高中数学新湘教版选修21 全称量词和存在量词.docx
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高中数学新湘教版选修21全称量词和存在量词
1．2.2 全称量词和存在量词
[读教材·填要点]
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：
“任意、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“∀”表示．
（2）存在量词：
“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“∃”表示．
2．含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定
（1）命题“∀x∈I,p（x）”的否定是“∃x∈I，綈p（x）”；
（2）命题“∃x∈I，p（x）”的否定是“∀x∈I，綈p（x）”．
[小问题·大思维]
1．命题p：
任何一个实数除以1等于这个数；q：
等边三角形的三边都相等．它们各使用了什么量词？
提示：
命题p使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题q使用了全称量词“任意”．
2．下列命题使用了什么量词？
p：
存在实数x，使x2－3>0；
q：
有的实数既不是质数也不是合数．
提示：
命题p使用存在量词“存在”，命题q使用存在量词“有的”．
3．如何用符号表示下列命题？
（1）对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
（2）存在实数x，使得
＝2.
提示：
（1）用符号表示为“∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”．
（2）用符号表示为“∃x∈R，
＝2”．
用“∀”或“∃”表述命题
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．
（1）实数的平方是非负数；
（2）整数中1最小；
（3）方程ax2＋2x＋1＝0（a＜1）至少存在一个负根；
（4）对于某些实数x，有2x＋1＞0.
[自主解答]
（1）∀x∈R，x2≥0；真．
（2）∀x∈Z，x≥1；假．
（3）∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0（a＜1）；真．
（4）∃x∈R，有2x＋1＞0；真．
同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：
命题
含全称量词的命题“∀x∈A，p（x）”
含存在量词的命题“∃x∈A，p（x）”
表述方法
①所有的x∈A，
p（x）成立
②对一切x∈A，
p（x）成立
③对每一个x∈A，
p（x）成立
④任意一个x∈A，
p（x）成立
⑤凡x∈A，都有
p（x）成立
使p（x）成立
①存在x∈A，
②至少有一个x∈A，使p（x）成立
③对有些x∈A，
p（x）成立
④对某个x∈A，
p（x）成立
⑤有一个x∈A，
使p（x）成立
1．用全称量词或存在量词表示下列语句：
（1）不等式x2＋x＋1>0恒成立；
（2）当x为有理数时，
x2＋
x＋1也是有理数；
（3）等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ对有些角α，β成立；
（4）方程3x－2y＝10有整数解．
解：
（1）对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
（2）对任意有理数x，
x2＋
x＋1是有理数．
（3）存在角α，β，使sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．
（4）存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
含全称量词或存在量词的命题的真假判断
（1）下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx＝0
B．∃x∈R，tanx＝1
C．∀x∈R，x2>0
D．∀x∈R，ex>0
（2）下列命题中的真命题是（ ）
A．∀φ∈R，函数f（x）＝sin（2x＋φ）都不是偶函数
B．∃α，β∈R，使cos（α＋β）＝cosα＋cosβ
C．向量a＝（2,1），b＝（－1,0），则a在b方向上的投影为2
D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件
[自主解答]
（1）对于A，x＝1时，lgx＝0；
对于B，x＝kπ＋
（k∈Z）时，tanx＝1；
对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；
对于D，ex>0恒成立．
（2）对于A，当φ＝
时，f（x）＝cos2x，为偶函数，故A为假命题；
对于B，令α＝
，β＝－
，则cos（α＋β）＝cos
＝
，cosα＋cosβ＝
＋0＝
，cos（α＋β）＝cosα＋cosβ成立，故B为真命题；
对于C，向量a＝（2,1），b＝（－1,0），则a在b方向上的投影为
＝
＝－2，故C为假命题；
对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．
[答案]
（1）C
（2）B
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
（1）要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p（x0）不成立即可．
（2）要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p（x0）成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
2．判断下列命题是含全称量词还是存在量词，并判断其真假．
（1）一次函数都是单调函数；
（2）至少有一个实数x，使x2＝0；
（3）∃x∈Z，log4x>0；
（4）∀x∈{x|x是无理数}，x4是无理数．
解：
（1）命题中含有全称量词“都”，命题为真命题．
（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，当x＝0时，x2＝0，命题为真命题．
（3）命题中含有存在量词的符号“∃”，当x＝4时，log4x＝1>0，命题为真命题．
（4）命题中含有全称量词的符号“∀”，由于x＝
时x4＝4是有理数．因此命题是假命题．
含有量词的命题的否定
（1）设命题p：
∃n∈N，n2>2n，则綈p为（ ）
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n
（2）（2016·浙江高考）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
[自主解答]
（1）因为“∃x∈M，p（x）”的否定是“∀x∈M，綈p（x）”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
（2）由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
[答案]
（1）C
（2）D
（1）“∀x∈M，p（x）”的否定为“∃x∈M，綈p（x）”．
（2）有些命题省略了全称量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．
（3）命题“∃x∈M，p（x）”的否定为“∀x∈M，綈p（x）”．
（4）只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：
三角形存在外接圆．这个命题中的量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是：
有些三角形不存在外接圆．
3．写出下列命题的否定并判断其真假．
（1）p：
不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
（2）p：
有些三角形的三条边相等；
（3）p：
余弦值为负数的角是钝角；
（4）p：
存在一个实数，使得3x<0.
解：
（1）这一命题可表述为p：
对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定为：
存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故为假命题．
（2）由于存在量词“有些……”的否定的表述为“所有……，”因此，原命题的否定为：
“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．
（3）原命题的否定为：
“有的余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．
（4）原命题的否定为“对于所有实数x，都满足3x≥0”，真命题.
解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
判断下列命题的真假．
（1）∀x∈R，x2＋2x＋1>0；
（2）∃x∈R，|x|≤0；
（3）∀x∈N＋，log2x>0；
（4）∃x∈R，cosx＝
.
[巧思] 根据命题中所含量词的含义，可举特例判断．
[妙解]
（1）∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
∴原命题是假命题．
（2）∵当x＝0时，|x|≤0成立，
∴原命题是真命题．
（3）∵当x＝1时，log2x＝0，
∴原命题是假命题．
（4）∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，
而
>1，
∴不存在x∈R，
使cosx＝
.
∴原命题是假命题．
1．下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法是（ ）
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
解析：
选项C是全称命题．
答案：
C
2．下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，cosx＝1
C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0
解析：
选项A，lgx＝0⇒x＝1；选项B，cosx＝1⇒x＝2kπ（k∈Z）；选项C；x3＞0⇒x＞0；选项D,2x＞0⇒x∈R.
答案：
C
3．设命题p：
∃n∈N，n2>2n，则綈p为（ ）
A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n
解析：
因为“∃x∈M，p（x）”的否定是“∀x∈M，綈p（x）”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
答案：
C
4．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2（a－1）x＋2a＋6＝0”的否定是________．
解析：
把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
答案：
所有正实数x都不满足方程x2＋2（a－1）x＋2a＋6＝0
5．给出下列命题．
①∀x∈R，x2＋2＞0；
②∀x∈N，x4≥1；
③∃x∈Z，x3＜1.
其中是真命题的是________（把所有真命题的序号都填上）．
解析：
①由于∀x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.
所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．
所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．
③由于－1∈Z，当x＝－1时，x3＜1成立．
所以命题“∃x∈Z，x3＜1”是真命题．
答案：
①③
6．写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）非负数的平方是正数．
（2）有的四边形没有外接圆．
解：
（1）命题的否定：
“存在一个非负数的平方不是正数．”
因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．
（2）命题的否定：
“所有四边形都有外接圆．”
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.
一、选择题
1．命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R,2x>0 B．存在x∈R,2x≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x>0
解析：
由含有存在量词的命题否定可知，命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．
答案：
D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：
否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.
答案：
D
3．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，1）B．（－∞，1]
C．（－1,1）D．（－1,1]
解析：
当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是（－∞，1）．
答案：
A
4．下列四个命题：
p1：
∃x∈（0，＋∞），
x<
x；
p2：
∃x∈（0,1），logx>log
x；
p3：
∀x∈（0，＋∞），
x>log
x；
p4：
∀x∈
，
xx.
其中的真命题是（ ）
A．p1，p3B．p1，p4
C．p2，p3D．p2，p4
解析：
对于命题p1，当x∈（0，＋∞）时，总有
x>
x成立，所以p1是假命题，排除A、B，对于命题p3，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝
x与函数y＝log
x的图象（图略），可知在（0，＋∞）上，函数y＝
x的图象并不是始终在函数y＝log
x的图象上方，所以p3是假命题，排除C.
答案：
D
二、填空题
5．命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）>0”用“∃”或“∀”可表述为________________________________________________________________________．
解析：
命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）>0”为特称命题，用“∃”表示为：
∃x<0，使（1＋x）（1－9x）>0.
答案：
∃x<0，使（1＋x）（1－9x）>0
6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为：
________.
解析：
命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，其否定为“有的向量与零向量不共线”．
答案：
有的向量与零向量不共线
7．下列命题是真命题的有________．
（1）∀x∈{1,3,5},5x＋2是奇数；
（2）∃x∈R，x2－6x－5＝0；
（3）∀x∈R，|x＋1|＞0.
解析：
（1）∵5×1＋2＝7,5×3＋2＝17，
5×5＋2＝27，均为奇数，∴是真命题．
（2）∵x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，
∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题．
（3）∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
答案：
（1）
（2）
8．若命题“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则a的取值范围是________．
解析：
“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，
当a＝0时，－2≤0.符合题意．
当a≠0时，要满足∀x∈R，ax2－ax－2≤0，
需有
即
解得－8≤a<0，
综上，a的取值范围是[－8,0]．
答案：
[－8,0]
三、解答题
9．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）二次函数的图象是抛物线；
（2）直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
（3）有些四边形存在外接圆；
（4）∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：
（1）∃f（x）∈{二次函数}，f（x）的图象不是抛物线．它是假命题．
（2）在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
（3）∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
（4）∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：
“存在a>0，使函数f（x）＝ax2－4x在（－∞，2]上单调递减”，命题q：
“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16（a－1）x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：
若p为真，则对称轴x＝－
＝
在区间（－∞，2]的右侧，即
≥2，∴0若q为真，则方程16x2－16（a－1）x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝[16（a－1）]2－4×16<0，∴
.
∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，
∴
∴
故实数a的取值范围为
.
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