名师整理数学九年级下册第26章《262实际问题与反比例函数》优秀教案.docx
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名师整理数学九年级下册第26章《262实际问题与反比例函数》优秀教案
26.2实际问题与反比例函数
第1课时 实际问题与反比例函数
(一)
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.
2.渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能力.
利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.
分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式.
一、创设情景 明确目标
你吃过拉面吗?
你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗?
(1)体积为20cm3的面团做成拉面,面条的总长度y与面条粗细(横截面积)s有怎样的函数关系?
(答案:
y=)
(2)某家面馆的师傅手艺精湛,他拉的面条粗1mm2,面条总长是多少?
(答案:
2000cm)
学完本节课的知识,你就会解答这样的问题了.
二、自主学习 指向目标
1.自主学习教材第12至13页.
2.学习至此,请完成学生用书相应部分.
三、合作探究 达成目标
探究点
(一) 用反比例函数解决面积、体积、容积类问题
活动一:
阅读教材P12页例1.
思考:
圆柱体的体积公式是什么?
第
(2)问和第(3)问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系?
展示点评:
(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系,容积为104,底面积是S,深度为d,满足基本公式:
圆柱的体积=底面积×高,由题意知S是函数,d是自变量,改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式.
(2)问实际上是已知函数S的值,求自变量d的取值,(3)问则是与
(2)相反.
小组讨论1:
如何判断两个变量间的关系?
反思小结:
要判断两个变量间的关系,首先要正确写出它们之间的函数关系式,例如y=(k≠0)的函数即为反比例函数.
【针对训练】
1.我们学习过反比例函数,例如,当矩形面积一定时,长a是宽b的反比例函数,其函数关系式可以写为a=(s为常数,s≠0).
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数关系式.
实例:
________________________________________________________________________;
函数关系式:
________________________________________________________________________.
解:
本题通过范例,再联系日常生活、生产或学习当中可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来,例如:
实例1,三角形的面积S一定时,三角形底边长y是高x的反比例函数,其函数关系式可以写出y=(s为常数,s≠0).
实例2,甲、乙两地相距100千米,一辆汽车从甲地开往乙地,这时汽车到达乙地所用时间y(小时)是汽车平均速度x(千米/小时)的反比例函数,其函数关系式可以写出y=.
2.你吃过拉面吗?
实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识:
一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)s(mm2)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)写出y与s的函数关系式;
(2)求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少米?
解:
(1)依题意,结合图象,不妨设反比例函数的解析式为y=(k≠0,s≥0),由于图象经过点(4,32),则有32=,所以k=128,即y与s的函数关系式为y=(s≥0),
(2)当面条粗s=1.6mm2时,面条的总长度是y=80m.探究点
(二) 用反比例函数解决工程问题
活动二:
阅读教材P13页例2.
思考:
题目中蕴含的等量关系是什么?
我们知道“至少”对应于不等号“≥”,那么需要用不等式来解决第
(2)问吗?
请看教材是如何解决这个问题的,说说看.
展示点评:
此题类似应用题中的“工程问题”,关系式为工作总量=工作速度×工作时间,由于题目中货物总量是不变的,两个变量分别是速度v和时间t,因此具有反比关系.
(2)问涉及了反比例函数的增减性,即当自变量t取最大值时,函数值v取最小值是多少.
小组讨论2:
涉及反比例函数增减性的实际问题求解时,需考虑自变量的取值范围,那么这个范围如何确定?
你有什么认识?
反思小结:
在应用反比例函数解决问题时,自变量的取值范围一般有两方面限制,一是关系式本身的限制,二是实际问题具体要求.
【针对训练】
3.完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式__y=__.
4.学校锅炉旁建有一个储煤库,开学时购进一批煤,现在知道:
按每天用煤0.6吨计算,一学期(按150天计算)刚好用完.若每天的耗煤量为x吨,那么这批煤能维持y天
(1)则y与x之间有怎样的函数关系?
(2)画出函数图象;
(3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?
解:
(1)煤的总量为:
0.6×150=90吨,∵x·y=90,∴y=.
(2)函数的图象为:
(3)∵每天节约0.1吨煤,
∴每天的用煤量为0.6-0.1=0.5吨,
∴y===180天,
∴这批煤能维持180天.
四、总结梳理 内化目标
1.知识小结:
面积一定时,矩形的长与宽成反比;面积一定时,三角形的一边长与这边的高成反比;体积一定时,圆柱体的底面积与高成反比等.建立反比例函数模型解决实际问题时,要注意自变量的取值范围.
2.思想方法小结——深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法.
五、达标检测 反思目标
1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系为(A)
A.v= B.v+t=480
C.v=D.v=
2.A、B两城市相距720千米,一列火车从A城去B城.
(1)火车的速度v(千米/时)和行驶的时间t(时)之间的函数关系是__v=__.
(2)若到达目的地后,按原路匀速返回,并要求在3小时内回到A城,则返回的速度不能低于__240千米/时__.
3.在▱ABCD中,AB=4cm,BC=1cm,E是CD边上一动点,AE、BC的延长线交于点F,设DE=x(cm),BF=y(cm).则y与x之间的函数关系式为__y=__,并写出自变量x的取值范围为__0<x<4__.
4.设△ABC中BC边的长为x(cm),BC上的高AD为y(cm).已知y关于x的函数图象过点(3,4).
(1)求y关于x的函数解析式和△ABC的面积.
(2)画出函数的图象,并利用图象,求当2<x<8时y的取值范围.
解:
(1)由题意,S△ABC=xy,把点(3,4)代入,得S△ABC=xy=×3×4=6,
∴y关于x的函数解析式是y=,△ABC的面积是6厘米2;
(2)如图所示:
当x=2时,y=6;当x=8时,y=1.5,
由函数y=图象的性质得,在第一象限y随x的增大而减小,
∴当2<x<8时,y的取值范围是1.5<y<6.
5.某项工程需要沙石料2×106立方米,某建筑公司承担了该工程运送沙石料的任务.
(1)在这项任务中平均每天的工作量v(立方米/天)与完成任务所需要的时间t(天)之间具有怎样的函数关系写出这个函数关系式.
(2)该建筑公司计划投入A型卡车200辆,每天一共可以运送沙石料2×104立方米,则完成全部运送任务需要多少天?
如果工作了25天后,由于工程进度的需要,公司准备再投入A型卡车120辆.在保持每辆车每天工作量不变的前提下,问:
是否能提前28天完成任务?
解:
(1)成反比例函数关系v=;
(2)把V=2×104带入函数式得:
t=100天,
每辆车每天能运送石料100(立方米),
(2×106-2×104×25)÷[(200+120)×100]=46.875(天),
因为100-25-46.875=28.125>28,
所以能提前28天完成任务.
作业布置:
1.上交作业教科书习题26.2第2,3题.
2.课后作业见学生用书.
教学反思:
本节课是用函数的观点处理实际问题,关键在于分析实际情境,建立函数模型,并进一步明确数学问题.将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释“这是什么”,使学生逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时,应充分利用函数的图象,渗透数形结合的思想.
第2课时 实际问题与反比例函数
(二)
1.体验现实生活与反比例函数的关系,通过解决“杠杆定律”实际问题与反比例函数关系的探究.
2.掌握反比例函数在其他学科中的运用,让学生体验学科的整合思想.
运用反比例函数的知识解决实际问题.
如何把实际问题转化成数学问题,利用反比例函数的知识解决实际问题.
一、创设情景 明确目标
给我一个支点,我可以撬动地球!
——阿基米德
1.你认为可能吗?
2.大家都知道开啤酒的开瓶器,它蕴含什么科学道理?
3.同样的一块大石头,力量不同的人都可以撬起来,是真的吗?
引出杠杆定律,介绍“杠杆定律”的背景及其原理:
阻力×阻力臂=动力×动力臂,激发学生学习的兴趣.
二、自主学习 指向目标
1.自主学习教材第13至15页.
2.学习至此,请完成学生用书相应部分.
三、合作探究 达成目标
探究点
(一) 反比例函数在力学中的应用
活动一:
阅读教材P14页例3.
思考:
什么是“杠杆定律”?
已知阻力与阻力臂不变,设动力为F,动力臂为L,当F变大时,L怎么变?
当F变小时,L又怎么变?
在第
(2)问中,根据
(1)的答案,可得F≤200,要求出动力臂至少要加长多少,就是要求L的什么值?
由此判断我们在使用撬棍时,为什么动力臂越长就越省力?
展示点评:
本题结合物理知识考查了反比例函数的应用,注意物理学知识:
动力×动力臂=阻力×阻力臂.
【针对训练】
1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为1200牛和0.5米,那么动力F和动力臂L之间的函数关系式是__F=__.
2.小强欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为1000牛顿和0.5米,则当动力臂为1米时,撬动石头至少需要的力为__500__牛顿.
探究点
(二) 反比例函数与电学的结合
活动二:
阅读教材P15页例4.
思考:
根据物理知识可以判断:
当用电器两端的电压一定时,用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系?
这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系?
展示点评:
电学中的公式PR=U2,P指用电器的输出功率(瓦),U指用电器两端的电压(伏),R指用电器的电阻(欧姆).
小组讨论:
应用反比例函数解决实际问题体现了什么数学思想?
一般步骤是怎样的?
反思小结:
应用反比例函数解决实际问题体现了建模的数学思想,解决这类问题,一般是根据实际情景所以映的数另一关系列出反比例函数关系式,再化值计算求解.
【针对训练】
3.在公式I=中,当电压U一定时,电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为(D)
A B C D
4.在某一电路中,保持电压不变,电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培.
(1)求I与R之间的函数关系式;
(2)当电流I=0.5时,求电阻R的值.
解:
(1)设I=.∵当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培,∴U=10伏.∴I与R之间的函数关系式为I=.
(2)当I=0.5安培时,0.5=,解得R=20(欧姆).
四、总结梳理 内化目标
1.知识小结:
“杠杆定律”:
动力×动力臂=阻力×阻力臂;PR=U2,P指用电器的输出功率(瓦),U指用电器两端的电压(伏),R指用电器的电阻(欧姆).
2.思想方法小结——建模—反比例函数的数学思想方法.
五、达标检测 反思目标
1.用一根杠杆撬一块重力为10000N的大石头,如果动力臂为160cm,阻力臂为20cm,则至少要用__1250N__的力才能把石头撬动.
2.(中考·扬州)在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则当p=25时,V=__400__.
3.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:
kg/m3)是体积V(单位:
m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10m3时,气体的密度是(D)
A.5kg/m3 B.2kg/m3 C.100kg/m3 D.1kg/m3
第3题图
第4题图
第5题图
4.一块蓄电池的电压为定值,使用此蓄电池为电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示,如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A,那么此用电器的可变电阻应(A)
A.不小于4.8ΩB.不大于4.8Ω
C.不小于14ΩD.不大于14Ω
5.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)当R=10Ω时,电流能是4A吗?
为什么?
解:
(1)电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,设I=(k≠0),把(4,9)代入得:
k=4×9=36,∴I=.
(2)方法一:
当R=10Ω时,I=3.6≠4,∴电流不可能是4A.
方法二:
∵10×4=40≠36,∴当R=10Ω时,电流不可能是4A.
作业布置:
1.上交作业 教科书习题26.2第5,6题.
2.课后作业 见学生用书.
教学反思:
本节课是利用数学知识解决物理问题,反映了数学作为一门基础学科的作用,学生能充分体验到不同学科之间的整合,也增加了学习数学的兴趣。