八年级三角形的奥数题及其答案docx.docx

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八年级三角形的奥数题及其答案docx

例题1：

AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：

△AEB≌△DFC

例题2：

P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：

AP⊥EF．

例题3：

△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：

∠BCH＝∠ABC．

例题4：

在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．

求证：

PQ＝PB＋DQ．

例题5：

过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE

于E．求证：

ED∥BC．

例题6：

如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝23，PC＝4，求ABC的边

长.

例题7：

如图（l），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD＝∠APB=α。

且∠BPC＝

∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．

（l

）在图（

3

）正方形

ABCD内画一个半等角点

P，且满足α≠β。

（2

）在图（

4

）四边形

ABCD

中画出一个半等角点

P，保留画图痕迹（不需写出画法）

.

（3

）若四边形

ABCD

有两个半等角点

P1

、P2（如图（

2））

，证明线段

P1P2上任一点

也是它的半等角点

。

例题8：

已知：

点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。

（1）如图1，若点O在BC上，求证：

AB＝AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：

AB＝AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？

请画图表示。

练习试题：

1．如图，在△ABC中，

ABC和

ACB的平分线相交于点

O，过点

O作EF∥BC交

AB

于E，交

AC于

F

，过点

O作OD

AC于

D．下列四个结论：

①

BOC

1

90°+

A；

2

②以

E为圆心、

BE为半径的圆与以

F

为圆心、

CF为半径的圆外切；

③设ODm，AEAF

n，则△

mn

；

SAEF

④EF不能成为△ABC的中位线．

其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）

2．如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，SDMC、SDAC和SDBC分别表示△DNC、

△DAC、△DBC的面积。

当

AB∥CD时，有SDMC

＝SDACSDBC

（1）

2

（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，

（1）式是否成立？

请说明理由。

（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，SDMC、SDAC和SDBC有何种相等关系？

试证明你的结论。

3．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠

EBD＝62o，则∠AEB的度数是【

】

（A）124o

（B）122o

（C）120o

（D）118o

4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线

上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给

出证明.

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，

且PA＝8，PC＝6，则PB＝_____________

6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BAD60，则EDC__________

7．

（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角

形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（

OAB和OCD不能重叠），求∠AEB的大小.

8．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，

B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

DCBE．

9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形

的是__________________。

（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD，③AB＋BD＝AC＋CD④AB－BD＝AC－CD

参考答案

例题1、证明：

△OAE≌△ODF，因为：

二边及夹角（对等角）相等，得：

AE=DF。

同理证得：

△OBE≌△OCF，△OAB≌△OCD，得：

EB=CF，AB=CD。

因为：

AE=DF，EB=CF，AB=CD三边相等。

所以：

△AEB≌△DFC

例2F于点G延长EP交AB于M,延长FP交AD于N

∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点∴PM=PF,PN=PE

又AMPN为矩形.

∴AN=PM=PF

∵∠EPF=∠BAC=90°

∴△PEF≌△ANP

∴∠NAP=∠PFE

又∠NPA=∠FPG（对顶角）

∠NAP+∠NPA=90°

∴∠PFE+∠FPG=90°

∴∠PGF=180°-（∠PFE+∠FPG）=90°

∴AP⊥EF

例3∵BH＝AC，∠BDH＝∠ADC＝90°，∠HBD＝∠CAD（这个知道的吧）∴△BDH≡△ADC

∴HD＝CD，BD=AD

∴△HDC与△ABD是等腰直角三角形

∴∠BCH＝∠ABD=45°

例4：

在CB的延长线上取点G，使BG＝DQ，连接AG∵正方形ABCD

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠D＝90

∵BG＝DQ

∴△ABG≌△ADQ（SAS）

∴AQ＝AG，∠BAG＝∠DAQ

∵∠PAQ＝45

∴∠BAP+∠DAQ＝∠BAD-∠PAQ＝45

∴∠PAG＝∠BAP+∠BAG＝∠BAP+∠DAQ＝45

∴∠PAG＝∠PAQ

∵AP＝AP

∴△APQ≌△APG（SAS）

∴PQ＝PG

∵PG＝PB+BG＝PB+DQ

∴PB+DQ＝PQ

例5、

例6

例7

（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）

（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠

BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．解答：

解：

（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．

（说明：

画出的点

P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给

1

分）

（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，

同理，P2也在AC上．（9分）在△DP1P2和△BP1P2中，

∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，

∴△DP1P2≌△BP1P2．（11分）

所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称．

设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以点P是四边形的半等角点．

例8

证明：

（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC

∴∠B=∠C，从而AB=AC。

（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足，由题意知，OE=OF。

在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFE。

∴∠OBE=∠OCF，B=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC。

（3）解：

不一定成立。

注：

当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC，如示例图

练习1

3解：

∵等边△ABC、等边△CDE

∴AC=BC，CE=CD，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB=∠ECD=60

∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠ECD-∠BCE

∴∠BCD=∠ACE

∴△ACE≌△BCD（SAS）

∴∠CBD=∠CAE

∵∠EBD＝62

∴∠CBD＝∠EBD-∠CBD＝62-∠CBE

∴∠CAE＝62-∠CBE

∴∠BAE＝∠BAC-∠CAE＝60-62+∠CBE＝-2+∠CBE∴∠ABE+∠BAE＝60-∠CBE-2+∠CBE＝58∴∠AEB＝180-（∠ABE+∠BAE）＝122

4

CN＋BM＝MN

证明：

延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1

由已知条件知：

∠ABC＝∠ACB＝60°，

∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90°

∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC，而DM＝DM1

∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°

又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60°

∴△MDN≌△M1DN∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝CN＋BM

即CN＋BM＝MN

5

（1）证明：

∵∠APB=∠BPC=∠CPA，三角之和是360o

∴∠APB=∠BPC=120o

∴∠PAB+∠PBA=180o-120o=60o

∠ABC=∠PBC+∠PBA=60o

∴∠PAB=∠PBC

∴⊿PAB∽⊿PBC【∠APB=∠BPC，∠PAB=∠PBC】

（2）解：

∵⊿PAB∽⊿PBC

∴PA/PB=PB/PC

推出PB2=PA·PC=6×8=48

PB=√48=4√3

6

设∠EDC=x,∠B=∠C=y

∠AED=∠EDC+∠C=x+y

又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y

则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y

又因为∠ADC=∠B+∠BAD

所以2x+y=y+30

解得x=15

所以∠EDC的度数是15度

7

1）如图3，

∵△OCD和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，

∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°，

∴∠4=30°．

同理∠6=30°．

∵∠AEB=∠4+∠6，

∴∠AEB=60°．

（2）如图4，

∵△OCD和△ABO都是等边三角形，

∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．

又∵OD=OA，

∴OD=OB，OA=OC，

∴∠4=∠5，∠6=∠7．

∵∠DOB=∠1+∠3，

∠AOC=∠2+∠3，

∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，

∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2，

∴∠AEB=60°．

8

①可以找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE．

②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，所以DC⊥BE．解答：

解：

①∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，

在△BAE和△DAC中

∴△BAE≌△CAD（SAS）．②由①得△BAE≌△CAD．

∴∠DCA=∠B=45°．

∵∠BCA=45°，

∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，

∴DC⊥BE．

9