届高考理科数学一轮复习要点+题型解析函数的图像函数与方程.docx

届高考理科数学一轮复习要点+题型解析函数的图像函数与方程.docx

《届高考理科数学一轮复习要点+题型解析函数的图像函数与方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考理科数学一轮复习要点+题型解析函数的图像函数与方程.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届高考理科数学一轮复习要点+题型解析函数的图像函数与方程

2020届高考理科数学一轮复习要点+题型解析函数的图像、函数与方程

一、函数的图像问题

【要点解析】关于函数图像常用结论

1．函数图象自身的轴对称

（1）f（－x）＝f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；

（2）函数y＝f（x）的图象关于x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（－x）＝f（2a＋x）；

（3）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝

对称．

2．函数图象自身的中心对称

（1）f（－x）＝－f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于原点对称；

（2）函数y＝f（x）的图象关于（a,0）对称⇔f（a＋x）＝－f（a－x）⇔f（x）＝－f（2a－x）⇔f（－x）＝－f（2a＋x）；

（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）．

3．两个函数图象之间的对称关系

（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝

对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）；

（2）函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称；

（3）函数y＝f（x）与y＝2b－f（－x）的图象关于点（0，b）对称；

（4）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称．

【题型解析】

【题型一】　作函数的图象

【解题指导】

1、熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋

的函数．

2、若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．

【例题】分别画出下列函数的图象：

（1）y＝|lg（x－1）|；

（2）y＝2x＋1－1；

（3）y＝x2－|x|－2；

（4）y＝

.

【解析】　

（1）首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg（x－1）|的图象，如图①所示（实线部分）．

（2）将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．

（3）y＝x2－|x|－2＝

其图象如图③所示．

（4）∵y＝2＋

，故函数的图象可由y＝

的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．

【题型二】　函数图象的辨识

【解题指导】

1．函数图象与解析式之间的4种对应关系

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域（或有界性），判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性：

奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反；

（4）从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点．

2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点

（1）熟悉基本初等函数的图象（如指数函数、对数函数等函数的图象）；

（2）了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．

3．借助动点探究函数图象

解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．

【例1】函数y＝

的图象大致是（　　）

【答案】　D

【解析】　从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间

上单调递减，在区间

上单调递增．由此可知应选D.

【例2】已知函数f（x）＝

，g（x）＝－f（－x），则函数g（x）的图象是（　　）

【解析】：

选D　

法一：

由题设得函数g（x）＝－f（－x）＝

据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象．故选D.

法二：

先画出函数f（x）的图象，如图1所示，再根据函数f（x）与－f（－x）的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f（－x），即g（x）的图象，如图2所示．故选D.

【例3】函数f（x）＝

的图象大致为（　　）

【答案】　B

【解析】　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

∴f（x）＝

是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．

当x＝1时，f

（1）＝

＝e－

>0，排除D选项．

又e>2，∴

<

，∴e－

>

，排除C选项．

【题型三】　函数图象的应用

1、利用函数的图象研究函数的性质

【解题指导】对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：

（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

【例1】）已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数，单调递增区间是（0，＋∞）

B．f（x）是偶函数，单调递减区间是（－∞，1）

C．f（x）是奇函数，单调递减区间是（－1,1）

D．f（x）是奇函数，单调递增区间是（－∞，0）

【答案】　C

【解析】　将函数f（x）＝x|x|－2x

去掉绝对值，得f（x）＝

画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减．

【例2】已知函数f（x）＝|log3x|，实数m，n满足0

＝________.

【答案】　9

【解析】　作出函数f（x）＝|log3x|的图象，观察可知0

若f（x）在[m2，n]上的最大值为2，

从图象分析应有f（m2）＝2，

∴log3m2＝－2，

∴m2＝

.从而m＝

，n＝3，故

＝9.

2、解不等式问题

【解题指导】当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解

【例1】若不等式（x－1）20，且a≠1）在x∈（1,2）内恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1,2]　　　　　　　　B.

C．（1，

）D．（

，2）

【解析】　要使当x∈（1,2）时，不等式（x－1）2

当01时，如图，要使x∈（1,2）时，y＝（x－1）2的图象在y＝logax的图象的下方，只需（2－1）2≤loga2，即loga2≥1，解得1

【例2】设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f

（1）＝0，则不等式

<0的解集为（　　）

A．（－1,0）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（0,1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,0）∪（0,1）

【解析】：

选D　因为f（x）为奇函数，

所以不等式

<0可化为

<0，

即xf（x）<0，f（x）的大致图象如图所示．

所以xf（x）<0的解集为（－1,0）∪（0,1）．

【例3】已知函数

若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．

【答案】　（0,1]

【解析】　作出函数y＝f（x）与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈（0,1]．

二、函数的零点问题

【要点解析】

1．函数的零点

（1）零点的定义：

对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．

（2）零点的几个等价关系：

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（3）函数的零点不是函数y＝f（x）与x轴的交点，而是y＝f（x）与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.

2．函数的零点存在性定理

（1）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

（2）函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

3．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

4.有关函数零点的结论

（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

【题型解析】

【题型一】　函数零点个数、所在区间的判定问题

【解题指导】

1.掌握判断函数零点个数的3种方法

（1）解方程法

若对应方程f（x）＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．

（2）定理法

利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数的零点个数．

（3）数形结合法

合理转化为两个函数的图象（易画出图象）的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

2.判断函数零点所在区间问题的策略

判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．

【例1】．函数f（x）＝lnx－

的零点所在的区间是（　　）

A．（1,2）B．（2,3）C．（3,4）D．（4,5）

【答案】　B

【解析】　函数f（x）＝lnx－

在（1，＋∞）上是增函数，且在（1，＋∞）上连续．因为f

（2）＝ln2－2<0，f（3）＝ln3－1>0，所以f

（2）f（3）<0，所以函数的零点所在的区间是（2,3）．

【例2】函数f（x）＝

的零点个数是________．

【答案】　2

【解析】　当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－

（正根舍去），所以在（－∞，0]上，f（x）有一个零点；当x>0时，f′（x）＝2＋

>0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

又因为f

（2）＝－2＋ln2<0，f（3）＝ln3>0，所以f（x）在（0，＋∞）上有一个零点，综上，函数f（x）的零点个数为2.

【例3】函数f（x）＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

【答案】　C

【解析】　由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|（x>0），y＝lnx（x>0）的图象，如图所示．

由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为2.

【例4】．若a

A．（a，b）和（b，c）内B．（－∞，a）和（a，b）内

C．（b，c）和（c，＋∞）内D．（－∞，a）和（c，＋∞）内

【答案】　A

【解析】　∵a0，

f（b）＝（b－c）（b－a）<0，f（c）＝（c－a）（c－b）>0，

由函数零点存在性定理可知，在区间（a，b），（b，c）内分别存在零点，又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点．因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选A.

【例5】已知函数f（x）＝

则函数y＝f（x）＋3x的零点个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

【解析】解方程法

令f（x）＋3x＝0，

则

或

解得x＝0或x＝－1，

所以函数y＝f（x）＋3x的零点个数是2.

【例6】设函数f（x）＝

x－lnx，则函数y＝f（x）（　　）

A．在区间

，（1，e）内均有零点

B．在区间

，（1，e）内均无零点

C．在区间

内有零点，在区间（1，e）内无零点

D．在区间

内无零点，在区间（1，e）内有零点

【解析】法一：

图象法

令f（x）＝0得

x＝lnx．作出函数y＝

x和y＝lnx的图象，如图，

显然y＝f（x）在

内无零点，在（1，e）内有零点．

法二：

定理法

当x∈

时，函数图象是连续的，且f′（x）＝

－

＝

<0，所以函数f（x）在

上单调递减．

又

＝

＋1>0，f

（1）＝

>0，f（e）＝

e－1<0，所以函数有唯一的零点在区间（1，e）内．

【题型二】　函数零点的应用

【解题指导】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．

1、已知函数零点个数求参数范围

【例1】已知函数f（x）＝

g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）

A．[－1,0）　　　　　　　B．[0，＋∞）

C．[－1，＋∞）D．[1，＋∞）

【解析】　令h（x）＝－x－a，

则g（x）＝f（x）－h（x）．

在同一坐标系中画出y＝f（x），y＝h（x）的示意图，如图所示．

若g（x）存在2个零点，则y＝f（x）的图象与y＝h（x）的图象有2个交点，平移y＝h（x）的图象，可知当直线y＝－x－a过点（0,1）时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.

当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．

当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．

综上，a的取值范围为[－1，＋∞）．

【例2】已知函数

若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是______．

【答案】　（－1,0）

【解析】　关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，等价于函数y＝f（x）与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是（－1,0）．

2.根据函数零点的范围求参数

【例1】若函数f（x）＝2x－

－a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1,3）　　　　　　　　B．（1,2）

C．（0,3）D．（0,2）

【解析】：

选C　因为函数f（x）＝2x－

－a在区间（1,2）上单调递增，又函数f（x）＝2x－

－a的一个零点在区间（1,2）内，则有f

（1）·f

（2）<0，所以（－a）（4－1－a）<0，

即a（a－3）<0，解得0

【例2】已知函数f（x）＝

若存在实数b，使函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，则a的取值范围是________．

【答案】　（－∞，0）∪（1，＋∞）

【解析】　令φ（x）＝x3（x≤a），h（x）＝x2（x>a），函数g（x）＝f（x）－b有两个零点，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象（图略）可得a<0或φ（a）>h（a），即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈（－∞，0）∪（1，＋∞）．