棱锥高中数学.docx

棱锥高中数学.docx

《棱锥高中数学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《棱锥高中数学.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

棱锥高中数学

§9.7　棱　　　锥

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．棱锥的概念及性质．

2．正棱锥的概念及性质．

3．正棱锥直观图的画法．

4．正棱锥的侧面积．

（二）能力训练点

1．在理解并掌握棱锥概念及性质的过程中，努力提高学生观察、抽象和概括能力．

2．通过正棱锥直观图画法的教学，进一步提高学生作图、识图能力，为发展学生的空间能力奠定良好的基础．

3．正棱锥的性质2揭示了如何把空间问题转化为平面几何问题的奥秘，通过教学可培养学生分析立体图形的能力．

（三）德育渗透点

1．棱锥的形象是非常的美，教学过程要注意挖掘图形的美育潜能，给学生以美感教育．

2．正棱锥的性质2是转化正棱锥计算问题为平面计算问题的桥梁，通过它使空间问题和平面问题这对矛盾得以统一，教学过程要注意帮助学生树立统一的辩证唯物主义观点．

3．正棱锥侧面积公式的获得，是将空间图形展成平面图形的结果，教学过程要注意培养学生运用运动变化的观点来分析问题的思维方式．

二、教学重点、难点、疑点及解决办法

1．教学重点：

正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题．

2．教学难点：

正棱锥的直观图的画法．

3．教学疑点：

一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和．

三、课时安排

本课题建议安排2课时：

四、教与学过程设计

第一课时　棱锥的概念和性质

（一）引入

师：

埃及与我们国家一样堪称世界文明古国．其最具有象征意义的是金字塔，它是古埃及人民智慧的结晶，它的形状给我们以棱锥的形象．今天我们学习棱锥，不仅要感受它的形象美，还要探究它的内在美．（激发学生的学习热情．）

（二）棱锥的概念及基本元素

（把画有图2-9、图2-10、图2-11的小黑板挂出）

师：

请同学们注意观察图2-9到图2-11，它们的各个面有什么特点？

生1：

有一个面是多边形，其余各面都是三角形．

生2：

（补充）三角形的面有一个公共点．

师：

棱锥的特点是：

有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形．

下面请一位同学来说说什么是棱锥．

生：

有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．（注意纠正学生的表达．）

师：

下面请同学们打开课本P．59阅读课文，注意棱锥有哪些元素？

然后，就图2-9．请同学们说出具体的线段、面点的名称，也可以说出棱锥的元素，让学生在图形中找到具体的线段、面或点．

师：

棱锥的表示法有两种：

其一是用顶点的字母和底面顶点的字母来表示，如图2-9可表示为：

棱锥S-ABCD；也可用顶点的字母和底面一条对角线两端点的字母表示，如棱锥S-AC．不管哪种表示法都要冠以“棱锥”．棱锥根据其底面多边形的边数，分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等．如图2-9是四棱锥，图2-10是五棱锥．

（三）正棱锥的概念及性质

师；如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．要注意只有两条件：

第一底面是多边形，第二顶点在底面上的射影是底面的中心同时满足时，棱锥才叫正棱锥．

一个棱锥若是正棱锥，则它一定具备以上两条特点．

下面请同学们思考以下问题．

问题1：

如果图2-9是正四棱锥，那么它的侧棱长有什么关系？

侧面三角形有何特点？

（引导学生利用射影定理来分析．）

生：

因为AO=BO＝CO=DO，所以SA=SB=SC＝SD，侧面三角形是全等的等腰三角形．

师：

在正棱锥中我们把侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高．（注意不是正棱锥没有斜高），即六棱锥的高、斜高、底面边心距、底面半径、侧棱这五条线段中哪些线段的组合可构成直角三角形？

生：

高、斜高、边心距；高、侧棱、半径．

由教师板书正棱锥的两条性质．

问题2：

正棱锥各侧面与底面所成的角有什么关系？

各侧棱与底面所成的角有什么关系？

生：

相等，因为所有由高、斜高、边心距组成的三角形都全等；所有由高、侧棱、半径组成的三角形都全等．

问题3：

如果一个棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，那么它是否是正棱锥？

师：

请同学们注意观察这个图形，显然它不是正三棱锥．

问题4：

如果一个棱锥的底面既有外接圆，又有内切圆，且侧棱长都相等，那么它是否是正棱锥？

师：

请同学们观察图形，其中∠ABC＝90°，O是AC的中点，且SO⊥面ABC，请一位同学用这个图形说明问题．

生：

因为OC=OA＝OB，且SO⊥面ABC，所以SA＝SB=SC，又Rt△ABC既有内切圆又有外接圆，问题的条件都符合，但棱锥S-ABC不是正棱锥．

（通过以上教学，使学生掌握用特例来判断命题的真伪的方法，从而培养学生探究问题的能力．）

（四）棱锥的一个重要性质

定理：

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．

师：

要证两个多边形相似应该去证什么？

生：

对应角相等，对应边成比例．

师：

两个相似多边形的面积比等于什么？

生：

相似比的平方即边的比的平方．

师：

请同学们阅读课本P．61中定理的证明．

（待同学们阅读完后）

师：

这个定理的证明，是通过两平行平面的性质定理和等角定理来证明多边形相似，然后利用相似多边形的性质，把面积比较化为边的比的平方，再通过平行把边的比的平方传递给高的比的平方，这种转移比例的手段是我们常用的，大家要好好体会．

例1　如图2-14，已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM＝l，求经过SO的中点平行于底面的截面△A'B'C'的面积．

师：

因为截面A'B'C'过高SO的中点，所以S△A'B'C'：

S△ABC＝1：

是求底面三角形的边长，如何根据已知条件求出AB？

生：

在Rt△SOM中，SM＝l，SO＝h，所以OM可求，又在Rt＝AOM中∠MAO＝3O°，故AM可求，即AB可求．

师：

从刚才同学的回答中，我们得到启示，联系性质2中两个直角三角的直角三角形AOM是非常关键的，解题中大家要加以应用．请同学们阅读课本P．62的解题过程．

（五）练习

P．62练习1．

（六）总结

1．这节课我们学习了一般棱锥和正棱锥的概念，特别是正棱锥的概念大家一定要注意，两个条件缺一不可．

2．正棱锥的性质对一般棱锥不适用，性质2只阐明两个直角三角形其实应该是三个．

3．一般棱锥平行于底的截面的性质，是截面问题的重要解题依据．大家一定要注意的是截得的棱锥的高与原棱锥高的比的平方，不要记错为高被截成两段的比的平方．

五、作业

课本P．65中习题八1-6．

六、板书设计

图2-9～图2-11画在小黑板上

棱锥的概念及性质

1．棱锥的概念

棱锥的定义：

棱锥的表示法：

棱锥的分类：

2正棱锥的概念及性质

性质1（略）

性质2（略）

3．一般棱锥的性质

定理（略）

例1（略）

第二课时　正棱锥的直观图画法及侧面积

一、教与学过程设计

（一）复习提问

师：

正棱锥有两个突出的特点，请一位同学说说．

生：

正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心．

师：

今天我们首先来学习正棱锥直观图的画法．

（二）正五棱锥直观图的画法

平放量的直观图．

中心．）

待同学们画好后．

师：

在同学们画的图形中，过O'作一条轴O'z'使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，并在其上的O'S'＝2.3（cm），并连结S'与点A'、B'、C'、D'、E'，则棱锥S'-A'B'C'D'E，便是高为11.5（cm）．底面边长为5（cm）的正五棱锥（为什么高是11.5cm？

）．

生：

因为2.3（cm）×5＝11.5（cm）

师：

我们总结正棱锥直观图的画法，请一位同学来说．

生：

先画底面的直观图，再画O'z'轴，使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，然后在O'z'上截取高，最后连结截点和底面上的顶点即是．

（三）正棱锥的侧面积

利用模型让学生观看，把正棱锥沿侧棱将侧面展成平面的演示．

师：

如果这个正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为h'，问这个展开图的面积是多少？

正棱椎的侧面积又是多少？

（教师把定理板书出来．）

定理：

如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h'，那么它的侧

（然后请同学们阅读课本P．64例3及解题过程，教师抄写补充例题．）

补例1　棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高截成1∶2，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

A．1∶9

B．1∶8

C．1∶4

D．1∶3

师：

我们可以从一个侧面来考虑被截成两部分面积的比，如图2-15设为一个侧面三角形，则有A'B'∥AB且A'B'：

AB＝1∶3．

由于△SA'B'～△SAB，所以S△A'B'∶S△SAB＝1∶9，所以S△SA'B'∶S四边形A'B'BA＝1∶8．

根据等比性质得，两部分面积的比为1∶8，故应选B答案．

补例2　正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积．

师：

问题的关键在于求出斜高，所以在图中作出三个Rt△，在Rt

小结：

大家要善于应用正棱锥的性质2．

补例3　底面为矩形的四棱锥P-ABCD，PA⊥底面，PA＝3cm，AB=4cm，BC＝3cm，求棱锥P-BCD的侧面积．

师：

由于棱锥P-BCD是斜棱锥，我们没有现成公式可用，所以只好分别计算S△PBC，S△PCD及S△PBD，因为PA⊥底面，且AB⊥BC．

∴PB⊥BC，故△PBC是Rt△，同理△PDC也是Rt△，由于PB

作AE⊥BD于E，并连结PE，则PE⊥BC（为什么？

）即PE是△PBD的一条高，在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3∴BD＝5．又AB·AD

小结：

一般棱锥的侧面积采取逐个计算再求总和的方法．

（四）练习

课本P．64练习1、2．

（五）总结

1．正棱锥直观图作法

2．正棱锥的侧面积公式

3．一般棱锥侧面积的计算方法

二、作业

课本P．65中7-10．

三、板书设计

正棱锥直观图的画法

1．正棱锥直观图的画法

①画底面的直观图．

②画O'z'轴使∠x'O'z'=90°

③在0'z'上截取，O'S等于正棱锥的高．

④连结S与底面直观图上各顶点．

2．正棱锥的侧面积

定理（略）

补充例1、例2、例3．