例析纯电阻电路中求等效电阻的常用方法.docx
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例析纯电阻电路中求等效电阻的常用方法
例析纯电阻电路中求等效电阻的几种方法
计算一个电路的电阻，通常要分析电路的串并联关系，运用欧姆定律求解。
实际电路中，
电阻的连接千变万化，需要应用相应的方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。
本文介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
一、“基本单元”法
找出电路中的“基本单元”，再利用电阻的串并联关系求解。
1、片状导体求等效电阻
【例1】如图1所示，ABCD为一块均匀的半圆形薄电阻合金片，当A、B接入电路时
电阻为R,试求当C、D接入电路时电阻为。
1
【解析】设“基本单元”为沿对称轴AB切开的丄圆，由于A、B间电阻为R（可视为
两个并联的“基本单元”），所以，“基本单元”的电阻为2R,当C、D接入电路时，相当于两个“基本单元”串联，等效电阻为4Ro
图
【例2】如图2甲所示，一材质均匀的正方形薄片导体的阻值为R,若在其正中挖去
1
小正方形，挖去的正方形边长为原边长的丄，则剩余部分的电阻为o
【解析】设挖去的小正方形为“基本单元”，由于原来的电阻为R（3个并联的“基本
单元”，串3个并联的“基本单元”，再串3个并联的“基本单元”）,所以“基本单元”的电阻也为R;挖去后，如图2乙所示，电路相当于3个并联的R、串2个并联的R,再串3个并联的R,等效电阻为-RR=^R.
2、一维有限网络求等效电阻
【例3】如图3甲所示，已知R1=R2=R3=-=Rn=Rn+1=Rm=Rm+1=R/2，贝UA、B间的电阻
Rab=o
【解析】如图3乙所示，找出“基本单元”（虚线方框内电路）进行递归，发现“基本
单元”重现，容易得到Rab=R.
2
3、一维无限网络求等效电阻
（1）单边形
【例4】如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是之间的等效电阻Rab=。
【解析】因为是电路是“无限”的，所以增减一个“基本单元”不影响其等效电阻。
图4乙虚线方框为一个个“基本单元”。
R余，则:
设去掉最左侧那个“基本单元”后剩余电路的电阻为
R余r口
Rab=2r,且R余=Rab
R余+r
解得：
Rab31）r
【例5】如图5甲所示的电路是一个单
边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是
r，则A、B之间的等效电阻Rab=
（2）双边形
【例6】一两端无穷的电路如图6甲所示，其中每个电阻均为r，则a、b两点之间的电
阻Rab=。
、“等势点断路或短路”法
把该电阻去掉，这种方法称之为“等势点断路”法；同样，等势点之间也可以用导线连接起来缩成一点，即短路，这种方法称之为“等势点短路”法。
【例7】如图7甲所示电路，由12根阻值都为Ro的电阻丝连接而成，则A、D间的电阻Rad=。
【解析】将A、D两端接入电源，假设电阻丝BG和CG交于G!
（G!
与G靠近而不连接），电阻丝FG和EG交于G2（G2与G靠近而不连接）。
这样，电路中G、G?
三点分
别处电流流径的对称点上（即三条电流路径的中位），所以它们是等势点。
现将Gi、G、G2
用导线连接时不会有电流在这三点之间通过，将等势点拆下后，等效电路如图7乙所示。
据
图容易求得Rad=0.8Ro。
【例8】在图8甲所示的电路中，R1=1Q,R2=4Q,R3=3Q,R4=12Q,R5=10Q,
则A、B两端的等效电阻Rab=。
上，只要满足邑=色的关系，电路即为平衡的桥式电路。
）
R2R4
【例11】如图11所示的网状电路中含有四个六边形，已知六边形每边的电阻都是r,
则A、H间的等效电阻Rah=
图11丙
D
zf
u』
三条棱上电流都为-。
设ACi间电压为U，任选一条电流路径可计算出
3
丄+J岂，所以验i=U=5r.
636I6
图12乙
图12甲
【例13】如图13所示，Ri=R2=R3=R4=2Q,Rs=4Q,则电路总电阻为Q。
【解析】假设R3不存在，可判断其下端点的电势较高，所以R3上的电流由下而上流过。
设R1、R2、R3上的电流分别为11、12、13，则：
R4的电流为I1+I3；R5上电流为I2_I3
U=I2R?
+（I2—I3）只5=I2R2+I3R3+（I1+I3）只4=I1R1+（h+I3）R4整理：
612—4b=211+212+4丨3①
612—4怯=411+213②
解得：
h=6I3；I2=5I3
丨5=丨2—丨3=4丨3,
UU2+U55I^^4I^426
选择电流流过R2、R5这条路径可求得R=U=U2U5=5'324I34二竺门.
II11I311
（注：
此电路即为非平衡的桥式电路。
）
图14甲是由均匀电阻丝焊接成的框架电路,r，则框架A、E两点间的电阻为
图14甲
a/H时（iSi
图14乙
【解析】如图14乙所示，假设电流I从A点流入，E点流出，设AH、HG、GF上的电
流分别为a、卩、6I，则流经HC、GD、BC、CD、DE的电流分别为（a—册、（3-9）I、（1
—a）I、（1—3）1、（1—9）I，根据电路的对称性，AH和DE中的电流对应相等，HG和CD中
的电流对应相等。
1
4a—3=2
a^=1,3=—；又因为Uahc=Uabc
2
四、“电流叠加”法
电路中有多个电源，通过电路中任一支路的电流等于每个电源单独存在时在该支路上产生电流的代数和。
【例15】图15甲是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都
是r，则两个结点A、B之间的等效电阻Rab=。
【解析】如图15乙所示，假设电流I从A点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对
称性，有-电流由A点流到B点；假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到B
4
点后流出，同样有丄电流经A点流到B点。
这样，AB段的电流便由两个丄叠加而成，为丄.
442
Ir3_
I
五、不变部分电阻“重复代用”法
【例18】三个完全相同的金属环两两正交，并把正交点焊接，成为球形骨架，如图18
所示。
若每个四分之一圆周金属丝电阻为R时，测得A、B间电阻为Rab。
今将A、B间一
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段金属丝改换成另一个阻值为
R
R的一段四分之一圆周的金属丝，则A、B间的电阻R'=
2
O
六、“再造电路对称”法
图20乙
七、“等势点断路+基本单元”法
【解析】A、B两端接入电源，根据“等势点断路”法，拆去背面那根无限长的电阻丝，发现C、D、E…各点处在电流路径的对称点上（各条电流路径的中位），它们的电势彼此相
等。
电路可以等效为图20乙所示的二维无限网络。
这样A、B间的电阻可看作左、中、右
三个部分并联。
R中=2RR二空，对于左、右两侧的电阻，参照例4可求得R左=R右=3'21R.2RR33
1111
=rr
RabR左R右R中
2転
Rab=齐R
参考文献：
[1]张大同.高中物理竞赛辅导[M]•第2版.西安：
陕西师范大学出版社，2003:
274-314
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