届高三文科数学一轮复习学案 101随机抽样.docx
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届高三文科数学一轮复习学案101随机抽样
§10.1 随机抽样
最新考纲
考情考向分析
1.理解随机抽样的必要性和重要性．
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；
了解分层抽样和系统抽样的方法.
在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题.
1．简单随机抽样
（1）定义：
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
（2）最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
（3）应用范围：
总体个体数较少．
2．系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
（1）先将总体的N个个体编号；
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当
（n是样本容量）是整数时，取k＝
；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
（1）定义：
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
（2）分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）简单随机抽样是一种不放回抽样．（ √ ）
（2）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．（ × ）
（3）抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．（ × ）
（4）系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．（ √ ）
（5）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（ × ）
（6）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．（ × ）
题组二 教材改编
2．[P100A组T1]在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析 由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.
3．[P100A组T2]某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ）
A．33,34,33B．25,56,19
C．20,40,30D．30,50,20
答案 B
解析 因为125∶280∶95＝25∶56∶19，
所以抽取人数分别为25,56,19.
4．[P59T2]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是（ ）
A．10B．11
C．12D．16
答案 D
解析 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.
题组三 易错自纠
5．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）
A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32
答案 B
解析 间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.
6．从300名学生（其中男生180人，女生120人）中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取的男生人数为________．
答案 30
解析 因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，
所以应该抽取的男生人数为50×
＝30.
题型一 简单随机抽样
1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：
抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是（ ）
A．这次抽样中可能采用的是简单随机抽样
B．这次抽样一定没有采用系统抽样
C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
答案 A
解析 利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误，故选A.
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B．07C．02D．01
答案 D
解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
3．下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0B．1C．2D．3
答案 A
解析 ①不是简单随机抽样．
②不是简单随机抽样．由于它是放回抽样．
③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
思维升华应用简单随机抽样应注意的问题
（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（2）在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
题型二 系统抽样
典例
（1）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案 B
解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.
（2）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
答案 B
解析 由
＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
＝
＝12.
引申探究
1．若本例
（2）中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．（填“能”或“不能”）
答案 不能
解析 若55被抽到，则55＝5＋20n，n＝2.5，n不是整数．故不能被抽到．
2．若本例
（2）中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，
所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为
＝28.
思维升华
（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．
（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．
跟踪训练将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．26,16,8B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
答案 B
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N*）组抽中的号码是3＋12（k－1）．令3＋12（k－1）≤300，得k≤
，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
典例
（1）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（ ）
A．9B．10C．12D．13
答案 D
解析 ∵
＝
，∴n＝13.
（2）某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为（ ）
A．96B．120
C．180D．240
答案 B
解析 设样本容量为n，则
＝
，
解得n＝120.
命题点2 求某层入样的个体数
典例
（1）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B．100C．180D．300
答案 C
解析 由题意得抽样比为
＝
，
∴该样本中的老年教师的人数为900×
＝180.
（2）（2017·重庆一诊）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：
今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A．104人B．108人
C．112人D．120人
答案 B
解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×
＝300×
＝108，故选B.
思维升华分层抽样问题类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：
按该层所占总体的比例计算．
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之：
根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
（3）确定是否应用分层抽样：
分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．
跟踪训练
（1）（2017·南昌一模）某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一
1000人，高二1200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于（ ）
A．860B．720
C．1020D．1040
答案 D
解析 分层抽样是按比例抽样的，
所以81×
＝30，解得n＝1040.
（2）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．
答案 200,20
解析 该地区中小学生总人数为
3500＋2000＋4500＝10000，
则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.
五审图表找规律
典例（12分）某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1200
共计
160
320
480
1040
2000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
（3）若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
抽取40人调查身体状况
↓（观察图表中的人数分类统计情况）
样本人群应受年龄影响
↓（表中老、中、青分类清楚，人数确定）
要以老、中、青分层，用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓（讨论单位发展与薪金调整）
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓（表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定）
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样
↓
要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解
↓可认为全运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当
将单位人员看作一个整体
↓（从表中数据看总人数为2000）
人员较多，可采用系统抽样
规范解答
解
（1）按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，[1分]
抽取比例为
＝
.[2分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人，12人，24人．[4分]
（2）按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，[5分]
抽取比例为
＝
，[6分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人．[8分]
（3）用系统抽样，
对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．
[12分]
1．某工厂平均每天生产某种机器零件10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，将零件编号为0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为（ ）
A．0210B．0410
C．0610D．0810
答案 B
解析 将零件分成50段，分段间隔为200，因此，第三组抽取的号码为0010＋2×200＝0410，故选B.
2．打桥牌时，将洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是（ ）
A．系统抽样B．分层抽样
C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法
答案 A
解析 符合系统抽样的特点，故选A.
3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案 A
解析 在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
，故选A.
4．（2017·长沙一中测试）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100B．150
C．200D．250
答案 A
解析 方法一 由题意可得
＝
，解得n＝100.
方法二 由题意，得抽样比为
＝
，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×
＝100.
5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7B．9C．10D．15
答案 C
解析 由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为
＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
6．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（ ）
A.23B．09C．02D．17
答案 C
解析 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.
7．（2017·雅礼中学月考）某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是（ ）
A．177B．157
C．417D．367
答案 B
解析 根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋（8－1）×20＝157.
8．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是______________．
答案 16,28,40,52
解析 编号组数为5，间隔为
＝12，
因为在第一组抽得04号：
4＋12＝16,16＋12＝28,28＋12＝40,40＋12＝52，
所以其余4个号码依次为16,28,40,52.
9．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
答案 18
解析 ∵
＝
＝
，
∴应从丙种型号的产品中抽取
×300＝18（件）．
10．（2017·潍坊模拟）某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．
答案 36
解析 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×
＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×
＝36.
11．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
答案 37 20
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则
＝
，解得x＝20.
12．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
答案 63
解析 m＝6，则在第7组中抽取的号码的个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.
13．（2017·宁夏中卫二模）某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全省统一考试（后称统考）的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是（ ）
A．3B．1C．4D．2
答案 A
解析 根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为
＝4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.
14．为调查德克士各分店的经营状况，某统计机构用分层抽样的方法，从A，B，C三个城市中抽取若干家德克士分店组成样本进行深入研究，有关数据见下表：
（单位：
个）
城市
德克士
抽取数量
A
26
2
B
13
x
C
39
y
则样本容量为________．
答案 6
解析 设所求的样本容量为n，由题意得
＝
，解得n＝6.
15．（2018·泉州质检）某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有（ ）
A．36人B．30人
C．24人D．18人
答案 A
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，∴持“喜欢”态度的有6x＝36（人）．
16．（2017·开封模拟）某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1人，则在采用系统
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