高一数学两直线的位置关系经典例题.docx

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高一数学两直线的位置关系经典例题

典型例题一

例1已知，，，求点的坐标，使四边形为等腰梯形．

分析：

利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题．

解：

如图，

设，若，则，，

即

由①、②解得．

若，则

即

由③、④式解得．

故点的坐标为或．

说明：

（1）把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解．

（2）在遇到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况．此题中、的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况．

典型例题二

例2当为何值时，直线与直线互相垂直？

分析：

分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解．或利用结论“设直线和的方程分别是，，则的充要条件是”（其证明可借助向量知识完成）解题．

解法一：

由题意，直线．

（1）若，即，此时直线，显然垂直；

（2）若，即时，直线与直线不垂直；

（3）若，且，则直线、斜率、存在，

，．

当时，，即，

∴.

综上可知，当或时，直线．

解法二：

由于直线，所以，解得．

故当或时，直线．

说明：

对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线、的斜率分别为、，则，．

由，得，即．

解上述方程为．从而得到当时，直线与互相垂直．

上述解题的失误在于机械地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误．

典型例题三

例3已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程．

分析：

（1）如图，利用点斜式方程，分别与、联立，求得两交点、的坐标（用表示），再利用可求出的值，从而求得的方程．

（2）利用、之间的距离及与夹角的关系求解．（3）设直线与、分别相交于、，则可通过求出、的值，确定直线的斜率（或倾斜角），从而求得直线的方程．

解法一：

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为和，截得的线段的长，符合题意，

若直线的斜率存在，则设直线的方程为．

解方程组得，

解方程组得．

由，得．

解之，得，即欲求的直线方程为．

综上可知，所求的方程为或．

解法二：

由题意，直线、之间的距离为，且直线被平等直线、所截得的线段的长为5（如上图），设直线与直线的夹角为，则，故∴．

由直线的倾斜角为135°，知直线的倾斜角为0°或90°，又由直线过点，故直线的方程为或．

解法三：

设直线与、分别相交、，则：

，．

两式相减，得．　　　①

又　　　　　　　　②

联立①、②，可得或

由上可知，直线的倾斜角分别为0°或90°．

故所求直线方程为或．

说明：

本题容易产生的误解是默认直线的斜率存在，这样由解法一就只能得到，从而遗漏了斜率不存在的情形．

一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长的直线，当小于两平行直线之间距离时无解；当时有唯一解；当时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角后，再求直线的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程．

典型例题四

例4已知点，，点在坐标轴上，且，则满足条件的点的个数是（　）．

（A）1（B）2（C）3（D）4

解：

点在坐标轴上，可有两种情况，即在轴或轴上，点的坐标可设为或．

由题意，，直线与直线垂直，其斜率乘积为－1，可分别求得或2，或4，所以满足条件的点的坐标为（0，0），（2，0），（0，4）．

说明：

①本题还可以有另外两种解法：

一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边与轴交点恰为斜边中点，则由到、距离相等的性质可解．②本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到、各有两解而误以为有四点．

典型例题五

例5已知的一个定点是，、的平分线分别是，，求直线的方程．

分析：

利用角平分线的轴对称性质，求出关于，的对称点，它们显然在直线上．

解：

关于，的对称点分别是和，且这两点都在直线上，由两点式求得直线方程为．

典型例题六

例6求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程．

解一：

解得两直线和的交点为（，），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而所求直线方程为．

解二：

设所求直线方程为，将所求交点坐标（，）代入方程得，所以所求直线方程为．

解三：

所求直线过点（，），且与直线垂直，所以，所求直线方程为

即．

解四：

设所求直线得方程为

即

（1）

由于该直线与已知直线垂直

则

解得

代入

（1）得所求直线方程为．

典型例题七

例7已知定点（3，1），在直线和上分别求点和点，使的周长最短，并求出最短周长．

分析：

由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离．

解：

如图1，设点关于直线和的对称点分别为，

∵

又

周长最小值是：

由两点式可得方程为：

．

而且易求得：

（，），（，0），

此时，周长最短，周长为．

典型例题八

例8已知实数，满足，求证：

．

解：

本题的几何意义是：

直线上的点（，）与定点的距离的平方不小于．因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离，

所以，即．

说明：

本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想．

典型例题九

例9在平面直角坐标系中，，，点在上，，，试在轴的正半周上求一点，使取得最大值．

分析：

要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题．

解：

如图2，设点

∵，，，

∴，

，

于是直线、的斜率分别为：

，

∴＝

＝

＝

＝

∵

∴

当且仅当即，点的坐标为（，0），由可知为锐角，所以此时有最大值．

说明：

本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点．另外本题也是足球射门最大角问题的推广．

为了更好地理解问题，可以演示用“几何画板”制作的课件.

典型例题十

例10　直线，求关于直线对称的直线的方程．

分析：

本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：

一类利用直线方程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解．

解法一：

由得与的交点为，显见也在上．

设的斜率为，又的斜率为-2，的斜率为，则

，解得．

故的直线方程为．即．

解法二：

在直线上取一点，又设点关于直线的对称点为，则

解得

故由两点式可求得直线的方程为．

解法三：

设直线上一动点关于直线的对称点为，则

解得，．

显然在上，即，也即．这便是所求的直线的方程．

解法四：

设直线上一动点，则关于的对称点在直线上，可设的坐标为，则

即

消去，得，即此所求的直线的方程．

说明：

在解法一中，应注意正确运用“到角公式”，明确由哪条直线到哪条直线的角．在具体解题时，最好能准确画出图形，直观地得出关系式．在解法四中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识．否则，若从表面上可得到两种结果，这显然很难准确地得出直线的方程．

本题的四种不同的解法，体现了求直线方程的不同的思想方法，具有一定的综合性．除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的空间上，真正做到游刃有余，左右逢源．

典型例题十一

例11　不论取什么实数，直线都经过一个定点，并求出这个定点．

分析：

题目所给的直线方程的系数含有字母，给任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以为参数的直线系方程．要证明这个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．

另一思路是由于方程对任意的都成立，那么就以为未知数，整理为关于的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．

解法一：

对于方程，令，得；令，得．

解方程组得两直线的交点为．

将点代入已知直线方程左边，得：

．

这表明不论为什么实数，所给直线均经过定点．

解法二：

将已知方程以为未知数，整理为：

．

由于取值的任意性，有

，解得，．

所以所给的直线不论取什么实数，都经过一个定点．

说明：

（1）曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点．

（2）分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．

典型例题十二

例12　一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室．为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出．已知镜框对桌面的倾角为（）镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距、（），学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

分析：

建立如图所示的直角坐标系，为镜框边，为画的宽度，为下边缘上的一点，则可将问题转化为：

已知，，，在轴的正方向向上求一点，使取最大值．

因为视角最大时，从理论上讲，看画的效果最佳（不考虑其他因素）．

解：

设点坐标为（），从三角函数定义知、两点坐标分别为、，于是直线、的斜率分别为

，．

于是，

即．

由于是锐角，且在上，则：

，

当且仅当，即时，等号成立，此时取最大值，对应的点为，因此，学生距离镜框下缘处时，视角最大，即看画效果最佳．

说明：

解决本题有两点至关重要：

一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求的最大值．如果坐标系选择不当，或选择求的最大值，都将使问题变得复杂起来．

本题是一个非常实际的数学应用问题，它不仅考查了直线的有关概念以及三角知识的结合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．

典型例题十三

例13　知实数，满足，求的最小值．

分析：

本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法：

可看成点与之间的距离．

解：

（法1）由得（），

则

　　　　　　　　　，

∴的最小值是2.

（法2）∵实数，满足，

∴点在直线上．

而可看成点与点之间的距离（如图所示）

显然的最小值就是点到直线的距离：

，

∴的最小值为2．

说明：

利用几何意义，可以使复杂问题简单化．形如的式子即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决．

典型例题十四

例14直线是中的平分线所在的直线，且，的坐标分别为，，求顶点的坐标并判断的形状．

分析：

“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将“角相等”列成一个表达式．

解：

（法1）由题意画出草图（如图所示）．

∵点在直线上，∴设，

则，，．

由图易知到的角等于到的角，因此这两个角的正切也相等．

∴，

∴．

解得．

∴的坐标为，

∴，，

∴．

∴是直角三角形．

（法2）设点关于直线的对称点为，则必在直线上．以下先求．

由对称性可得

解得，∴．

∴直线的方程为，即．

由得．

∴，，

∴．

∴是直角三角形．

说明：

（1）在解法1中设点坐标时，由于在直线上，故可设，而不设，这样可减少未知数的个数．

（2）注意解法2中求点关于的对称点的求法：

原理是线段被直线垂直平分．

典型例题十五

例15　两条直线，，求分别满足下列条件的的值．

（1）与相交；

（2）与平行；（3）与重合；

（4）与垂直；（5）与夹角为．

分析：

可先从平行的条件（化为）着手．

解：

由得，解得，．

由得．

（1）当且时，，与相交；

（2）当时，．；

（3）当时，，与重合；

（4）当，即，时，；

（5），．

由条件有．

将，代入上式并化简得，；

，．

∴当或-5或3时与夹角为．

说明：

由解得或，此时两直线可能平行也可能重合，可将的值代入原方程中验证是平行还是重合．当时两直线一定相交，此时应是且．