半角模型旋转变换几何练习.docx
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半角模型旋转变换几何练习
考点五：
角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法
核心母题如图，在正方形ABCD中・E、F分别是BC.CD边上的点.ZEAF列5°•求证:
EF二BE+DF.
CW2XE明题.
【分析如囹，作辅助首先证明厶人△好G,遊而得到EF二FG问题即可解决.
CKS1E明：
vab=aDp
•••把厶A耽绕点人逆时针施转90。
至△AUG,可使AB与刈重合，如圉:
VZBAD=90°,ZEAF二45。
ZBAE+ZDAF=45°,•••ZEAXZFAG,VZADC=ZB=90'&,
ZFDG=180°，点F.IKG共线.在AAFE和2UFG中，
!
A£=A（rjz£.lF=ZZJG，
\af-af
•••△AFEW△人FG（SAS）•
•••EF二FG.
即；EF二BE+DF
【空评於査正方形的性质、全等三角形的判走及其性歸为核心构査而成；鯛题的关龍是作辅助线，构渣全等三甬形.
变式一：
如图.E.F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD±的点，若AECF的周长是
2,求,EAF的度数？
【考点整等三甬形的判走与性质；正方形的性质.
【分析JE长CD至使得DH=BE5连接人比得出△ABE^AkDM.可得FH二EF.即可证明213E^AATHi可得ZEAF二ZHAF,根tgZHAE=ZBAII=90o即可網題.
【笛咅潮：
延长CD至｝G使fgDH=BE,连接MB
VCE+CF+ED=25BC+CD=2,
/.ET=EE+FD,
-Aadh是Aabe逆时针选转go度°形成，AABE^AADH,
••・ZDA2NBAE,AE=AH,BE=DH,
FK=DF+DH=DF+BE=EF,ZKAE=ZBAB=90°■
AE+H
•••在ZkAFE和AAFH中，•EF・FH,
AF^AF
AAFE^AAFH,（SSS）
•••ZEAy=ZHA.F,
•・•ZMAE二90°•
/.ZEAF=45°.
【点评苹题考查了全等三角形的判走，考察了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证AAJE^AkFK是解题的关健.
变式二：
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45°,AG丄EF,求证：
AG=AB.
【考点就转的性质,全等三角形的判走与性质,正方形的性质•
【专題证明题.
【分析洗根据正方形的性质箒吩AD,ZBAT=90°,则可杷△ADE续点晰时軒施转90。
得到△ABQ,如圉，根拥施转的性质得AQ=AE,ZEAQ=90Q,ZABQ=ZD=90°,则可判断点Q在CB的延长线上，由ZEAF二45。
得到Z&Af二90。
-ZEAF二屿°,然后根据叱判断△AFQWZiAFE.得到FQ=FE,再根拥全等三角形对应边上的高相等得到结论.
【第咅证明：
丫四边形ABCD为正方形，
AAB=AD,ZBAJ=90°,
.•.把△ADE绕点A顺时针社转90°得S'JAABQ,如囹,
AAQ=AE,ZIAQ=9O°,ZABQ=ZH=90°,
而ZABC=90°,
•••空Q在CB的延长线上，
•••ZEAF=45°,
AZQAF=90°-ZEAF=45°,
AZEAF=ZQAF,
在AATQ和AAFE中，
fAF^AF
｛乙QAF=ZEAF,
AAFQ^AAFE（SAS〉,
afq=fe5
VAB±FQ»AG丄FE,
••-AB-AG・
【点评茸题考查了旋转的性质：
对应点到血转中心的距鬲相等；对应点与就转中心所连线段的夹角等于旋转角；验转前、后的囹形全等.也考查了全等三角形的判定与性质・正方形的性质.
综合：
在正方形宓9中，若弘片分别在边应；仞上移动，且满足MN=BM+ZZV；求证：
©.^MAN=^®.C^cwv=2AB®.AM.4V分别平分刁tfV和ZDNM.
练习
1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,ZA=ZC=90°,ZB二135°,K、N分别是AB、BC上的
点，若△BKN的周长是AB的2倍，求ZKDN的度数？
2、己知：
正方形ABCD中，ZMAN=45°,ZMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点'I、N.当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN二MN・
（1）当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
写出猜想，并加以证明；
（2）当ZMAN绕点A旋转到如图3的位遂时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想.
【考点】龍转的性质；全等三角形的判定2性质；正方形的性质.
【分析】
（1）BM^DN=WN咸立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM^AANM＞从而证得ME=MN.
（2）DN-BM=MN・证明方法与
（1）类并
K解苔】解：
（1）BM+DNMN成立•
证明：
如图，吃AADN线点AI帧旳针谁转90。
，
猬到AAEE.则可证得E、B、M三点共线（图形瓯正确）・
ZEAM=90°-ZKAM=90o-45°=45°>
又VZNAM=45°，
）
AE=AN
Zeam=Anam
AM=AM
•••△AEM空△ANM〈SAS），
・•・ME-MN^
•••ME=BE4-BM=DN+EM，
ADn+BM=MN；
（2）DM-BM=MN・
右线段DN上载取DQ=BM，右ZiADQ与AABM中，
1AD=AB
Z-ADO-AaBM»DQ=BM
AAADQSAABM（SAS），
••・NDAQ二ZtAM，
AZQAW=ZNAN.
15^AMN^flAAQN4>
AO=AM
ZQAN=Z3L4X
AN=AN
AAAMN^AAQN（SAS），••・MN=QN，
・・・DNBM=MN・
【点评】本题考查了族转的性质，解决此类问题的关键是正礦的利用施转不变蛍.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD-ZB+ZD二180°•E、F分别是边BC.CD上的点，且2
ZEAF二ZBAD,
（1）求证：
EF二BE+FD
（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，共他条件不变，结论是否仍然成立？
说明
理由。
B
D
C
【分析】
（1）延长CB至阳，使BM=DF,连按Wb证/LADF^AABM,iJAFAE^AMAE,即可得出營案；
囹1
®2
（2）在CB上截取BM二DF,连接AM,证厶ABM^AADF,推出AF=AM,ZDAF=ZBAM,求出ZEA»4=^EAF,证厶FAE^AMAE,推出EF二EM即可.
【解音】（1〉证明：
延长CB至M,使BM=DF,连接⑷
9
•••ZABC+ZD=180°,ZABC4-ZABM=180°
•••ZD=ZA.BM,
在厶ABM^flAADF中，
{AB-AD
zabm=zz>
BM=DF
AABM^AADF（SAS）,
••・AF二AM,ZDAF=ZBAf^
•・•ZBAD=22EAF,
•••ZDAF+ZBAE=ZEAF,
•••ZEAB+ZBAM=ZEAM=ZEAF,在AFAE和△MAE中，fAE=AE
"F=AM
/.AJAE^ANAE（SIS）,•••EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
（2）解：
EF、BExDF之间的关系是EF=BE-DF,
理由是：
在CB上荀取B壯DF,连接AM,
TZABC+ZD=180°,ZADC+ZADF=180^,
.•.ZABC=ZkDF,
在AABM和AADF中，
I
AB—AD
0=GDF
BM=DF
AAABM^AADF（SAS）>
•••AF二AN,ZDkF=ZBAMw
TZBAD=2ZEAF=2（ZEADIZDAF）=2（ZEAD+-ZBAM）=ZEAF+（ZEAD+ZBAN）
ZBAD=（ZBAM+ZEAD）+ZMAE
•••ZFUE二ZEAF在△映和MAE中，
'AE=AE
s/FA£=ZS£AE，
.AF=AAf
AFAESAMAE<5AS）・
.•.EF=EM=BE-BM=BE-DF5
即EF=BE-DF.
5、如图所示，在五边形ABCDE中，AB二AE・BC+DE二CD.ZABC+ZAED=180°求证：
AD平分ZCDE.
【分析】连接AC,延长DE到厂使EJ=BC,连接疑，易证△店（:
丝AAEF,进而可以证明AACD旦△AFD,可得ZAJSZADF即可解题.
【笛舍】解：
连接延长切到F,使EF=BC,连接AF,
ACD=FD,
•・•ZABC+ZAED二180°,ZA.EF+ZAED=180°■/.ZABC=ZAEF,
在ZkABI：
和AAEF中，
（AB^.4E
[3C=EF
/.AABC^AAEF（SAS）,
•••AC=AF,
在△肌11和厶AFD中，
\AC^AF
CD=F2>，
\AD^AD
Aacb^Aafd（sss）
AZADC=ZADFJ
即AD平分ZCBE.
6、如图，已知AB二CD二AE二BODE二2.ZABC二ZAED二90°,求五边形ABCDE的面积.
K考点】金等三角形的刘走与性质.
【专題】应用题•
K分析】可延长叹至F,使EF=BCt可得△ABC经△AEF,连AC,AD,AF,可将五边形ABCDE的面秩转化为两个△ADF的面秋，进而求出结论.
K解苔】解：
延长哑至F,使EF=BC,连AC,AD,AF,
kB=CD=XE=BC+DE,ZABC=ZAED=90°,£y:
.•.CD=EF+DE=DF,\//
在厶ABC与△AEF中，H£
厶43C=AEF
SC=EF
AkBC^AAEF（SAS>,
•••kC=lFi
在△丸CD与△AFD中.
AC=AT
•aCD=DF
AD■AD
AkCD^AAFD（SSS）,
K点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面稅的计算，应憩练塁握•
7、如图1.在四边形ABCD中.AB=AD>ZB+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZBAD=2ZEAF.
（1）求证：
EF二BE+DF；
（2）在
（1）问中，若将AAEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，
试探究EF、BE、DF之间的数最关系.
［考点】全等三角形的判走与性质.
【分析】
（1）述长CB至乩使BM=DF,逹接M，证厶ADF^AXBM,证厶FXE丝△MAE,即可得出答案：
ffil
BB2
（2）往CB上载取时二DF,连接AM,证4kBM^AADF,推出AJ二AM,ZDAF=ZBAM,求出ZEM=ZEAFj证ZXFAE空△MAE》推出EF二EM即可.
1銀音】
（1）证明：
3S-KCB至叭使BN1二DF.连接
Alfl,
TZABC+ZD=180°,ZABC+ZA.BM=180
。
•••ZD=ZABM,
在△ABM和ZkADF中，
（AS=AD
iZABXf=S
\3M^DF
・•・AABM^AADF（SAS）,
AF=AM,2DAF=ZBAM,
•••ZBAD=2ZEAFj
•••ZDAF+ZBAE=ZEAF?
•••ZEAB+ZBAN=ZEAM=ZEAF,在△FAE和△MAE中，
（A£=AE
{AF=AU
•••△FAE竺△MAE（SAS）,
••・EF=EM=BE-FBM=BE+DF.
即EF=BE+UF.
（2）®：
EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF,
谨由是：
在CB上截取胡二UF,连接刖，
TZABC4ZD=180^,ZADC+ZADF=L80Q,
ZABC=ZADT>
在△ABM和△人DF中，
（A3=AD
{Z^="DF
[3Xf=DF
.•.AABM^AADF（SAS）,
AF=kM,ZD1F=ZBAM,
TZBAD=2ZEAF=2（ZEADfZDAF）=2（ZEMJ+ZBAN）=ZEAT+（ZEAB+ZBAM）又•••ZBAD二（ZBAM+/EAD）4ZNAE
•••ZNAE=ZEAJ在AFAE和△MAE中,
（AE=AE
<^FA£=S£A£,
"=AV
/.AFAE^AMAE（SAS）•
.•.EF=EM=BE-BM=BE-DF,
即EF=BE-DF.
8.如图，在AABC中.ZACB二90°,AC二BC,P是ZkABC内一点，且PA二3,PC=2,PB=1.求ZBPC的度数
K鮮咨】解：
过点C作ED丄C"使CD=CF=2,连接CD,口，AB,
7Z14-Z2=ZACB=90°=ZDCP=Z3+Z2,
；•Z1=Z3>
在和ZkCBP中，
{CD=CP
Z3=Z1,
[ac^bc
/.ACAD^ACBP（SAS）■
•••DA=PB=1,ZADC=NBPC,在等腰RtADCF中，Z4=45°•
根据勾股定理得:
DP2=CD2+CF2=22+22=8i
VDP5+D*.2=8+1=9»AP2=32=9w
/.dp2+di2=ap2,
•••△ADF为直角三角形，即/5詣0°,则ZBFC=ZkDC=Z4+Z5=45<>十90。
二135°.
K分析】过贞C作CD丄CF・使CD=CP=2t连接CD,PD,AD,根lgAC=BC,由同角的余角相等得到夹角相等，利用SAS的三角形ACD与三角形CBP全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到AZADC=ZBPC,在直角三角形DCF中，利用勾股定理求出DP的长，由AD以及AF的长，利用勾股定理的逆定連得到三角的ADP为直角三角形，由Z4+Z5求出ZADC度数，即为ZBPC度数•
半角模型
2=丄0且&+厂=180。
.条件：
2
思路：
（IX延长其中一个补角的线段
（延长切到E,使ED=BM,连M或延长6®到尺使FB=DN,连M）
思路:
分别将和△/!
/）“以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明
M、P.N三点共线.S+S=180P且ab=AD）
例题应用：
例1、在正方形傲②中，若M、N分别在边Q?
上移
动，且满足0^诙+皿求证：
①・/WAN=45。
®.AM.创分别平分和NZWM.
思路同上略.
②.求证：
AB=AH.
例1拓展：
在正方形ABCD中，已知ZMAN^,若M、N分别在边
例2•在四边形的⑦中，NB+N©=18『，AB二AD,若E、尸分别在边
如4皿
CB、”的延长线上移动，
①•试探究线段椒BM、ZW之间的数量关系.
BC、CD匕且满足耶疥+莎求证:
练习巩固：
如图，在四边形個⑦中，NB=N»=90。
，AB=AD9若e、
^AF=-^BAD.
F分别在边切上的点，且2.求证：
EF=BE+DF.
半角
例题：
如图，将绕点（?
颤时针旋转90°,得心£）,连结MD,贝UAD=BN"tCD=CN."CD=ZBCN■・••^MCD^ZACM+ZACD
=ZACM+ZBCN
-90°-45°-45°-ZWV.
AAMDC^AMNC.
AW=A£V=x
又易得ZO4A/=45o+45o=90°,
••在RlA/LW3中■有/w2+n2=x1■故应选（B）
练习：
1.如图■正方形価8的边长为1■個、・上各存一点几Q.若"％的周长为2,求"C。
的度数・
Q
B
2.E、F分别是正方形/BCD的边8匚CD上的点■且Z£XF»45°,AllLET,〃为垂足,求证:
AH=AB•
3.如图所示.在等腰直角△购C的斜边肋上取两点M.N■使ZAfCV=45。
■记AM=m,MN=x■BN=n.求证：
以「m.”为边长的三角形的形状是直角三角形.
4已知：
如图1在RtUSU中...AB^AC•点d£分别为耀段PC上两动点•若^£UE=45°•探究线段BZXDE、比三条氏段之间的数JB关系.
小明的思路是:
绕点/!
顺对针旋转2,得到£砧，连结ED,
使问题得到解决.请你參考小明的思路探究并解决下列问融:
⑴狷想妙、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给子证明；
⑵当动点£仕线段眈上，动点D运动枉线段C址长线上时，如图2,具它条件不变,⑴中琛究的结论是合友生改变？
谴说明你的猜想并给予证明.
ffl）
m2
解析：
X如图•正方形的边长为1,AB.Q上各存一点P.Q,若的周长为2,求ZPC0的度数解：
把MDp绕点C•旋转90°到ACF的位置.CQ=CF•
VAQ+AP+QP^2t又・40+QDTP+M=2•「QD7P=QP・又DQ=BFt
:
.AQCPmZCP.
：
・4CPn"（JP•又ZpCF=90°■
・・"CQ=45。
•
2、E.F分别是正方形ABCD的边BC\CD上的点■且ZE4^=45°,AllLEFfH为垂足，求证:
AllAB.
ZB人G-ZDAF.AG^AF.
再证厶4£0空2少.
全等三角形的对应高相等
俐用三角形全等可证得）・则有AH^AB・
C
M
/N
B
3.如图所示•在等接宜角3C的料边M上取两点M.Vf使厶心=45°■记AM^m.MN=x,BN=n,求证：
以I”、”为边长的三角形的形状見直角三角形.
解：
法1：
如图所示，将M8V绕点CI6时针濮转90°.得
连按.观AD=BN=ntCDYN.ZACD^^BCNt
故3CD-ZACM♦ZACD^ZACM十ZBCN-9（T-45°-45°-ZMCN从而AMDC^AMNC.
8!
J.WD=MV=x.
而么皿/■45。
+45°・900•
故布盲角三角形MW7）中有m24-r2=t2.
法2:
我们用上一讲学习过的"对称变换"也能得到認答•如图所示■以为对称轴将ATM觀折到AQ”P的伫曹・易证和MEN天于GV对称，目APM\为直角三角形,并且可得/=A\f=m.PN=NB=rt9MN=x・
4.已知：
如图1在RIA4M中./R4C=5,AH^AC.点D.£分别为线段阳上两前点，若//14£=45°•探究线段血、BL、£1三条线段之间的数圧关系.
小明的恩路是:
把绕点.4颇时针旋转2,得到A4砂,连结FD.
便问题得到屛决.请你拓考小明的思路琛究开解决下列问题:
⑴猜想购、IX、EC三条线段之间存在的数屋关系式，并对你的券想给予证明；
（2）当动点£住线段上，动点D运动住线段CB延长线上时，如匿2，其它条件不变，⑴中探究的结论是臼友生改变？
请说明你的猜粗并给予证明・
Wi
（1）D^^BD^EC2
证明：
根据S4EC绕点A顺时针族转90°得到MBE
二MEC3MBE
・・B£=EC•AT^AE.=•ZEAC^ZETAB
在Rt&lZ/l中
・.・AH^AC
・・厶2心="5=45。
・・・/4号C/4PF-即ZEBD=対
・••加△妙二加
又.ZQ4E=45°
••・SADtZEAC-4宁
・・Z£^8+ZB・4D=45°
即ZTzfZ>=45°
・・・MED丝MED
・・DE二DE
••加"Zf+fC2
（2）关丢式DE'=BD-+EC1仍然成立
证明：
将A4加沿盲线，仍对折.得心阳，连FE
・•・MFD空5ABD
AFAR.F7）=DR
"AD=ZJL4D9MD=ZABD
又•AB=AC.・•AF^AC
•・"AE=ZFAD+ZDAE二"AD+45°
£EAC=ZBAC一ZBAE=90°-（zLDAE-ZDAB）=45°4-乙DAB
••・ZFAE=ZEAC
又TAE—AE
..AAFE^AACE
..FE^ECfZAFE=ZACE^45°
厶2=厶80=180°-厶眈=135°
••・ADFE=ZAFD一ZAFE=135。
一45。
=90°
•在RtAD"；中
DF2+FE2^DE2即QE2hM^+EC2
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