平行线相关模型.docx
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平行线相关模型
平行线相关模型
模型一、拐角模型：
图1图2图3
已知：
如图1，AB∥CD，则有∠BED=∠B+∠D
证法一：
如图2，过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠D=∠DEF，∵∠BED=∠BEF+∠DEF，∴∠BED=∠B+∠D
证法二：
如图3，延长BE交CD于点G（或延长DE交AB于点G），∵AB∥CD，∴∠B=∠EGD，
由三角形外角定理，可得∠BED=∠EGD+∠D，∴∠BED=∠B+∠D
【注意】证法一中不要忽略对EF∥CD的证明.
例题1：
如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）
A.132°B.134°C.136°D.138°
例题2：
如图，已知HD//GE,∠DAB=120°
如图1.若∠BCG=20°，求∠B的度数
如图2，∠BCG=∠BCF，AF平分∠BAH，∠BCG=20°，则∠F的度数是．
如图3，P是AB上一点，Q是GE上一点，PN平分∠APQ,QN平分∠PQE，探究∠HAP与∠N的数量关系，并说明理由
巩固练习：
1、如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4为（）
A.∠1+∠2-∠3B.∠1+∠3-∠2
C.180°+∠3-∠1-∠2D.∠2+∠3-∠1-180°
2.已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？
并说明理由．
模型二、铅笔模型
图1图2图3
已知：
如图1，AB∥CD，则∠B+∠BED+∠D=360°.
证法一：
如图2，过点E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠D+∠FED=180°，∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°.
证法二：
如图3，延长AB和DE交于点G，（或延长BE和CD），∴∠ABE+∠EBG=180°，
∵AB∥CD，∴∠G+∠D=180°.由三角形的外角定理，得∠BED=∠G+∠EBG，
∴∠ABE+∠BED+∠D=∠ABE+∠EBG+∠G+∠D=360°.
例题1：
如图，已知AE//CF,∠P+∠AEP+∠PFC=_____________.
例题2：
已知：
直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．
（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．
（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．
2、如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2=90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．
A.120°B.135°C.145°D.150度
模型三、臭脚模型
图1图2
已知：
如图1，AB∥CD，则∠ABE=∠D+∠E.
证明：
如图2，延长EB交CD于点F（或延长AB与DE相交），∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE，
∵∠CFE=∠D+∠E，∴∠ABE=∠D+∠E.
例题1：
如图，已知AE∥CF，试求出∠P，∠AEP和∠CFP的数量关系.
例题2：
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=__________.
巩固练习：
1、如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=___________.
模型四：
骨折模型
已知：
如图，AB∥CD，则有∠B=∠D+∠E.
证明：
∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，
∵∠BFD=∠D+∠E，∴∠B=∠D+∠E.
例题1：
已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点M、N，点P在直线CD上，点Q是直线EF上一动点。
（1）如图1，当点Q在射线ME上时（点Q不与点M重合）；
求证：
∠NQP+∠NPQ+∠AMN=180°
（2）如图2，当点Q在射线NF上时（点Q不与点N重合）。
请探索∠NQP,∠NPQ和∠AMN的关系，并说明理由。
例题2：
如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=____________
答案：
40°
巩固练习：
1、如图，
，
，则
等于（）
A.138°B.118°C.38°D.62°
答案：
B
2、如图，∠3==∠1+∠2，求证：
∠A+∠B+∠C+∠D=180°．
平行线+角平分线模型
如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，则有AC=AE
证明：
∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，
∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD，
∴∠ACE=∠AEC，∴AC=AE（等角对等边）
例题1、如图1，∠1=∠2，∠D=70°,BE平分∠ABD并交CD于E.求∠BED的度数.
例题2、如图，矩形纸片ABCD中，其中AD=8，AB=6，沿对角线BD对折，点C落在点C’的位置，
BC’交AD于点G.
（1）求证：
AG=C’G.
（2）求AG的长.
巩固练习：
1、如图，已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点M，N，NG平分∠MND，若∠1=70°，求∠2的度数．
2、如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.
求证：
（1）△BDF是等腰三角形
（2）BD+EC=DE．
同旁内角双角平分线模型
图1图2
如图1，AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，过点E作AB的垂线FG，与AB和CD分别交于点F,G、
则有
（1）BE⊥DE；
（2）EF=EG；（3）BD=BF+DG；（4）
；（5）△BEF∽△BDE∽△EDG.
理由：
（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°，∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠EBD=
∠ABD，
∠EDB=
∠BDC，∴∠EBD+∠EDB=
（∠ABD+∠BDC）=90°，∴∠BED=90°，∴BE⊥DE.
（2）作EH⊥BD于点H，由角平分线的性质，得EF=EH=EG;
（3）易证△EBF≌△EBH，△EDH≌△EDG，∴BD=BH+DH=BF+DG.
（4）由△EBF≌△EBH，△EDH≌△EDG，易得
=
；
（5）△BEF，△BDE，△EDG中分别有两组角相等.
例题1、如图，在平面直角坐标系中，矩形A0BC的边长为AO=6，BO=8，E是BO的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G.求点G的坐标.
例题2、已知：
如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
（1）求证：
AB∥CD；
（2）试探究∠2与∠3的数量关系．
巩固练习:
1、如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°.点O为BD的中点.OA平分∠BAC，且AB=2，AC=6.求AO的长.
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC.
求证：
AD=AB-BC.
课堂练习：
1、如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+∠CHG=_________.
2、如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．试求出∠E，∠A和∠C的数量关系.
3、如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM=____________.
4、如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：
EF是⊙O切线；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．
5、如图，矩形纸片
中，
，
．现将其沿
对折，使得点
落在边
上的点
处，折痕与边
交于点
，则
的长为（）
A.8B.10C.
D.
课后作业：
1、如图，已知AB∥EF，求∠1-∠2+∠3+∠4的度数.
2、如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则线段EC的长为（）
A.1.5B.2C.2.5D.3
3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=
BC=1，则下列结论：
∠CAD=30°；
；
；
；
，正确的有___________.
4、如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：
△ADE≌△CED；
（2）求证：
△DEF是等腰三角形．
5、如图1，图2，△ABC中，BF，CE分别为AC，AB边上的中线，BF⊥CE于点P．
（1）如图1，当BC=
，∠PCB=45°时，PE=_____，AB=_____；
（2）如图2，猜想
、
、
三者之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，平行四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，AD=3AM，BC=3BN，连接AN，BM，CM，AN与BM交于点G，若BM⊥CM于点M，AB=4，AD=
，求AN的长．
6、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B落在AD边的B’处，若AE=2，DE=6，EF=EB’,则矩形ABCD的面积是（）.
A.12B.24C.
D.
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