数学建模报告数学规划求解模型过程分析研究.docx
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数学建模报告数学规划求解模型过程分析研究
2012——2013学年第二学期
合肥学院数理系
实验报告
课程名称：
数学模型
实验项目：
数学规划模型求解过程
实验类别：
综合性□设计性□验证性□
专业班级：
10级数学与应用数学
（1）班
姓名：
汪勤学号：
1007021004
实验地点：
35#611
实验时间：
2013年4月25日
指导教师：
闫老师成绩：
一.实验目的：
了解线性规划的基本内容及求解的基本方法，学习MATLAB,LINDO,LINGO求解线性规划命令，掌握用数学软件包求解线性规划问题;了解非线性规划的基本内容，掌握数学软件包求解非线性规划问题。
二.实验内容：
1、加工奶制品的生产计划问题
一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求,生产的A1、A2能全部售出,且每公斤A1获利24元每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题：
（1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？
若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
（3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？
2、奶制品的生产销售计划问题
第1题给出的A1，A2两种奶制品的生产条件、利润及工厂的“资源”限制全都不变。
为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：
用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1能获利44元，每千克B2能获利32元。
试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：
（1）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资？
若每天投资150元可赚回多少？
（2）每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响？
若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化吗？
（3）若公司已经签订了每天销售10千克A1的合同并且必须满足，该合同对公司的利润有什么影响？
3、货机装运
某架货机有三个货舱：
前仓、中仓、后仓。
三个货舱所能装载的货物的最大质量和体积都有限制，如下图所示。
并且为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的质量必须与其最大容许质量成比例。
前仓
中仓
后仓
质量限制/t
10
16
8
体积限制/
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如下图，最后一列指装运后所获得的利润。
质量/t
体积/
利润/
货物1
18
480
3100
货物2
15
650
3800
货物3
23
580
3500
货物4
12
390
2850
应如何安排装运，使该货机本次飞行获利最大？
4、原油采购与加工
问题：
某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。
甲、乙两种汽油含原油的最低比例分别为50％和60％，每吨售价分别为4800元和5600元。
该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。
原油A的市场价为：
购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨单不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。
该公司应如何安排原油的采购和加工?
模型a非线性规划模型
模型b线性规划模型
5、选课策略
问题：
某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。
这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下图所示。
课程编号
课程名称
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学
微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学
微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机
微积分；线性代数
模型a选课门数最少
模型b选课门数最少，学分最多
三.实验方案（程序设计说明）
第1题：
模型建立：
设每天用
桶牛奶生产A1，用
桶牛奶生产A2.设每天获利为
元.
桶牛奶可生产3
千克A1，获利24
3
，
桶牛奶可生产4
千克A2，获利16
4
，则建立以下数学模型：
第2题：
模型建立：
设每天销售
千克A1，
千克A2，
千克B1，
千克B2，用
千克A1加工B1，
千克A2加工B2；设每天净利润为
，则根据题意建立如下数学模型：
第3题：
模型建立：
用
表示第i种货物装入第j个货舱重量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前仓、中仓、后仓.Ci表示第i种货物所得的利润（元/吨），Di表示第i种货物所占的空间。
决策目标Z是最大利润，建立以下数学模型：
约束条件包括以下四个方面：
（1）供装载的四种货物的总重量的约束，即
（2）三个货舱的重量限制，即
（3）三个货舱的空间限制，即
（4）三个货舱装入重量的平衡约束，即
第4题：
模型建立：
设原油A的购买量为
，根据题目所给数据，采购的支出
可表为
如下的分段线性函数（以下价格以千元/t为单位）：
模型a非线性规划模型
设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为
和
，原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为
和
，则总的收入为
.所以目标函数—利润为
约束条件包括加工两种汽油用的原油A、原油B库存量的限制，和原油A购买量的限制，以及两种汽油含原油A的比例限制，分别表示为
模型b线性规划模型
令
分别表示以10千元/t、8千元/t、6千元/t的价格采购原油A，则新的数学模型如下：
第5题：
模型建立：
用
表示选修表2中按编号顺序的9门课程（
表示不选；i=1,2….,9）.问题的目标为选修的课程总数最少，即
模型a选课门数最少
根据题意建立以下数学模型：
模型b选课门数最少，学分最多
根据题意建立以下数学模型：
四.实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
第1题程序编写：
model:
max=72*x1+64*x2;
[milk]x1+x2<50;
[time]12*x1+8*x2<480;
[cpct]3*x1<100;
end
第2题程序编写：
model:
max=24*x1+16*x2+44*x3+32*x4-3*x5-3*x6;
4*x1+3*x2+4*x5+3*x6<600;
4*x1+2*x2+6*x5+4*x6<480;
x1+x5<100;
x3=0.8*x5;
x4=0.75*x6;
end
第3题程序编写：
model:
max=3100*（x11+x12+x13）+3800*（x21+x22+x23）+3500*（x31+x32+x33）+2850*（x41+x42+x43）;
x11+x21+x31+x41<=10;
x12+x22+x32+x42<=16;
x13+x23+x33+x43<=8;
480*x11+650*x21+580*x31+390*x41<=6800;
480*x12+650*x22+580*x32+390*x42<=8700;
480*x13+650*x23+580*x33+390*x43<=5300;
（x11+x21+x31+x41）/10=（x12+x22+x32+x42）/16;
（x12+x22+x32+x42）/16=（x13+x23+x33+x43）/8;
x11+x12+x13<=18;
x21+x22+x23<=15;
x41+x42+x43+x43<=12;
end
第4题模型b程序编写：
model:
max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;
x-x1-x2-x3=0;
x11+x12-x<500;
x21+x22-x<1000;
0.5*x11-0.5*x21>0;
0.4*x12-0.6*x22>0;
x1-500*y1<0;
x2-500*y2<0;
x3-500*y3<0;
x1-500*y2>0;
x2-500*y3>0;
@bin（y1）;@bin（y2）;@bin（y3）;
End
第5题模型a程序编写：
model:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9;
x1+x2+x3+x4+x5>2;
x3+x5+x6+x8+x9>3;
x4+x6+x7+x9>2;
2*x3-x1-x2<0;
x4-x7<0;
2*x5-x1-x2<0;
x6-x7<0;
x8-x5<0;
2*x9-x1-x2<0;
end
@bin（x1）;@bin（x2）;@bin（x3）;@bin（x4）;@bin（x5）;@bin（x6）;@bin（x7）;@bin（x8）;@bin（x9）;
第5题模型b程序编写：
model:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9;
max=5*x1+4*x2+4*x3+3*x4+4*x5+3*x6+2*x7+2*x8+3*x9;
x1+x2+x3+x4+x5>2;
x3+x5+x6+x8+x9>3;
x4+x6+x7+x9>2;
2*x3-x1-x2<0;
x4-x7<0;
2*x5-x1-x2<0;
x6-x7<0;
x8-x5<0;
2*x9-x1-x2<0;
end
@bin（x1）;@bin（x2）;@bin（x3）;@bin（x4）;@bin（x5）;@bin（x6）;@bin（x7）;@bin（x8）;@bin（x9）;
五．程序运行结果
第1题运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3360.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X120.000000.000000
X230.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13360.0001.000000
MILK0.00000048.00000
TIME0.0000002.000000
CPCT40.000000.000000
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X172.0000024.000008.000000
X264.000008.00000016.00000
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
MILK50.0000010.000006.666667
TIME480.000053.3333380.00000
CPCT100.0000INFINITY40.00000
所以这个线性规划的最优解为
（即用20桶牛奶生产A1，30桶牛奶生产A2）。
最大利润为3360元。
第2题运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3460.800
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X10.0000001.680000
X2168.00000.000000
X319.200000.000000
X40.0000000.000000
X524.000000.000000
X60.0000001.520000
RowSlackorSurplusDualPrice
13460.8001.000000
20.0000003.160000
30.0000003.260000
476.000000.000000
50.00000044.00000
60.00000032.00000
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X124.000001.680000INFINITY
X216.000008.1500002.100000
X344.0000019.750003.166667
X432.000002.026667INFINITY
X5-3.00000015.800002.533333
X6-3.0000001.520000INFINITY
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
2600.0000120.0000280.0000
3480.0000253.333380.00000
4100.0000INFINITY76.00000
50.0INFINITY19.20000
60.0INFINITY0.0
最优解为
，最优值为
。
第3题运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
121515.8
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
19
VariableValueReducedCost
X110.000000400.0000
X120.00000057.89474
X130.000000400.0000
X2110.000000.000000
X220.000000239.4737
X235.0000000.000000
X310.0000000.000000
X3212.947370.000000
X333.0000000.000000
X410.000000650.0000
X423.0526320.000000
X430.000000650.0000
RowSlackorSurplusDualPrice
1121515.81.000000
20.0000003500.000
30.0000001515.789
40.0000003500.000
5300.00000.000000
60.0000003.421053
7310.00000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
1018.000000.000000
110.000000300.0000
128.9473680.000000
结果为货物2装入前仓7t、装入后仓9t；货物3装入前仓3t、装入中仓13t；货物4装入中仓3t。
最大利润为121516元。
第4题模型b运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
7200.000
Objectivebound:
7200.000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X112000.0000.000000
X212000.0000.000000
X120.0000000.000000
X220.0000000.4000000
X1500.00000.000000
X2500.00000.000000
X3500.00000.000000
X1500.0000.000000
Y11.0000000.000000
Y21.000000-600.0000
Y31.000000-1800.000
RowSlackorSurplusDualPrice
17200.0001.000000
20.0000009.600000
30.0000009.600000
4500.00000.000000
50.000000-9.600000
60.000000-10.00000
70.0000000.000000
80.0000001.600000
90.0000003.600000
100.000000-0.4000000
110.0000000.000000
最优解是购买1000t原油A，与库存的500t原油A和1000t原油B一起，共生产2500t汽油乙，利润为5000000元，高于局部最优解对应的利润。
第5题模型a运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4.857143
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
7
VariableValueReducedCost
X11.1428570.000000
X20.0000000.000000
X30.57142860.000000
X40.0000000.7142857
X50.57142860.000000
X60.71428570.000000
X70.71428570.000000
X80.57142860.000000
X90.57142860.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
14.857143-1.000000
20.28571430.000000
30.000000-1.428571
40.000000-0.2857143
50.0000000.2142857
60.71428570.000000
70.0000000.4285714
80.0000000.7142857
90.0000000.4285714
100.0000000.3571429
结果为
其他变量为0。
对照课程编号，它们分别是微积分、线性代数、最优化方法、计算机模拟、计算机编程、数学实验，共6门课程，总学分为21。
第5题模型b运行结果：
VariableValue
X11.000000
X21.000000
X31.000000
X41.000000
X51.000000
X61.000000
X71.000000
X81.000000
X91.000000
RowSlackorSurplus
10.000000
21.000000
3-1.000000
4-1.000000
5-1.000000
61.000000
71.000000
81.000000
91.000000
101.000000
110.000000
六．实验总结
《数学建模》是大学阶段我们需要掌握的一门重要课程，在根据题意建模的过程中，需要多种数学软件辅助进行，本实验中运用了Matlab软件、LINGO软件以及MathType软件，以下对各个实验题目进行注释说明：
（1）第1题在产品利润、加工时间等参数均可设为常数的情况下，建立了线性规划模型。
线性规划模型的三要素是：
决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划模型可以方便地使用LINGO软件求解，得到内容丰富的输出，而且利用其中的影子价格和灵敏度分析，可对模型结果作进一步的研究，它们对实际问题常常是十分有益的。
（2）与第1题相比，第2题多了两种产品B1、B2，它们的销售量与A1、A2的加工量之间存在一定的等式关系，虽然可以据此消掉2个变量，但是会增加人工计算，并使模型变得复杂。
因此，我们应尽可能的利用原始的数据信息，把尽量多的计算留给计算机去作。
（3）在第3题中，我们似乎可以把四种货物看成四个供应点，三个货舱看成三个需求点（或者反过来）。
但是，题中对供需量的限制包括两个方面：
质量限制和空间限制，且有装载平衡要求。
因此它只能看成是运输问题的一种变形和拓展。
（4）第4题的关键是处理分段线性函数，它可建立非线性规划模型和线性规划模型两种模型，由于一般的非线性规划软件也难以输入和求解，所以我们可以将问题化为整数规划模型来求解。
（5）在第5题中，用0-1变量表示选择策略是常用的方法，而在讨论多目标规划问题时，需先通过加权组合形成一个新的目标，从而化为单目标函数。
优先考虑一个目标不过是这种办法的极端情况，而把一个目标作为约束条件，解另一个目标的规划模型，也是处理多目标规划的方法。
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七．教师评语及成绩
教师签名：
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