半角模型旋转变换几何练习.docx

1、半角模型旋转变换几何练习考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法核心母题 如图，在正方形ABCD中E、F分别是BC.CD边上的点.ZEAF列5 求证:EF二BE+DF.CW2XE明题.【分析如囹，作辅助首先证明厶人好G,遊而得到EF二FG问题即可解决.CKS1E明：vab=aDp把厶A耽绕点人逆时针施转90。至AUG,可使AB与刈重合，如圉:VZBAD =90 , ZEAF二45。,ZBAE + ZDAF=45 , ZEAXZFAG, V ZADC = ZB=90& ,ZFDG=180，点F . IK G共线. 在AAFE和2UFG中，!A = A(r jz.lF=ZZJG，af-a

2、fAFEW人FG (SAS) EF 二 FG.即；EF二BE+DF【空评於査正方形的性质、全等三角形的判走及其性歸为核心构査而成；鯛题的关龍是作 辅助线，构渣全等三甬形.变式一：如图.E. F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD 的点，若AECF的周长是2,求,EAF的度数？【考点整等三甬形的判走与性质；正方形的性质.【分析JE长CD至使得DH=BE5连接人比 得出 ABEAkDM.可得FH二EF.即可证明213 EAATHi 可得ZEAF二ZHAF,根tgZHAE=ZBAII=90o 即可網題.【笛咅潮：延长CD至G使fgDH=BE ,连接MBVCE+CF+ED=25 BC+CD=2

3、,/. ET=EE+FD,-Aadh是Aabe逆时针选转go度形成， AABEAADH, ZDA2NBAE, AE=AH, BE=DH,FK=DF+DH=DF+BE=EF, ZKAE= Z BAB=90 AE+H在ZkAFE和AAFH中， EFFH ,AFAFAAFEAAFH, (SSS) ZEAy = ZHA.F, ZMAE 二90 /. ZEAF=45 .【点评苹题考查了全等三角形的判走，考察了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证 AAJEAkFK是解题的关健.变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45 , AG丄EF, 求证：AG=AB.【考点就转

4、的性质,全等三角形的判走与性质,正方形的性质【专題证明题.【分析洗根据正方形的性质箒吩AD, ZBAT=90 ,则可杷ADE续点晰时軒施转90。得 到ABQ,如圉，根拥施转的性质得AQ=AE, ZEAQ=90Q , ZABQ=ZD=90 ,则可 判断点Q在CB的延长线上，由ZEAF二45。得到Z&Af二90。-ZEAF二屿 ,然后根据 叱判断AFQWZiAFE.得到FQ=FE,再根拥全等三角形对应边上的高相等得 到结论.【第咅证明：丫四边形ABCD为正方形，A AB=AD , ZBAJ=90 ,.把 ADE绕点A顺时针社转90 得SJAABQ,如囹,A AQ=AE, ZIAQ=9O , ZAB

5、Q=ZH=90 ,而ZABC=90 ,空Q在CB的延长线上，ZEAF=45 ,A ZQAF=90 -ZEAF=45 ,A ZEAF=ZQAF,在AATQ和AAFE中，fAFAF乙 QAF= ZEAF ,AAFQ AAFE (SAS,afq=fe5V AB FQ AG丄 FE,- AB-AG 【点评茸题考查了旋转的性质：对应点到血转中心的距鬲相等；对应点与就转中心所连线 段的夹角等于旋转角；验转前、后的囹形全等.也考查了全等三角形的判定与性质 正方形的性质.综合：在正方形宓9中，若弘片分别在边应；仞上移动，且满足MN=BM +ZZV； 求证：. MAN=. Ccwv = 2AB . AM. 4V

6、分别平分刁tfV和ZDNM.练习1、如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC, ZA=ZC=90 , ZB二 135 , K、N 分别是 AB、BC 上的点，若BKN的周长是AB的2倍，求ZKDN的度数？2、己知：正方形ABCD中，ZMAN=45 , ZMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分 别交CB、DC （或它们的延长线）于点I、N.当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时（如 图1）,易证BM+DN二MN（1） 当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样 的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2） 当ZMAN绕点A旋转到如图3的位遂时，线段BM、DN和MN之间又有怎

7、样的 数量关系？请直接写出你的猜想.【考点】龍转的性质；全等三角形的判定2性质；正方形的性质.【分析】(1 ) BMDN=WN咸立，证得B、E、M三点共线即可得到 AEMAANM从而证得ME=MN.(2) DN-BM=MN证明方法与(1)类并K解苔】解：(1 ) BM+DNMN成立证明：如图，吃AADN线点AI帧旳针谁转90。，猬到AAEE.则可证得E、B、M三点共线(图形瓯正确)ZEAM=90 -ZKAM=90o -45 =45 又 VZNAM=45，)AE=ANZeam= AnamAM=AMAEM 空ANMSAS)， ME-MN ME=BE4-BM=DN+EM，ADn+BM=MN；(2)

8、DM-BM=MN右线段DN上载取DQ=BM， 右ZiADQ与 AABM中，1AD=ABZ-ADO- AaBM DQ = BMA AADQS AABM (SAS)， NDAQ 二 ZtAM，A ZQAW=ZNAN.15AMNflAAQN4 AO=AMZQAN= Z3L4XAN=ANA AAMN AAQN (SAS)， MN=QN，DN BM=MN【点评】本题考查了族转的性质，解决此类问题的关键是正礦的利用施转不变蛍.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD- ZB+ZD二180 E、F分别是边BC. CD上的点，且2ZEAF 二 ZBAD,(1)求证：EF二BE+FD(2)如果E、F分别是边BC

9、、CD延长线上的点，共他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。BDC【分析】(1)延长CB至阳，使BM=DF,连按Wb证/LADFAABM, iJAFAEAMAE,即可得出營案；囹12(2)在 CB 上截取 BM 二 DF,连接 AM,证厶 ABM AADF,推出 AF=AM , ZDAF = ZBAM,求出 ZEA4=E AF,证厶FAEAMAE,推出EF二EM即可.【解音】(1证明：延长CB至M,使BM=DF,连接9 ZABC+ZD = 180 , ZABC4-ZABM=180 ZD=ZA.BM ,在厶ABMflAADF中，AB-ADzabm= zz,BM=DFAABM AADF (SAS

10、),AF二AM, ZDAF=ZBAf ZBAD=22EAF, ZDAF+ZBAE=ZEAF, ZEAB+ZBAM=ZEAM=ZEAF, 在AFAE和MAE中， fAE=AEAF 二 AN, ZDkF=ZBAM wTZBAD=2ZEAF=2 (ZEADIZDAF) =2 (ZEAD+-ZBAM) =ZEAF+ ( ZEAD+ZBAN)ZBAD= ( ZBAM+ZEAD) +ZMAE ZFUE二 ZEAF在映和MAE 中，AE=AEs/FA=ZSAE，.AF=AAfAFAESAMAE 5AS).EF=EM=BE-BM=BE-DF5即EF=BE-DF.5、如图所示，在五边形ABCDE中，AB二AEB

11、C+DE二CD. ZABC+ZAED=180求证：AD平分Z CDE.【分析】连接AC,延长DE到厂使EJ=BC,连接疑，易证店（:丝AAEF,进而可以证明AACD旦AFD, 可得ZAJSZADF即可解题.【笛舍】解：连接延长切到F,使EF=BC,连接AF,ACD=FD, ZABC+ZAED二 180 , ZA.EF + ZAED=180 /. ZABC=ZAEF,在 ZkABI：和 AAEF 中，(AB.4E，AD ADAacbAafd (sss)A ZADC=ZADF J即AD平分ZCBE.6、如图，已知 AB二CD二AE二BODE二2. ZABC二ZAED二90 ,求五边形 ABCDE

12、的面积.K考点】金等三角形的刘走与性质.【专題】应用题K分析】可延长叹至F,使EF=BCt可得ABC经AEF,连AC, AD, AF ,可将五边形ABCDE的面秩转化 为两个ADF的面秋，进而求出结论.K解苔】解：延长哑至F,使EF = BC,连AC, AD, AF,kB=CD = XE = BC + DE, ZABC=ZAED=90 , y :.CD=EF + DE = DF, / /在厶 ABC 与 AEF 中， H 厶43C= AEFSC=EFAkBCAAEF (SAS , kC=lF i在丸CD与AFD中.AC = ATa CD = DFAD ADAkCDAAFD (SSS),K点评】

13、本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面稅的计算，应憩练塁握7、如图 1.在四边形 ABCD 中.AB=AD ZB+ZD=180 , E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且ZBAD=2ZEAF.(1)求证：EF二BE+DF；(2)在(1)问中，若将AAEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、 CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数最关系.考点】全等三角形的判走与性质.【分析】(1)述长CB至乩 使BM=DF,逹接M，证厶ADFAXBM,证厶FXE丝MAE,即可得出答案：ffilBB2(2)往CB上载取时二DF,连接AM,证4kBMAADF,推出AJ二AM,

14、 ZDAF=ZBAM,求出ZEM = ZEAFj证ZXFAE空MAE推出EF二EM即可.1銀音】(1 )证明：3S-KCB至叭 使BN1二DF.连接Alfl,T ZABC + ZD=180 , ZABC + ZA.BM=180。, ZD=ZABM,在ABM 和 ZkADF 中，(AS = ADi Z ABXf= S3MDF AABMAADF (SAS),AF=AM , 2DAF=ZBAM, ZBAD=2ZEAFj ZDAF + ZBAE=ZEAF? ZEAB + ZBAN=ZEAM=ZEAF , 在FAE和MAE中，(A = AE在ABM和人DF中，(A3 = AD Z= DF3Xf=DF.A

15、ABMAADF (SAS),AF=kM, ZD1F=ZBAM,T ZBAD=2ZEAF=2 (ZEADfZDAF) =2 ( ZEMJ+ZBAN) =ZEAT+ (ZEAB + ZBAM) 又ZBAD二(ZBAM+/EAD) 4ZNAE ZNAE=ZEAJ在AFAE和MAE中,(AE = AE在和 ZkCBP 中，CD = CPZ3 = Z1 ,acbc/. ACADACBP (SAS) DA=PB=1, ZADC = NBPC, 在等腰RtADCF中，Z4=45 根据勾股定理得:DP2=CD2+CF2=22+22=8iVDP5+D*.2=8+1=9 AP2=32=9w/.dp2+di2=ap

16、2,ADF为直角三角形，即/5詣0 , 则ZBFC=ZkDC=Z4 + Z5=45 十90。二 135 .K分析】过贞C作CD丄CF使CD=CP=2t连接CD, PD, AD,根lgAC=BC,由同角的余角相等得到夹角相 等，利用SAS的三角形ACD与三角形CBP全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到A ZADC=ZBPC,在直角三角形DCF中，利用勾股定理求出DP的长，由AD以及AF的长， 利用勾股定理的逆定連得到三角的ADP为直角三角形，由Z4+Z5求出ZADC度数，即为ZBPC 度数半角模型2 =丄0且&+厂=180。. 条件： 2思路：（IX延长其中一个补角的线段（延长切到E,

17、使ED=BM ,连M或延长6到尺使FB=DN ,连M ）思路:分别将和/!/)“以AM和AN为对称轴翻折，但一 定要证明M、P. N 三点共线. S+S=180P且ab=AD)例题应用：例1、在正方形 傲中，若M、N分别在边Q?上移动，且满足 0诙+皿 求证：/WAN=45。.AM.创分别平分和NZWM.思路同上略.求证：AB=AH.例1拓展：在正方形ABCD中，已知ZMAN,若M、N分别在边例2在四边形的中，NB+N=18，AB二AD,若E、尸分别在边如4皿CB、”的延长线上移动，试探究线段椒BM、ZW之间的数量关系.BC、CD匕且满足耶疥+莎求证:练习巩固：如图，在四边形個中，NB=N=9

18、0。，AB=AD9若e、AF=-BAD.F分别在边切上的点，且 2 .求证：EF=BE +DF.半角例题：如图，将绕点（?颤时针旋转90 ,得心）,连结MD , 贝UAD = BN t CD = CN . CD = ZBCN MCD ZACM + ZACD= ZACM + ZBCN-90-45-45-ZWV .A AMDCAMNC .A W=AV=x又易得 ZO4A/ = 45o + 45o = 90 ,在 Rl A/LW3 中有 /w2 + n2 = x1 故应选(B)练习：1.如图正方形価8的边长为1 個、上各存一点几 Q .若的周长为2 ,求C。的度数QB2. E、F分别是正方形/BCD

19、的边8匚CD上的点且ZXF45 , All LET , 为垂足, 求证:AH=AB 3.如图所示.在等腰直角购C的斜边肋上取两点M. N 使ZAfCV = 45。记AM=m , MN=x BN = n . 求证：以m. ”为边长的三角形的形状是直角三角形.4已知：如图1在RtUSU中. .ABAC 点d 分别为耀段PC上两动点若UE=45 探 究线段BZX DE、比三条氏段之间的数JB关系.小明的思路是:绕点/!顺对针旋转2 ,得到砧，连结ED ,使问题得到解决.请你參考小明的思路探究并解决下列问融:狷想妙、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给子证明；当动点仕线段眈上，动点D

20、运动枉线段C址长线上时，如图2 ,具它条件不变,中琛究的结论是合友生 改变？谴说明你的猜想并给予证明.ffl)m2解析：X如图正方形的边长为1, AB. Q上各存一点P. Q ,若的周长为2,求ZPC0的度数 解： 把MDp绕点C旋转90到ACF的位置.CQ = CF VAQ+AP+QP2 t 又40 + QDTP + M = 2 QD7P = QP 又 DQ=BF t:.AQCPmZCP .： 4CPn(JP 又 ZpCF = 90 CQ = 45。2、E. F分别是正方形ABCD的边BC CD上的点且ZE4 =45 , All LEF f H为垂足， 求证:All AB .ZB人G - Z

21、DAF . AGAF .再证厶40空2少.全等三角形的对应高相等俐用三角形全等可证得）则有AHABCM/ NB3.如图所示在等接宜角 3C的料边M上取两点M . V f使厶心=45 记AMm . MN=x , BN = n , 求证：以I ”、”为边长的三角形的形状見直角三角形.解： 法1 ：如图所示，将M8V绕点CI6时针濮转90 .得连按 .观 AD = BN = n t CDYN . ZACDBCN t故 3CD-ZACM ZACDZACM 十 ZBCN-9（T -45 - 45- ZMCN 从而AMDCAMNC .8!J.WD = MV = x.而 么皿/45。+ 45900 故布盲角

22、三角形MW7）中有m24-r2 = t2.法2 :我们用上一讲学习过的对称变换也能得到認答 如图所示以为对称轴将ATM觀折到AQ”P的伫曹 易证和MEN天于GV对称，目APM为直角三角形, 并且可得/= Af = m . PN = NB = rt 9 MN =x 4.已知：如图1在RIA4M中./R4C=5 , AHAC .点D. 分别为线段阳上两前点，若/14=45 探 究线段血、BL、1三条线段之间的数圧关系.小明的恩路是:把绕点.4颇时针旋转2 ,得到A4砂,连结FD .便问题得到屛决.请你拓考小明的思路琛究开解决下列问题:猜想购、IX、EC三条线段之间存在的数屋关系式，并对你的券想给予

23、证明；(2)当动点住线段上，动点D运动住线段CB延长线上时，如匿2，其它条件不变，中探究的结论是臼友生 改变？请说明你的猜粗并给予证明Wi(1) DBDEC2证明： 根据S4EC绕点A顺时针族转90得到MBE二 MEC3MBEB = EC ATAE . = ZEACZETAB在 Rt&lZ/l 中.AHAC厶2心=5=45。/4号C /4PF-=45MED丝MEDDE二DE 加Zf+fC2(2)关丢式DE = BD- + EC1仍然成立证明：将A4加沿盲线，仍对折.得心阳，连FEMFD空5ABDAF AR . F7)=DRAD=ZJL4D 9 MD=ZABD又 AB = AC . AFACAE = ZFAD+ ZDAE二AD+45EAC = ZBAC 一 ZBAE = 90 - (zLDAE - ZDAB )=45 4-乙 DABZFAE = ZEAC又 T AEAE.AAFEAACE. .FEEC f ZAFE = ZACE 45厶2=厶80 = 180-厶眈= 135 ADFE = ZAFD 一 ZAFE = 13 5。一 45。= 90在 RtAD；中DF2+FE2DE2 即 QE2 hM + EC2