
（3）极坐标 由曲线所围的曲边扇形
的面积
2、旋转体的体积
（1）直角坐标:
由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一周的旋转体的体积
由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一周的旋转体的体积
（2）参数方程由与及x轴所围成的图形绕x由旋转一周的旋转体的体积
3、平面曲线的弧长（积分限从小到大）
（1）直角坐标
（2）参数方程
（3）极坐标
（二）物理应用
（步骤：
建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分）
阿基米德螺线心形线
双纽线摆线
第六章微分方程
一、内容小结：
（一）、概念：
微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关
（二）、解的结构
齐次线性
非齐次线性
1、是（*）的解，则也是（*）的解；若线性无关，则为（*）的通解）
2、是（**）的解，则是对应齐次线性方程的解
是（*）的通解，是（**）的解，则是（**）的通解
（三）、解方程：
判别类型，确定解法。
一阶，二阶。
二、一阶微分方程求解
1、可分离变量方程
或或
解法：
先分离变量,两边再同时积分
2、齐次方程
则
或者解法：
3、一阶线性微分方程
齐次线性
非齐次线性
三、二阶微分方程求解
（一）、可降阶情形
1、
2、不显含y的二阶方程
解法：
3、不显含x的二阶方程
解法：
（二）、二阶线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程（其中为常数）
特征方程
特征根
且为实根,则微分方程通解为
为相等实根,则微分方程通解为
为一对共轭复根,则微分方程通解为
2、二阶常系数非齐次线性微分方程
（为常数，是m次多项式）
其具有特解形式其中为与同次的多项式,
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