小学二年级奥数下册第十一讲 找规律法习题+答案.docx
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小学二年级奥数下册第十一讲找规律法习题+答案
第十一讲找规律法
观察、搜集已知事实,从中发现具有规律性的线索,用以探索未知事件的奥秘,是人类智力活动的主要内容.
数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力.
例1观察数列的前面几项,找出规律,写出该数列的第100项来?
12345,23451,34512,45123,…
解:
为了寻找规律,再多写出几项出来,并给以编号:
仔细观察,可发现该数列的第6项同第1项,第7项同第2项,第8项同第3项,…也就是说该数列各项的出现具有周期性,他们是循环出现的,一个循环节包含5项.
100÷5=20.
可见第100项与第5项、第10项一样(项数都能被5整除),即第100项是51234.
例2把写上1到100这100个号码的牌子,像下面那样依次分发给四个人,你知道第73号牌子会落到谁的手里?
解:
仔细观察,你会发现:
分给小明的牌子号码是1,5,9,13,…,号码除以4余1;
分给小英的牌子号码是2,6,10,14,…,号码除以4余2;
分给小方的牌子号码是3,7,11,…,号码除以4余3;
分给小军的牌子号码是4,8,12,…,号码除以4余0(整除).
因此,试用4除73看看余几?
73÷4=18…余1
可见73号牌会落到小明的手里.
这就是运用了如下的规律:
用这种规律预测第几号牌子发给谁,是很容易的,请同学们自己再试一试.
例3四个小动物换位,开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在1、2、3、4号位子上(如下图所示).第一次它们上下两排换位,第二次左右换位,第三次又上下交换,第四次左右交换.这样一直交换下去,问十次换位后,小兔坐在第几号座位上?
解:
为了能找出变化规律,再接着写出几次换位情况,见下图.
盯住小兔的位置进行观察:
第一次换位后,它到了第1号位;
第二次换位后,它到了第2号位;
第三次换位后,它到了第4号位;
第四次换位后,它到了第3号位;
第五次换位后,它又到了第1号位;
…
可以发现,每经过四次换位后,小兔又回到了原来的位置,利用这个规律以及10÷4=2…余2,可知:
第十次换位后,小兔的座位同第二次换位后的位置一样,即在第二号位.
如果再仔细地把换位图连续起来研究研究,可以发现,随着一次次地交换,
小兔的座位按顺时针旋转,
小鼠的座位按逆时针旋转,
小猴的座位按顺时针旋转,
小猫的座位按逆时针旋转,
按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位.
例4从1开始,每隔两个数写出一个数,得到一列数,求这列数的第100个数是多少?
1,4,7,10,13,…
解:
不难看出,这是一个等差数列,它的后一项都比相邻的前一项大3,即公差=3,还可以发现:
第2项等于第1项加1个公差即
4=1+1×3.
第3项等于第1项加2个公差即
7=1+2×3.
第4项等于第1项加3个公差即
10=1+3×3.
第5项等于第1项加4个公差即
13=1+4×3.
…
可见第n项等于第1项加(n-1)个公差,即
按这个规律,可求出:
第100项=1+(100-1)×3=1+99×3=298.
例5画图游戏先画第一代,一个△,再画第二代,在△下面画出两条线段,在一条线段的末端又画一个△,在另一条的末端画一个○;画第三代,在第二代的△下面又画出两条线段,一条末端画△,另一条末端画○;而在第二代的○的下面画一条线,线的末端再画一个△;…一直照此画下去(见下图),问第十次的△和○共有多少个?
解:
按着画图规则继续画出几代,以便于观察,以期从中找出图形的生成规律,见下图.
数一数,各代的图形(包括△和○)的个数列成下表:
可以发现各代图形个数组成一个数列,这个数列的生成规律是,从第三项起每一项都是前面两项之和.按此规律接着把数列写下去,可得出第十代的△和○共有89个(见下表):
这就是著名的裴波那契数列.裴波那契是意大利的数学家,他生活在距今大约七百多年以前的时代.
例6如下图所示,5个大小不等的中心有孔的圆盘,按大的在下、小的在上的次序套在木桩上构成了一座圆盘塔.现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上.规定移动时要遵守一个条件,每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘都不能压住小圆盘.假如还有第三个木桩可作临时存放圆盘之用.问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次?
(下图所示)
解:
先从最简单情形试起.
1仅有一个圆盘时,显然只需搬动一次(见下页图).
②当有两个圆盘时,只需搬动3次(见下图).
③当有三个圆盘时,需要搬动7次(见下页图).
总结,找规律:
①当仅有一个圆盘时,只需搬1次.
②当有两个圆盘,上面的小圆盘先要搬到临时桩上,等大圆盘搬到中间桩后,小圆盘还得再搬回来到大圆盘上.所以小的要搬两次,下面的大盘要搬1次.这样搬到两个圆盘需3次.
③当有三个圆盘时,必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上,见上图中的
(1)~(3).由前面可知,这需要搬动3次.然后把最下层的最大圆盘搬一次到中间桩上,见图(4),之后再把上面的两个搬到中间桩上,这又需搬3次,见图中(5)~(7).
所以共搬动2×3+1=7次.
④推论,当有4个圆盘时,就需要先把上面的3个圆盘搬到临时桩上,需要7次,然后把下面的大圆盘搬到中间桩上(1次),之后再把临时桩上的3个圆盘搬到中间桩上,这又需要7次,所以共需搬动2×7+1=15次.
⑤可见当有5个圆盘时,要把它按规定搬到中间桩上去共需要:
2×15+1=31次.
这样也可以写出一个一般的公式(叫递推公式)
对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来.
进一步进行考察,并联想到另一个数列:
若把n个圆盘搬动的次数写成an,把两个表对照后,
可得出
有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了,不必再像前一个公式那样进行递推了.
习题十一
1.先计算下面的前几个算式,找出规律,再继续往下写出一些算式:
①1×9+2=②9×9+7=
12×9+3=98×9+6=
123×9+4=987×9+5=
1234×9+5=9876×9+4=
……
2.先计算下面的奇妙算式,找出规律,再继续写出一些算式:
19+9×9=
118+98×9=
1117+987×9=
11116+9876×9=
111115+98765×9=
…
3.先计算下面的前几个算式,找出规律,再继续写出一些算式:
1×1=
11×11=
111×111=
1111×1111=
11111×11111=
…
4.有一列数是2、9、8、2、…,从第三个数起,每一个数都是它前面的两个数相乘积的个位数字(比如第三个数8就是2×9=18的个位数字).问这一列数的第100个数是几?
5.如果全体自然数按下表进行排列,那么数1000应在哪个字母下面?
6.如果自然数如下图所示排成四列,问101在哪个字母下面?
7.3×3的末位数字是9,3×3×3的末位数是7,3×3×3×3的末位数字是1.求35个3相乘的结果的末位数字是几?
习题十一解答
1.①1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678×9+9=111111111.
②9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888.
2.19+9×9=100
118+98×9=1000
1117+987×9=10000
11116+9876×9=100000
111115+98765×9=1000000
1111114+987654×9=10000000
11111113+9876543×9=100000000
111111112+98765432×9=1000000000
1111111111+987654321×9=10000000000.
3.
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
1111111×1111111=1234567654321
11111111×11111111=123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321
4.解:
按数列的生成规律再多写出一些数来,再仔细观察,找出规律:
2、9、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、…
可见,除最前面的两个数2和9以外,8、2、6、2、2、4这六个数依次重复出现.因此,可利用这个规律,按下面的方法找出第100个数出来:
100-2=98,
98÷6=16…2.
即第100个数与这六个数的第2个数相同,即第100个数是2.
5.解:
不难发现,每个字母下面的数除以7的余数都是相同的.如第1列的三个数1、8和15,除以7时的余数都是1;第2列的三个数2、9和16,除以7时的余数都是2;第3列的三个数3、10和17,除以7的余数都是3;….利用这个规律,可求出第1000个自然数在哪个字母下面:
1000÷7=142…6
所以1000在字母F的下面.
6.解:
可以这样找出排列的规律性:
全体自然数依次循环排列在A、B、C、D、D、C、B、A八个字母的下面,即
依上题解题方法:
101÷8=12…5.
可知101与5均排在同一字母下面,即在D的下面.
7.解:
从简单情况做起,列表找规律:
仔细观察可发现,乘积的末位数字的出现有周期性的规律:
看相乘的3的个数除以4的余数,
余1时,积的末位数字是3,
余2时,积的末位数字是9,
余3时,积的末位数字是7,
整除时,积的末位数字是1,
35÷4=8…3
所以这个积的末位数字是7.