《二次函数的应用》教案1.docx

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《二次函数的应用》教案1

二次函数的应用

适用学科

数学

适用年级

初三

适用区域

苏科版

课时时长（分钟）

80

知识点

1.二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题

2.用二次函数图象解决几何问题

教学目标

1.知识与技能：

会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。

2.过程与方法：

通过本节内容的学习，提高自主探索的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。

3.情感态度与价值观：

提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。

教学重点

利用二次函数解决最值问题。

教学难点

根据题意进行相应形式的解设，进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式。

教学过程

一、复习预习

我们学习了利用二次函数最值的求法，我们要能利用二次函数解决最值问题的同时还要能利用二次函数与其他知识相结合解决综合性的问题。

二、知识讲解

考点/易错点1

用二次函数的性质解决实际问题

利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决．

利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．

（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值．考点/易错点2

用二次函数图象解决几何问题

二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全等、相似、最大（小）面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决．解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．

三、例题精析

【例题1】【题干】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：

每投入x万元，可获得利润（万元）。

当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：

在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：

每投入x万元，可获利润（万元）．

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据

（1）、

（2），该方案是否具有实施价值？

【答案】

【解析】

（1）由可得p最大为41。

.继而求的5年所获利润的最大值。

（2）首先求前两年的获利最大值，然后后三年。

（3）比较可知，该方案具有极大的实施价值。

【例题2】

【题干】牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

最大利润是多少？

（利润=销售总价﹣成本总价）

（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

【答案】解：

（1）画图如图：

由图可猜想y与x是一次函数关系，

设这个一次函数为，

∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，

∴，解得，

∴函数关系式是

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是元，依题意得：

　　　当时x=40，W有最大值9000.

（3）对于函数，当x时，W的值随着x值的增大而增大，

　　销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．

【解析】设好一次函数关系式，利用函数的性质

【例题3】

【题干】某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：

销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．

信息2：

销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．

根据以上信息，解答下列问题；

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

【答案】解：

（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，

∴，

解得，

所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，

∵﹣0.1＜0，

∴当m=6时，W有最大值6.6，

∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．

【解析】

（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．

【例题4】

【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？

最大为多少？

（材质及其厚度等暂忽略不计）．

【答案】已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．

由题意得：

y=x（90-x）×20

=-20（x2-90x）

=-20（x-45）2+40500

当x=45时，y有最大值，最大值为40500．

答：

当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．

【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值．

【例题5】

【题干】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C都不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B都不重合）．

（Ⅰ）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE=x，△AEF的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；

（Ⅱ）试问：

是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？

若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

【答案】解：

（Ⅰ）在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5

∴三角形ABC的周长为12，又因EF平方三角形ABC的周长，

∴AE+AF=6，而AE=x，

∴AF=6﹣x

过点F作FD⊥AC于D

则

∴

∴

所以

（Ⅱ）这样的EF存在，

S△ABC=BC?

AC=×4×3=6

∵EF平分△ABC的面积，

所以

解得：

∵0＜x＜3

∴

∴6﹣x＜5

符合题意，所以这样的EF存在，此时AE=．

【解析】（Ⅰ）根据AE=x得到AF，然后表示出DF，利用三角形的面积列出两个变量之间的关系式即可；

（Ⅱ）根据EF平分三角形ABC的面积列出有关x的一元二次方程，解得有意义即可判定存在

【例题6】

【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．

（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

【答案】解：

（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

解这个方程组，得

所以解析式为

（2）由，可得

抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB

∴OM=BM

∴OM+AM=BM+AM

连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小

过点A作AN⊥x轴于点N，

在Rt△ABN中，

因此OM+AM最小值为．

【解析】

（1）待定系数法求函数解析式

（2）两点之间线段最短四、课堂运用

【基础】

1、如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为米，面积为平方米．（注：

的近似值取3）

（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当半径为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．

【答案】

（1）设扇形的弧长为l米.

由题意可知，.

∴.

∴.

其中.

（2）∵.

∴当时，.由题意可知，.

∴.

∴.…………………………………………………2分

其中.…………………………………………………………………3分

（2）∵.

∴当时，.……………………………………………………

由题意可知，.

∴.

∴.…………………………………………………2分

其中.…………………………………………………………………3分

（2）∵.

∴当时，.

由题意可知，.

∴.

∴.…………………………………………………2分

其中.…………………………………………………………………3分

（2）∵.

∴当时，.

【解析】本题主要考查了函数模型的选择与应用．此题涉及中间量转换问题，不过根据公式进行转换难度不是很大.2、已知二次函数的图像经过点P（0,1）与Q（2,－3）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．

①求正方形的ABCD的面积；

②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：

∽

【答案】

【解析】

【巩固】

1、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

【答案】：

（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600，

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）

=﹣10x2+600x﹣5000

=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：

解得：

x1=20，x2=40．

∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：

当20≤x≤40时，w≥3000．

又∵x≤25，

∴当20≤x≤25时，w≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）

=﹣20