三角函数的图像与性质 教案.docx

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三角函数的图像与性质教案

三角函数的图象与性质

教学目标

1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．

2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、

3．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

重点难点

重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题．

难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度．

教学过程

三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻．

一、三角函数性质的分析

1．三角函数的定义域

这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．

函数y=cotx的定义域是x≠π或（kπ，kπ+π）（k∈Z），这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．

（2）函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同．

例1　求下列函数的定义域：

π]（k∈Z）．

形使函数定义域扩大．

的某些区间与-3≤x≤3的交集不空，这些区间可以通过k取特殊值得到．注意不要遗漏．

（3）满足下列条件的x的结果，要熟记（用图形更便于记住它的结果）．

是　　　　　　　　[　　　]

所以选C．

2．三角函数的值域

（1）由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1．

（2）复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．

常用的一些函数的值域要熟记．

③y=tanx+cotx∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．

例4　求下列函数的值域：

（2）y=3cos2x+4sinx

①x∈R；

④x是三有形的一个内角．

（3）y=cosx（sinx+cosx）；

（5）y=sin（20°-x）+cos（50°+x）．

若把上式中的sinx换成cosx，解法、答案均与上面相同．

sinx=0时，ymax=3，所以y∈[-4，3]；

（5）解法一　将cos（50°+x）变为sin（40°-x），和差化积得

y=2sin（30°-x）·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]．

解法二　用正弦、余弦的两角和与差的公式展开，得

y=（sin20°cosx-cos20°sinx）+（cos50°cosx-sin50°sinx）

=（sin20°+cos50°）cosx-（cos20°+sin50°）sinx

=（sin20°+sin40°）cosx-（sin70°+sin50°）sinx

=2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx

=2cos10°·sin（30°-x）∈[-2cos10°，2cos10°]．

评述　以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域．

求tanβ的最大值．

解　α为锐角，tanα＞0，所以

3．三角函数的周期性

（1）对周期函数的定义，要抓住两个要点：

①周期性是函数的整体性质，因此f（x+T）=f（x）必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f（x）的周期．

②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．

因为sin（2kπ+x）=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ（k∈Z，k≠0）是y=sinx的周期，最小正周期是2π．

同理2kπ（k∈Z，k≠0）是y=cosx的周期，最小正周期是2π．

因为tan（kπ+x）=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ（k∈Z，k≠0）是y=tanx的周期，最小正周期是π．

同理kπ（k∈Z，k≠0）是y=cotx的周期，最小正周期是π．

（3）三角函数的周期性在三角函数性质中的作用

①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．

②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．

③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．

例6　求下列函数的周期：

上式对定义域中任一个x成立，所以T=π；

4．三角函数的奇偶性，单调性

研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．

[　　　]

A．②　　　　B．①②C．②③　　　　D．①②③

原点不对称，所以函数①既非奇函数又非偶函数；②因为f（-x）=-f（x），所

但是周期函数，T=2π．因此选C．

评述　在判定函数是奇函数或是偶函数时，一定要注意函数的定义域，一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．因此对①，不能根据f（-x）+f（x）=0就判定①为奇函数．

原来的函数既不是奇函数，也不是偶函数．因此在研究函数性质时，若将函数变形，必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数，

例8　给出4个式子：

①sin2＞cos2＞tan2；②sin2＞sin3＞sin4；③tan1＞sin1＞cos1；④cos1＞cos2＞cos3．正确的序号是______．

而（0，π）是y=cosx　的递减区间，所以④正确．

例9　函数y=-cosx-sin2x在[-π，π）的递增区间是______．

评述　研究函数的性质首先要注意函数的定义域．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

A．是增函数　　　　　　　　　　B．是减函数

C．可以取得最大值M　　　　　　D．可以取得最小值-M

5．三角函数的图象

（1）画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象．

（2）函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx　图象的对称中心分别为

∈Z）的直线．

例12　画出下列函数在一个周期的图象：

解

（1）T=π．

如图10．

（2）T=2π．如图11．

　　　　　[　　　]

最大或最小值的即是，所以选A．

（4）三角函数图象的平移变换，伸缩变换．

一个周期的图象，则图象的解析式为______．

还可以这样研究：

二、综合题分析

例17　方程sinx=log20x根的个数是______．

分析　在同一坐标系中作出y=sinx、y=log20x的图象．

（2π，4π），（4π，6π）中，两图象分别有1个、2个、2个交点，因此方程根的个数为5个．

例18　已知函数y=sinx·cosx　+sinx+cosx，求y的最大、最小值及取得最大、最小值时的x值．

解　令sinx+cosx=t．

（k∈Z）时，ymin=-1；

求：

（1）函数的取值范围；

（2）函数的递减区间．

解　sin3x·sin3x+cos3x·cos3x

实数．

π]（k∈Z）．

的最小正周期．

有一动点P，过P引平行于OB的直线交OA于Q，求△POQ面积的最大值及此时P点的位置．

解　如图13．

设∠POB=θ∈（0°，120°），则∠QPO=θ．

能力训练

2．设θ是第二象限角，则必有　　　　　　　　[　　　]

　[　　　]

A．y=tanx　　　　　　　B．y=cos2x

4．函数f（cosC）=cos2C-3cosC，则f（sinC）的值域是　　　[　　　]

5．

（1）函数y=cos（tanx）的定义域是______，值域是______；

（7）设a=tan48°+cot48°，b=sin48°+cos48°，c=tan48°+cos48°，d=cot48°+sin48°．将a，b，c，d从小到大排列的结果是______．

6．将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标扩大两倍，纵坐标不变，然

的图象完全相同，则函数y=f（x）的表达式是______．

7．

（1）已知sinα+sinβ=1，则cosα+cosβ的取值范围是______；

（2）已知3sin2α+2sin2β=2sinα，则sin2α+sin2β的取值范围是______．

8．求下列函数的周期：

（1）y=cot2x-cotx；

（3）y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x．

9．求函数y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值．

11．设f（x）=sin（x+θ）+cos（x-θ），求使f（x）为偶函数的充分必要条件．

数a的取值范围．

实数m的取值范围．

答案提示

1．B　2．C　3．D　4．B

（3）奇函数，R

（7）d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°＞0，所以d＞b；c-

7．

（1）设cosα+cosβ=x，则（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ）2=2+2cos（α

3]

11．sin（-x+θ）+cos（-x-θ）=sin（x+θ）+cos（x-θ）

cos（x+θ）-cos（x-θ）=sin（x+θ）+sin（x-θ）

-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ

-sinθ=cosθ

14．设sinθ=t∈[0，1]，题目变成t2-2mt+2m+1＞0对t∈[0，1]

设计说明

三角函数的每一条性质都要求记忆和理解，每一个函数的图象也要求熟练掌握，因此在复习时，首先以一些小题为主，使学生把每一条性质都弄清楚．由于在研究性质时必然要涉及三角变换，而这一点对学生来说是难点，所以在复习时不要由于三角变换削弱了性质的复习．

在复习这部分内容时，应抓住核心的两点：

三角函数的图象和三角函数的周期性．