高中数学非 否定例题解析.docx

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高中数学非否定例题解析

1.2.2　“非”（否定）

学习目标

　1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定．

知识点一　逻辑联结词“非”

1．命题的否定：

对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．

2．命题綈p的真假：

若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．

知识点二　全称命题的否定

写全称命题的否定的方法：

（1）更换量词，将全称量词换为存在量词；

（2）将结论否定．

对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：

∀x∈M，p（x），

它的否定綈p：

∃x∈M，綈p（x）．

全称命题的否定是存在性命题．

知识点三　存在性命题的否定

写存在性命题的否定的方法：

（1）将存在量词改写为全称量词；

（2）将结论否定．

对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：

存在性命题p：

∃x∈M，p（x），

它的否定綈p：

∀x∈M，綈p（x）．

存在性命题的否定是全称命题．

1．写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．（　√　）

2．∃x∈M，p（x）与∀x∈M，綈p（x）的真假性相反．（　√　）

3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．（　×　）

题型一　“綈p”命题的构成与真假判断

例1　写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假．

（1）面积相等的三角形都是全等三角形；

（2）若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；

（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0.

解　

（1）面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题．

（2）若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零，为假命题．

（3）若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．

反思感悟　綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p∧q”的否定是“（綈p）∨（綈q）”等．

跟踪训练1　写出下列命题的否定形式．

（1）p：

y＝sinx是周期函数；

（2）p：

3<2；

（3）p：

空集是集合A的子集；

（4）p：

5不是75的约数．

解　

（1）綈p：

y＝sinx不是周期函数．

（2）綈p：

3≥2.

（3）綈p：

空集不是集合A的子集．

（4）綈p：

5是75的约数．

题型二　全称命题和存在性命题的否定

命题角度1　全称命题的否定

例2　写出下列全称命题的否定：

（1）任何一个平行四边形的对边都平行；

（2）数列：

1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

（3）∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

（4）可以被5整除的整数，末位是0.

解　

（1）其否定：

存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

（2）其否定：

数列：

1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．

（3）其否定：

∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

（4）其否定：

存在被5整除的整数，末位不是0.

反思感悟　全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．

跟踪训练2　写出下列全称命题的否定：

（1）p：

每一个四边形的四个顶点共圆；

（2）p：

所有自然数的平方都是正数；

（3）p：

任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

（4）p：

对任意实数x，x2＋1≥0.

解　

（1）綈p：

存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

（2）綈p：

有些自然数的平方不是正数．

（3）綈p：

存在实数x不是方程5x－12＝0的根．

（4）綈p：

存在实数x，使得x2＋1<0.

命题角度2　存在性命题的否定

例3　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

（1）p：

∃x>1，使x2－2x－3＝0；

（2）p：

有些素数是奇数；

（3）p：

有些平行四边形不是矩形．

解　

（1）綈p：

∀x>1，x2－2x－3≠0（假）．

（2）綈p：

所有的素数都不是奇数（假）．

（3）綈p：

所有的平行四边形都是矩形（假）．

反思感悟　存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：

∃x∈M，p（x）成立⇒綈p：

∀x∈M，綈p（x）成立．

跟踪训练3　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.

解　

（1）命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．

（2）命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

（3）命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．

题型三　存在性命题、全称命题的综合应用

例4　已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

（2）若存在一个实数x，使不等式m－f（x）>0成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），

即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.

（2）不等式m－f（x）>0可化为m>f（x），若存在一个实数x，使不等式m>f（x）成立，只需m>f（x）min.

又f（x）＝（x－1）2＋4，

∴f（x）min＝4，∴m>4.

∴所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．

反思感悟　对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>f（x）恒成立，只要a>f（x）max；若存在一个实数x，使a>f（x）成立，只需a>f（x）min.

跟踪训练4　已知f（x）＝3ax2＋6x－1（a∈R）．

（1）当a＝－3时，求证：

对任意x∈R，都有f（x）≤0；

（2）如果对任意x∈R，不等式f（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

（1）证明　当a＝－3时，f（x）＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－4×（－9）×（－1）＝0，

∴对任意x∈R，都有f（x）≤0.

（2）解　∵f（x）≤4x恒成立，

∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，

∴即

解得a≤－，

即实数a的取值范围是.

1．命题p：

“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是（　　）

A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根

答案　C

解析　命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：

对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．

2．对下列命题的否定说法错误的是（　　）

A．p：

能被2整除的数是偶数；綈p：

存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：

有些矩形是正方形；綈p：

所有的矩形都不是正方形

C．p：

有的三角形为正三角形；綈p：

所有的三角形不都是正三角形

D．p：

∃n∈N,2n≤100；綈p：

∀n∈N,2n>100.

答案　C

解析　“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：

“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．

3．已知命题p：

所有有理数都是实数，命题q：

正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．（綈p）∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）

答案　D

解析　由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而（綈p）∨q，p∧q，（綈p）∧（綈q）都是假命题，（綈p）∨（綈q）是真命题．

4．已知a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是（　　）

A．∃x≤1，logax>0B．∃x>1，logax≤0

C．∀x≤1，logax>0D．∀x>1，logax≤0

答案　D

解析　a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是“∀x>1，logax≤0”．

5．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是（a，＋∞），则实数a＝________.

答案　1

解析　由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是（1，＋∞），从而实数a的值为1.

1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．

2．

（1）对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将全称量词改写成存在量词；

第二步，将结论加以否定．

（2）对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将存在量词改写成全称量词；

第二步，将结论加以否定．

一、选择题

1．下列存在性命题是假命题的是（　　）

A．存在实数a，b，使ab＝0

B．有些实数x，使得|x＋1|<1

C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数

D．有些实数x，使得x<0

答案　D

解析　A是真命题；B是真命题；C是真命题；D是假命题．

2．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是（　　）

A．两个无理数的和必是无理数

B．存在一个实数x，使＝0

C．至少有一个实数x，使x2<0

D．有些实数的倒数等于它本身

答案　D

解析　A项为全称命题；B项，是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C假；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确．

3．已知命题p：

∀x∈R，sinx≤1，则綈p是（　　）

A．∃x∈R，sinx≥1B．∃x∈R，sinx>1

C．∀x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx>1

答案　B

解析　所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，故綈p：

∃x∈R，sinx>1，故选B.

4．下列命题中，假命题是（　　）

A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N＋，（x－1）2>0

C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2

答案　B

解析　对于∀x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，故A为真命题；当x＝1时，（x－1）2＝0，故B为假命题；当0

5．命题“p∧q”与“p∨q”都是假命题，则下列判断正确的是（　　）

A．命题“綈p”与“綈q”真假不同

B．命题“綈p”与“綈q”至少有一个是假命题

C．命题“綈p”与“q”真假相同

D．命题“（綈p）∧（綈q）”是真命题

答案　D

解析　“p∧q”为假，则p与q中至少有一个为假，而“p∨q”为假，则p，q都为假，故綈p，綈q均为真．

6．若命题p：

∀x>0，log2x>0，命题q：

∃x∈R,2x<0，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∨qB．p∧qC．（綈p）∧qD．p∨（綈q）

答案　D

解析　当x∈（0,1]时，log2x≤0，∴命题p为假命题．

又当x∈R时，2x>0，∴命题q为假命题，

∴p∨（綈q）为真命题．

7．已知命题p：

存在x∈R，有sinx＋cosx＝2；命题q：

任意x∈，有x>sinx．则下列命题是真命题的是（　　）

A．p且qB．p或（綈q）C．p且（綈q）D．（綈p）且q

答案　D

解析　由题意知命题p是假命题，命题q是真命题，

所以（綈p）且q为真命题．

8．已知a>0，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是（　　）

A．∃x∈R，f（x）≤f（x0）B．∃x∈R，f（x）≥f（x0）

C．∀x∈R，f（x）≤f（x0）D．∀x∈R，f（x）≥f（x0）

答案　C

解析　当a>0时，函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f（x）min＝f（x0），故对于∀x∈R，f（x）≥f（x0）成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．

二、填空题

9．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．（填序号）

①对任意x∈R，都有x2＜0；

②不存在x∈R，使得x2＜0；

③存在x∈R，使得x2≥0；

④存在x∈R，使得x2＜0.

答案　④

解析　全称命题的否定是存在性命题．

10．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．

答案　[1,2）

解析　x∈[2,5]或x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），

即x∈（－∞，1）∪[2，＋∞），由于该命题是假命题，

所以1≤x<2，即x∈[1,2）．

11．已知p（x）：

x2＋2x－m>0，如果p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围是________．

答案　[3,8）

解析　因为p

（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.

又因为p

（2）是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，

故实数m的取值范围是3≤m<8.

三、解答题

12．已知p：

∀a∈（0，b]（b∈R且b＞0），函数f（x）＝sin的周期不大于4π.

（1）写出綈p；

（2）当綈p是假命题时，求实数b的最大值．

解　

（1）綈p：

∃a∈（0，b]（b∈R且b＞0），

函数f（x）＝sin的周期大于4π.

（2）由于綈p是假命题，所以p是真命题，

所以∀a∈（0，b]，≤4π恒成立，

解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.

13．已知命题p：

“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．

解　由已知得綈p：

∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0.

∴设f（x）＝x2＋2ax＋2－a，若綈p为真，

则

∴解得a≤－3，

∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是（－3，＋∞）．

14．已知命题p：

若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：

在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，下列结论中：

①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④（綈p）∨（綈q）为假．

其中正确的命题是________．（填序号）

答案　②

解析　命题p是假命题，因为平面α与平面γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．

故①③④错误，②正确．

15．已知命题p：

∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：

∃x∈R，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．

解　根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．

∵∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，

∴a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.

故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.

又命题q：

∃x∈R，使不等式x2＋ax＋2<0，

∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，

从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，

∴命题p为真命题，q为假命题时，

a的取值范围为[－2，－1]