高考调研数学23.docx

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高考调研数学23

课时作业（六）

1．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－

B.

C.

D．－

答案　B

解析　依题意得

，∴

，

∴a＋b＝

＋0＝

.

2．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，则g（x）＝ax3＋bx2＋cx是（　　）

A．奇函数B．偶函数

C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数

答案　A

解析　由f（x）是偶函数知b＝0，∴g（x）＝ax3＋cx是奇函数．

3．（2011·广东理）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（　　）

A．|f（x）|－g（x）是奇函数

B．|f（x）|＋g（x）是偶函数

C．f（x）－|g（x）|是奇函数

D．f（x）＋|g（x）|是偶函数

答案　D

解析　设F（x）＝f（x）＋|g（x）|，由f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，得F（－x）＝f（－x）＋|g（－x）|＝f（x）＋|g（x）|＝F（x），∴f（x）＋|g（x）|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．

4．（2011·安徽）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）＝（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

答案　A

解析　解法一：

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

且x≤0时，f（x）＝2x2－x，

∴f

（1）＝－f（－1）＝－2×（－1）2＋（－1）＝－3，故选A.

解法二：

设x>0，则－x<0，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

且x≤0时，f（x）＝2x2－x，

∴f（－x）＝2（－x）2－（－x）＝2x2＋x，

又f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝－2x2－x，

∴f

（1）＝－2×12－1＝－3，故选A.

5．已知f（x）（x∈R）为奇函数，f

（2）＝1，f（x＋2）＝f（x）＋f

（2），则f（3）等于（　　）

A.

B．1

C.

D．2

答案　C

解析　令x＝－1，则f（－1＋2）＝f（－1）＋f

（2），

即f

（1）＝－f

（1）＋f

（2），∴f

（1）＝

.

∴f（3）＝f

（1）＋f

（2）＝

＋1＝

.

6．f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f

（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0,6）内解的个数至少是（　　）

A．1B．4

C．3D．2

答案　B

解析　由f

（2）＝0，得f（5）＝0，∴f（－2）＝0，f（－5）＝0.

∴f（－2）＝f（－2＋3）＝f

（1）＝0，

f（－5）＝f（－5＋9）＝f（4）＝0，

故f（x）＝0在区间（0,6）内的解至少有1,2,4,5四个解．

点评　本题的易错点是，易忽略条件f（x）是偶函数，而且还易出现漏根的情况．

7．（2011·湖北）若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（　　）

A．ex－e－xB.

（ex＋e－x）

C.

（e－x－ex）D.

（ex－e－x）

答案　D

解析　由f（x）＋g（x）＝ex可得f（－x）＋g（－x）＝e－x，又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，可得f（x）－g（x）＝e－x，则两式相减可得g（x）＝

，选D.

8．（2012·济南模拟）函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：

对任意x∈R，都有f（2＋x）＝f（2－x），f（1＋x）＝－f（x），则f（x）是（　　）

A．奇函数但非偶函数

B．偶函数但非奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．是非奇非偶函数

答案　B

解析　依题意得，f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数，所以f（－x＋2）＝f（－x）．又f（2＋x）＝f（2－x），因此有f（－x）＝f（x），即f（x）是偶函数；若f（x）是奇函数，则有f（－x）＝－f（x）＝f（x），得f（x）＝0，这与“f（x）不是常数函数”相矛盾，因此f（x）是偶函数但不是奇函数，选B.

9．设f（x）＝ax5＋bx3＋cx＋7（其中a，b，c为常数，x∈R），若f（－2011）＝－17，则f（2011）＝________.

答案　31

解析　f（2011）＝a·20115＋b·20113＋c·2011＋7，

f（－2011）＝a（－2011）5＋b（－2011）3＋c（－2011）＋7，

∴f（2011）＋f（－2011）＝14，∴f（2011）＝14＋17＝31.

10．函数f（x）＝x3＋sinx＋1的图像关于________点对称．

答案（0,1）

解析　f（x）的图像是由y＝x3＋sinx的图像向上平移一个单位得到的．

11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋5）＝－f（x）＋2，且当x∈（0,5）时，f（x）＝x，则f（2012）的值为________．

答案　2

解析　∵f（x＋10）＝f[（x＋5）＋5]

＝－f（x＋5）＋2＝－[－f（x）＋2]＋2＝f（x）．

∴f（x）的一个周期为10.

∴f（2012）＝f（10×201＋2）＝f

（2）＝2.

12．（2011·上海文）设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）＝x＋g（x）在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f（x）在区间[0,3]上的值域为________．

答案　[－2,7]

13．（2012·山东潍坊）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：

①f（x）是周期函数；

②f（x）关于直线x＝1对称；

③f（x）在[0,1]上是增函数；

④f（x）在[1,2]上是减函数；

⑤f

（2）＝f（0）．

其中正确的序号是________．

答案　①②⑤

解析　由f（x＋1）＝－f（x）得

f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），

∴f（x）是周期为2的函数，①正确，

f（x）关于直线x＝1对称，②正确，

f（x）为偶函数，在[－1,0]上是增函数，

∴f（x）在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f

（2）＝f（0）．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．

14．已知定义域为R的函数f（x）＝

是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围．

答案　

（1）a＝2，b＝1　

（2）k<－

解析　

（1）因为f（x）是奇函数，

∴f（0）＝0，即

＝0⇒b＝1，

∴f（x）＝

，

又由f

（1）＝－f（－1）知

＝－

⇒a＝2.

（2）解法一　由

（1）知f（x）＝

，易知f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数．又因f（x）是奇函数，从而不等式：

f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0

等价于f（t2－2t）<－f（2t2－k）＝f（k－2t2），因f（x）为减函数，由上式推得：

t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：

3t2－2t－k>0，

从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－

.

解法二　由

（1）知f（x）＝

.又由题设条件得：

＋

<0，

即：

（22t2－k＋1＋2）（1－2t2－2t）＋（2t2－2t＋1＋2）（1－22t2－k）<0，

整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故：

3t2－2t－k>0

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－

.

15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）．当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2.

（1）求证：

f（x）是周期函数；

（2）当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式；

（3）计算f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2011）．

思路　

（1）只需证明f（x＋T）＝f（x），即可说明f（x）是周期函数；

（2）由f（x）在[0,2]上的解析式求得f（x）在[－2,0]的解析式，进而求f（x）在[2,4]上的解析式；

（3）由周期性求和的值．

（1）证明　∵f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）．

∴f（x）是周期为4的周期函数．

（2）解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，

∴4－x∈[0,2]，

∴f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8，

又f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），

∴－f（x）＝－x2＋6x－8，

即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．

（3）解　∵f（0）＝0，f

（2）＝0，f

（1）＝1，f（3）＝－1.

又f（x）是周期为4的周期函数，

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（2008）＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）＝0.

∴f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2011）＝0.

1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是（　　）

A．y＝ex－e－x　　　　　　　B．y＝lg

C．y＝cos2xD．y＝sinx＋cosx

答案　D

2．已知f（x）为奇函数，当x>0，f（x）＝x（1＋x），那么x<0，f（x）等于（　　）

A．－x（1－x）B．x（1－x）

C．－x（1＋x）D．x（1＋x）

答案　B

解析　当x<0时，则－x>0，∴f（－x）＝（－x）（1－x）．又f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝x（1－x）．

3．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f

（1）＝1，f

（2）＝2，则f（3）－f（4）等于（　　）

A．－1B．1

C．－2D．2

答案　A

解析　∵函数周期T＝5，且为奇函数，

∴f

（1）＝f（1－5）＝f（－4）＝－f（4）＝1.

∴f（4）＝－1.

又∵f

（2）＝f（2－5）＝f（－3）＝－f（3）＝2，

∴f（3）＝－2.

∴f（3）－f（4）＝－2－（－1）＝－1.

4．若函数f（x）为奇函数，且在（0，＋∞）内是增函数，又f（3）－2f（－3）＝0，则

<0的解集为（　　）

A．（－∞，－3）∪（0,3）B．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

C．（－3,0）∪（0,3）D．（－3,0）∪（3，＋∞）

答案　C

解析　因为函数f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（－3）＝－f（3），由f（3）－2f（－3）＝0，得3f（3）＝0，f（3）＝0.又因为f（x）在（0，＋∞）内是增函数，所以当x>3或－30；当x<－3或0

<0，即

<0，可知－3

5．定义在R上的函数f（x）满足：

对任意α、β∈R，总有f（α＋β）－[f（α）＋f（β）]＝2011，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）－1是奇函数B．f（x）＋1是偶函数

C．f（x）－2011是偶函数D．f（x）＋2011是奇函数

答案　D

解析　令α＝β＝0，则得

f（0＋0）－[f（0）＋f（0）]＝2011，

解得f（0）＝－2011，显然f（0）＋2011＝0.

又令α＝x，β＝－x，则有

f（0）－[f（x）＋f（－x）]＝2011，

所以－[f（x）＋2011]＝f（－x）＋2011.

设g（x）＝f（x）＋2011，故有g（－x）＝－g（x），所以函数f（x）＋2011是奇函数．故选D.

6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，总有f（x＋2）＝－f（x）成立，则f（19）＝________.

答案　0

解析　依题意得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），即f（x）是以4为周期的函数，因此有f（19）＝f（4×5－1）＝f（－1）＝f

（1），且f（－1＋2）＝－f（－1），即f

（1）＝－f

（1），f

（1）＝0，因此f（19）＝0.

1．在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）＝f（2－x）．若f（x）在区间[1,2]上是减函数，则f（x）（　　）

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

思路　根据函数是偶函数和关系式f（x）＝f（2－x），可得函数图像的两条对称轴，只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像，结合图像对问题作出结论．

答案　B

解析　解法一：

由函数是偶函数，知函数的图像关于y轴对称，函数在区间[－2，－1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反，为增函数；由f（x）＝f（2－x）知函数的图像关于直线x＝1对称，故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[－2，－1]上的单调性相反，为减函数．故选B.

解法二：

求解本题的难点在于函数的抽象性，化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理，如根据函数是偶函数可得f（－x）＝f（x），再根据f（x）＝f（2－x），把其中的x换成－x可得f（－x）＝f（2＋x），即f（x）＝f（x＋2），即函数是周期为2的偶函数，再根据f（x）＝f（2－x）推知函数图像关于直线x＝1对称．

2．（2012·广东六校联合体第二次联考）已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，

）时，f（x）＝sinπx，f（

）＝0，则函数f（x）在区间[0,6]上的零点个数是（　　）

A．3B．5

C．7D．9

答案　D

解析　对R上的奇函数f（x），有f（0）＝0；

又f

（1）＝sinπ＝0；再由T＝3，

∴f（3）＝f（0＋3）＝f（0）＝0；

f（6）＝f（3＋3）＝f（3）＝0；

f（4）＝f（1＋3）＝f

（1）＝0；

f（－2）＝f（－2＋3）＝f

（1）＝0，

f

（2）＝－f（－2）＝0；

f（5）＝f（2＋3）＝f

（2）＝0.

因为f（

）＝0，所以f（

）＝f（

＋3）＝f（

）＝0.

综上可知f（x）在区间[0,6]上的零点为0,1，

，2,3,4，

，5,6共9个，故选D.

3．设f（x）＝

，又记f1（x）＝f（x），fk＋1（x）＝f（fk（x）），k＝1,2，…，则f2011（x）＝（　　）

A．－

B．x

C.

D.

答案　C

解析　由题得f2（x）＝f（

）＝－

，f3（x）＝f（－

）＝

，f4（x）＝f（

）＝x，f5（x）＝

＝f1（x），其周期为4，所以f2011（x）＝f3（x）＝

.

4．（2010·新课标全国卷）设偶函数f（x）满足f（x）＝x3－8（x≥0），则{x|f（x－2）>0}＝（　　）

A．{x|x<－2或x>4}B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6}D．{x|x<－2或x>2}

答案　B

解析　当x<0时，－x>0，

∴f（－x）＝（－x）3－8＝－x3－8，

又f（x）是偶函数，

∴f（x）＝f（－x）＝－x3－8，

∴f（x）＝

.

∴f（x－2）＝

，

或

，

解得x>4或x<0.故选B.

5．（2009·湖南示范性高中一模）函数y＝f（x）与y＝g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f（x）＋f（－x）＝0，g（x）g（－x）＝1，且x≠0，g（x）≠1，则F（x）＝

＋f（x）（　　）

A．是奇函数但不是偶函数

B．是偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

答案　B

解析　由条件知f（－x）＝－f（x），g（－x）＝

，

∴F（－x）＝

＋f（－x）＝

－f（x）

＝

＝

＝F（x）．

6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝1－2－x，则不等式f（x）<－

的解集是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－∞，－1]

C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）

答案　A

解析　当x>0时，1－2－x＝1－

>0与题意不符，

当x<0时，－x>0，∴f（－x）＝1－2x，

又∵f（x）为R上的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴－f（x）＝1－2x，

∴f（x）＝2x－1，

∴f（x）＝2x－1<－

，

∴2x<

，∴x<－1，

∴不等式f（x）<－

的解集是（－∞，－1）．

7．（2011·《高考调研》原创题）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且{x|f（x）＞0}＝{x|1＜x＜3}，则f（π）＋f（－2）与0的大小关系是（　　）

A．f（π）＋f（－2）＞0B．f（π）＋f（－2）＝0

C．f（π）＋f（－2）＜0D．不确定

答案　C

解析　由已知得f（π）<0，f（－2）＝－f

（2）＜0，因此f（π）＋f（－2）＜0.

8．定义在（－∞，＋∞）上的函数y＝f（x）在（－∞，2）上是增函数，且函数y＝f（x＋2）为偶函数，则f（－1），f（4），f（5

）的大小关系是__________．

答案　f（5

）

解析　∵y＝f（x＋2）为偶函数，

∴y＝f（x）关于x＝2对称，

又y＝f（x）在（－∞，2）上为增函数，

∴y＝f（x）在（2，＋∞）上为减函数，而f（－1）＝f（5），

∴f（5

）＜f（－1）＜f（4）．

9．设f（x）是连续的偶函数，且当x>0时，f（x）是单调函数，则满足f（x）＝f（

）的所有x之和为________．

思路　由函数联想图像，若x，

都在y轴一侧，则这两个式子相等，在y轴两侧，则其互为相反数，直接求解．

答案　－8

解析　依题意，当满足f（x）＝f（

）时，

有x＝

时，得x2＋3x－3＝0，

此时x1＋x2＝－3.又f（x）是连续的偶函数，

∴f（－x）＝f（x）．

∴另一种情形是f（－x）＝f（

），

有－x＝

，得x2＋5x＋3＝0.

∴x3＋x4＝－5.

∴满足f（x）＝f（

）的所有x之和为－3＋（－5）＝－8.