数学建模 D题肠衣搭配问题.docx

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数学建模D题肠衣搭配问题

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

长春工程学院

参赛队员（打印并签名）：

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2011年9月11日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

天然肠衣搭配问题

摘要

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

本文对肠衣的搭配进行分析，使用运筹学与最优化方法针对对肠衣搭配问题中的目标、约束条件、决策变量建立一个数学模型，考虑到原料的最大化利用以及食品保鲜，提出运用最优化方法针对所建立的模型，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到原料搭配方案的最优目标。

关键词：

运筹学与最优学，优化资源分配

一问题重述

这是一个肠衣原料搭配方案设计的问题。

天然肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：

3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1成品规格表

最短长度

最大长度

根数

总长度

6.5

13.5

∞

为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。

表2为某批次原料描述。

表2原料描述表

长度

3-3.4

3.5-3.9

4-4.4

4.5-4.9

5-5.4

5.5-5.9

6-6.4

6.5-6.9

根数

长度

7-7.4

7.5-7.9

8-8.4

8.5-8.9

9-9.4

9.5-9.9

10-10.4

10.5-10.9

根数

长度

11-11.4

11.5-11.9

12-12.4

12.5-12.9

13-13.4

13.5-13.9

14-14.4

14.5-14.9

根数

长度

15-15.4

15.5-15.9

16-16.4

16.5-16.9

17-17.4

17.5-17.9

18-18.4

18.5-18.9

根数

长度

19-19.4

19.5-19.9

20-20.4

20.5-20.9

21-21.4

21.5-21.9

22-22.4

22.5-22.9

根数

长度

23-23.4

23.5-23.9

24-24.4

24.5-24.9

25-25.4

25.5-25.9

根数

根据以上原料资料运用运筹学与最优化思想，以达到原料优化组合合理分配的效果，最终提高公司效率和资源利用率。

公司对搭配方案有以下具体要求：

（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

（3）为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

（5）为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

二问题分析

为了方便区分，将三种规格的成品分为成品1、成品2、成品3.搭配方案的选择有如下5个要求：

（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；

（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；

（3）为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；

（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；

（5）为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

考虑问题的题设和要求，我们要解决的是关于肠衣搭配的资源优化配置问题，对题目仔细地分析后，我们确定三种不同规格的成品1，成品2，成品3为最终成品数即在成品总长度可以有±0.5的误差，总根数可以少一根的情况下，在有限资源下得出最多的最终总成品数资源配置的目标函数。

我们分析关系，建立了使效益与效率最大化的模型，寻找到约束条件即成品数以长度长的成品为先，原料优先服务于长长度的成品规格以及

总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，原料可降级使用等，利用约束条件起到的有效约束作用，再借助计算机对规划模型进行最优求解。

此外，为了目标函数和约束条件的顺利表达，我们在正式模型建立之前，做了大量的完整而系统的的模型准备工作，用量化的语言理清了各部分之间的关系。

三模型假设

1.所有原料都能用于组装成捆，不考虑质量问题。

2.原料资料的统计不在方案产生的时间内。

3.原料在捆绑过程中不损坏。

四符号说明

1.a第一种规格成品中肠衣根数

2.b第二种规格成品中肠衣根数

3.c第一规格成品中肠衣根数

（i=1，2,3）各规格成品的捆数

5.s每种规格成品的总长度

（i=1,2,……42）原料各档使用的根数

7.Z原料总长度

五模型的建立及求解

根据公司给的搭配方案中要求

（2）和要求（4），得出以下结论。

即成品3的优先级大于成品2的的优先级大于成品1的优先级，也就是说长度长的原料优先使用，剩余原料降级使用，避免长原料的过多浪费，所以我们先以成品3为例进行方案搭配。

1.成品3的模型建立

决策变量用

（i=23,24,25……42）表示各规格成品使用的原料的根数是非负整数。

决策目标在成品3规格下得出最优搭配方案。

⑴

下面进行求解

约束条件为满足搭配要求及成品3规格表，应有

88.5≤Z≤89.5⑵

⑶

模型求解

将

（1），

（2），（3）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINGO如下：

88.5<=14*x23+14.5*x24+15*x25+15.5*x26+16*x27+16.5*x28+17*x29+17.5*x30+18*x31+18.5*x32+19*x33+19.5*x34+20*x35+20.5*x36+21*x37+21.5*x38+22*x39+22.5*x40+23.5*x41+25.5*x42;

14*x23+14.5*x24+15*x25+15.5*x26+16*x27+16.5*x28+17*x29+17.5*x30+18*x31+18.5*x32+19*x33+19.5*x34+20*x35+20.5*x36+21*x37+21.5*x38+22*x39+22.5*x40+23.5*x41+25.5*x42<=89.5;x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42=5;

[a1]x23<=26;

[a2]x24<=27;

[a3]x25<=28;

[a4]x26<=42;

[a5]x27<=28;

[a6]x28<=42;

[a7]x29<=45;

[a8]x30<=49;

[a9]x31<=50;

[a10]x32<=60;

[a11]x33<=52;

[a12]x34<=63;

[a13]x35<=49;

[a14]x36<=35;

[a15]x37<=27;

[a16]x38<=16;

[a17]x39<=12;

[a18]x40<=2;

[a20]x41<=6;

[a24]x42<=1;

[a27]@gin（x23）;

[a28]@gin（x24）;

[a29]@gin（x25）;

[a30]@gin（x26）;

[a31]@gin（x27）;

[a32]@gin（x28）;

[a33]@gin（x29）;

[a34]@gin（x30）;

[a35]@gin（x31）;

[a36]@gin（x32）;

[a37]@gin（x33）;

[a38]@gin（x34）;

[a39]@gin（x35）;

[a40]@gin（x36）;

[a41]@gin（x37）;

[a42]@gin（x38）;

[a43]@gin（x39）;

[a44]@gin（x40）;

[a45]@gin（x41）;

[a46]@gin（x42）;

求解可以得到最优解如下：

VariableValue

X233.000000

X240.000000

X250.000000

X260.000000

X270.000000

X280.000000

X290.000000

X300.000000

X310.000000

X320.000000

X330.000000

X340.000000

X350.000000

X360.000000

X370.000000

X380.000000

X390.000000

X400.000000

X412.000000

X420.000000

RowSlackorSurplus

10.5000000

20.5000000

30.000000

A123.00000

A227.00000

A328.00000

A442.00000

A528.00000

A642.00000

A745.00000

A849.00000

A950.00000

A1060.00000

A1152.00000

A1263.00000

A1349.00000

A1435.00000

A1527.00000

A1616.00000

A1712.00000

A182.000000

A204.000000

A241.000000

即按照规格为成品3的搭配方案为：

长度为

的原料用3根，长度为

的原料用2根，根据原料根数的限制，以以上比例出成品3只能出3捆，于是根据原料根数的剩余量，改变约束条件继续对剩余原料进行方案搭配，可得以下数据

表一成品3搭配方案

长度

x23

x24

x25

x26

x27

x28

x29

x30

X31

X32

X33

X34

X35

X36

X37

X38

X39

X40

X41

X42

捆数

用量

合计

124

剩余

根据以上表格可知：

出成品3124捆。

（17.5-17.9m）剩余10根，

（20-20.4m）剩余30根，

（20.5-20.9m）剩余17根。

根据要求（4）可将

，

原料降级使用到成品2的方案搭配中。

2.成品2模型建立

决策变量用

（i=9,10,11……22）表示各规格成品使用的原料的根数是非负整数。

决策目标在成品2规格下得出最优搭配方案。

⑷

下面进行求解

约束条件为满足搭配要求及成品2规格表，应有

88.5≤Z≤89.5⑸

⑹

模型求解

将

（1），

（2），（3）构成的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINGO如下：

88.5<=7*x9+7.5*x10+8*x11+8.5*x12+9*x13+9.5*x14+10*x15+10.5*x16+11*x17+11.5*x18+12*x19+12.5*x20+13*x21+13.5*x22+17.5*x30+20*x35+20.5*x36;

7*x9+7.5*x10+8*x11+8.5*x12+9*x13+9.5*x14+10*x15+10.5*x16+11*x17+11.5*x18+12*x19+12.5*x20+13*x21+13.5*x22+17.5*x30+20*x35+20.5*x36<=89.5;x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x30+x35+x36=8;

x9<=24;

x10<=24;

x11<=20;

x12<=25;

x13<=21;

x14<=23;

x15<=21;

x16<=18;

x17<=31;

x18<=23;

x19<=22;

x20<=59;

x21<=18;

x22<=25;

x30<=10;

x35<=30;

x36<=17;

[a27]@gin（x9）;

[a28]@gin（x10）;

[a29]@gin（x11）;

[a30]@gin（x12）;

[a31]@gin（x13）;

[a32]@gin（x14）;

[a33]@gin（x15）;

[a34]@gin（x16）;

[a35]@gin（x17）;

[a36]@gin（x18）;

[a37]@gin（x19）;

[a38]@gin（x20）;

[a39]@gin（x21）;

[a40]@gin（x22）;

[a41]@gin（x30）;

[a42]@gin（x35）;

[a43]@gin（x36）;

求解可得最优解如下：

Feasiblesolutionfound.

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

115

VariableValue

X94.000000

X100.000000

X111.000000

X120.000000

X130.000000

X140.000000

X150.000000

X160.000000

X170.000000

X180.000000

X190.000000

X201.000000

X210.000000

X220.000000

X300.000000

X351.000000

X361.000000

即按照规格为成品2的搭配方案为：

长度为

的原料用4根，长度为

的原料用1根，长度为

，

的原料各用1根。

根据原料根数的限制，以以上比例出成品2只能出1捆，于是根据原料根数的剩余量，改变约束条件继续对剩余原料进行方案搭配，可得以下数据

表二成品2搭配方案

长度

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x20

x21

x22

x30

x35

x36

捆数

用量

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