八年级三角形的奥数题及其答案docx.docx

1、八年级三角形的奥数题及其答案docx例题 1： AD， EF， BC相交于 O点，且 AO OD， BO OC， EO OF求证： AEB DFC例题 2： P为正方形 ABCD对角线 BD上任一点， PF DC， PE BC求证： APEF例题 3： ABC的高 AD与 BE相交于 H，且 BHAC求证： BCH ABC例题 4：在正方形 ABCD中， P， Q分别为 BC， CD边上的点， PAQ45求证： PQPB DQ例题 5：过 ABC的顶点 A 分别作两底角 B 和 C 的角平分线的垂线， AD BD于 D，AE CE于 E求证： ED BC例题 6：如图， P 是等边三角形 AB

2、C内部的一点， PA 2，PB 2 3 ， PC 4， 求 ABC的边长.例题 7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点 P 满足 APD APB =。且 B P C CPD ，则称点 P 为四边形 ABCD 的一个半等角点( l）在图（3）正方形ABCD 内画一个半等角点P，且满足。( 2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.( 3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、 P2（如图（2 ) )，证明线段P1 P 2 上任一点也是它的半等角点。例题 8：已知：点 O到 ABC的两边 AB、 AC所在直线的距离相等，且 OB OC。（1）如图 1

3、，若点 O在 BC上，求证： AB AC；（2）如图 2，若点 O在 ABC的内部，求证： AB AC；（3）若点 O在 ABC的外部， AB AC成立吗？请画图表示。练习试题：1如图，在 ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作 EF BC 交AB于 E ，交AC 于F，过点O 作 ODAC 于D 下列四个结论：BOC190+A；2以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F为圆心、CF 为半径的圆外切；设 OD m，AE AFn，则 mn；S AEF EF 不能成为 ABC 的中位线其中正确的结论是 _（把你认为正确结论的序号都填上）2如图 1， AB、 CD是两条线段， M

4、是 AB 的中点， S DMC 、 S DAC 和 S DBC 分别表示 DNC、DAC、 DBC的面积。当AB CD时，有 S DMC S DACS DBC (1)2（1）如图 2，若图 1 中 AB 与 CD不平行时， (1) 式是否成立？请说明理由。（2）如图 3，若图 1 中 AB 与 CD相交于点 O时， S DMC 、 S DAC 和 S DBC 有何种相等关系？试证明你的结论。3如图，设 ABC和 CDE都是正三角形，且EBD 62o，则 AEB的度数是【】（A） 124o（B） 122o（C） 120o（ D） 118o4如图， ABC是等边三角形， BDC是顶角 BDC 12

5、0的等腰三角形， M是 AB 延长线上一点， N 是 CA延长线上一点，且 MDN 60. 试探究 MB、 MN、CN之间的数量关系，并给出证明 .5如图，在 ABC中， ABC 600，点 P 是 ABC内的一点，使得 APB BPC CPA，且 PA 8，PC 6，则 PB _6如图所示，在 ABC中， AB AC， AD AE， BAD 60 ，则 EDC _7（ 1）如图 7，点 O是线段 AD的中点，分别以 AO和 DO为边在线段 AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD，连结 AC和 BD，相交于点 E，连结 BC求 AEB的大小；（2）如图 8， OAB固定不动，保持

6、OCD的形状和大小不变，将 OCD绕着点 O旋转（OAB和 OCD不能重叠），求 AEB的大小 .8两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置， 图 2 是由它抽象出的几何图形，B， C， E 在同一条直线上，连结 DC （1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明： DC BE 9如图， AD是 ABC的边 BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出 ABC是等腰三角形的是 _ 。（把所有正确答案的序号都填写在横线上） BAD ACD BAD CAD， AB BDAC CD AB BD AC CD参考答案例题 1、证明： OAE O

7、DF，因为：二边及夹角（对等角）相等，得： AE=DF。同理证得： OBE OCF， OAB OCD，得： EB=CF，AB=CD。因为： AE=DF，EB=CF，AB=CD 三边相等。所以： AEB DFC例 2 F 于点 G 延长 EP交 AB于 M,延长 FP 交 AD于 NP 为正方形 ABCD对角线 BD上任一点 PM=PF,PN=PE又AMPN为矩形 .AN=PM=PF EPF=BAC=90 PEF ANP NAP = PFE又 NPA=FPG(对顶角 )NAP +NPA=90 PFE+FPG=90 PGF=180 -( PFE+FPG)=90APEF例3 BHAC， BDH AD

8、C90， HBD CAD（这个知道的吧） BDH ADCHDCD，BD=AD HDC与 ABD是等腰直角三角形 BCH ABD=45例 4：在 CB的延长线上取点 G，使 BGDQ，连接 AG 正方形 ABCDABAD， BAD ABG D90BGDQ ABG ADQ （SAS）AQAG， BAG DAQ PAQ45 BAP+DAQ BAD-PAQ 45 PAG BAP+BAG BAP+DAQ45 PAG PAQAPAP APQ APG （SAS）PQPGPGPB+BGPB+DQPB+DQPQ例5、例6例7（1） 根据题意可知， 所画的点 P 在 AC上且不是 AC的中点和 AC的端点因为在图

9、形内部，所以不能是 AC的端点，又由于 ，所以不是 AC的中点（2）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 DB交 AC于点 P，点 P 为所求（因为对称的两个图形完全重合）（3）先连 P1A、P1D、P1B、P1C和 P2D、P2B，根据题意 AP1D= AP1B， DP1C=BP1C AP1B+ BP1C=180度 P1 在 AC上，同理， P2 也在 AC上，再利用 ASA证明 DP1P2 BP1P2而，那么 P1DP2和 P1BP2关于 P1P2对称， P 是对称轴上的点，所以 DPA= BPA， DPC= BPC即点 P 是四边形的半等角点解答：解： （ 1）所画的点 P 在 AC

10、上且不是 AC的中点和 AC的端点，即给（ 4 分）（2）画点 B 关于 AC的对称点 B，延长 DB交 AC于点 P，点 P 为所求（不写文字说明不扣分）给（ 3 分）（说明：画出的点P 大约是四边形 ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连 P1A、 P1D、P1B、 P1C和 P2D、P2B，根据题意， AP1D= AP1B， DP1C= BP1C， AP1B+ BP1C=180度 P1 在 AC上，同理， P2 也在 AC上（ 9 分）在 DP1P2和 BP1P2中，DP2P1=BP2P1， DP1P2= BP1P2，P1P2公共， DP1P2 BP1P2（ 11 分）

11、所以 DP1=BP1， DP2=BP1， DP2=BP2，于是 B、 D关于 AC对称设P 是 P1P2上任一点，连接 PD、 PB，由对称性，得 DPA= BPA， DPC=BPC，所以点 P 是四边形的半等角点例8证明：（ 1）过点 O分别作 OEAB， OFAC， E、F 分别是垂足，由题意知， OE=OF， OB=OC，Rt OEB Rt OFC B= C，从而 AB=AC。（2）过点 O分别作 OE AB，OF AC，EF 分别是垂足，由题意知， OE=OF。在 Rt OEB和 Rt OFC中，OE=OF， OB=OC，Rt OEB Rt OFE。 OBE=OCF， B=OC 知 O

12、BC= OCB， ABC= ACD， AB=AC。（3）解：不一定成立。注：当 A 的平分线所在直线与边 BC的垂直平分线重合时，有 AB=AC；否则， AB AC，如示例图练习 13解：等边 ABC、等边 CDEAC=BC，CE=CD， BAC ABC ACB=ECD=60 ACE=ACB-BCE， BCD=ECD-BCE BCD=ACE ACE BCD （SAS） CBD=CAE EBD62 CBD EBD-CBD 62- CBE CAE62- CBE BAE BAC-CAE 60-62+CBE-2+ CBE ABE+BAE60- CBE-2+ CBE58 AEB180- （ ABE+BA

13、E） 1224CNBM MN证明：延长 AC至 M1，使 CM1BM，连结 DM1由已知条件知： ABC ACB60，DBC DCB30 ABD ACD90BDCD RtBDMRt CDM1 MDB M1DC，而 DMDM1 MDM1（ 120 MDB） M1DC120又 MDN60 M1DN MDN60 MDN M1DNMN NM1NC CM1CN BM即CN BM MN5（ 1）证明： APB=BPC=CPA，三角之和是 360o APB=BPC=120o PAB+PBA=180o -120o =60oABC=PBC+PBA=60o PAB=PBC PAB PBC【 APB=BPC， PA

14、B= PBC】（ 2）解： PAB PBCPA/PB =PB/PC推出 PB2 =PAPC=68=48PB=48=436设 EDC=x, B=C=yAED= EDC+ C=x+y又因为 AD=AE, 所以 ADE=AED=x+y则 ADC=ADE+EDC=2x+y又因为 ADC= B+BAD所以 2x+y=y+30解得 x=15所以 EDC的度数是 15 度71）如图 3， OCD和 ABO都是等边三角形，且点 O是线段 AD的中点，OD=OC=OB=OA， 1=2=60， 4= 5又 4+5=2=60， 4=30同理 6=30 AEB=4+ 6， AEB=60（2）如图 4， OCD和 AB

15、O都是等边三角形，OD=OC， OB=OA， 1=2=60又 OD=OA，OD=OB， OA=OC， 4= 5， 6= 7 DOB=1+ 3，AOC= 2+ 3， DOB=AOC 4+ 5+DOB=180， 6+ 7+AOC=180，2 5=26， 5= 6又 AEB= 8- 5， 8=2+ 6， AEB=2+ 5- 5= 2， AEB=608可以找出 BAE CAD，条件是 AB=AC， DA=EA， BAE=DAC=90+ CAE由可得出 DCA=ABC=45，则 BCD=90，所以 DC BE解答：解： ABC， DAE是等腰直角三角形 ，AB=AC， AD=AE， BAC=DAE=90BAE=DAC=90+ CAE，在 BAE和 DAC中 BAE CAD（ SAS）由得 BAE CAD DCA=B=45 BCA=45， BCD=BCA+DCA=90，DCBE9